思考與練習什么叫張量？張量有什么性質(zhì)？答：張量：由若干個當坐標系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標系中的三個矢量，即9個分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。基本性質(zhì)：1）張量不變量 張量的分量一定可以組成某些函數(shù) f(Pij)，這些函數(shù)值與坐標軸無關(guān)，它不隨坐標而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變量。二階張量存在三個獨立的不變量。2）張量可以疊加和分解 幾個同階張量各對應的分量之和或差定義為另一個同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。3）張量可分為對稱張量、非對稱張量、反對稱張量 若張量具有性質(zhì)PijPji，就叫對稱張量；若張量具有性質(zhì)PijPji，且當i=j時對應的分量為0，則叫反對稱張量；如果張量PijPji，就叫非對稱張量。任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。4）二階對稱張量存在三個主軸和三個主值 如果以主軸為坐標軸，則兩個下角標不同的分量均為零，只留下兩個下角標相同的三個分量，叫作主值。如何表示任意斜微分面上的應力？1答：若過一點的三個互相垂直的微分面上的九個應力分量已知，則借助靜力平衡條件，該點任意方向上的應力分量可以確定。如圖14-1所示，設過Q點任一斜切面的法線 N與三個坐標軸的方向余弦為l，m，n，l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)。若斜微分面 ABC的面積為dF，微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面積分別為dFx、dFy、dFz，則各微分面之間的關(guān)系為dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF圖14-1 任意斜切微分面上的應力又設斜微分面ABC上的全應力為S，它在三坐標軸方向上的分量為 Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件

Px 0，得：SxdF xdFx yxdFy zxdFz 0整理得SxxlyxmzxnSyxylymzynSzxzlyzmzn（14-6）Sjijlii，j，，z用角標符號簡記為xy顯然，全應力S2Sx2Sy2Sz2斜微分面上的正應力為全應力S在法線N方向的投影，它等于2Sx, Sy,Sz在N方向上的投影之和，即Sxl Sym Sznxl2ym2zn22(xylmyzmnzxnl)（14-7）斜切微分面上的切應力為2S22（14-8）所以，已知過一點的三個正交微分面上 9個應力分量，可以求出過該點任意方向微分面上的應力，也就是說，這 9個應力分量可以全面表示該點應力狀況，亦即可以確定該點的應力狀態(tài)。應力張量不變量如何表達？答：應力張量的三個不變量為J1123J2(122331)J3123其中J1、J2、J3為應力張量第一、第二、第三不變量。應力偏張量和應力球張量的物理意義是什么？答：應力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點就會產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應力，可采用截面法進行分析應力球張量：也稱靜水應力狀態(tài)，其任何方向都是主方向，且主應力相同，均為平均應力。特點：在任何切平面上都沒有切應力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。應力偏張量：是由原應力張量分解出應力球張量后得到的。 應力偏張量的切應力分量、主切應力、最大切應力及應力主軸等都與原應力張3量相同。特點：應力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化， 而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應力偏張量引起的。平面應力狀態(tài)和純切應力狀態(tài)有何特點?答：平面應力狀態(tài)的特點為：變形體內(nèi)各質(zhì)點與某坐標軸垂直的平面上沒有應力。純切應力狀態(tài)：等效應力有何特點？寫出其數(shù)學表達式。答：等效應力的特點：等效應力不能在特定微分平面上表示出來，但它可以在一定意義上“代表”整個應力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。人們把它稱為廣義應力或應力強度。等效應力也是一個不變量。其數(shù)學表達式如下：等效應力在主軸坐標系中定義為12)2(23)2(31)23J2(12在任意坐標系中定義為1 ( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 6(xy2 yz2 zx2)24已知受力物體內(nèi)一點的應力張量為505080ij50075807530（MPa），試求外法線方向余弦為1l=m=1/2，n=2的斜切面上的全應力、正應力和切應力。解：設全應力為S，sx，sy,sz分別為S在三軸中的分量，SxxlyxmzxnSyxylymzynSzxzlyzmzn則有:sx=501+501+801=106.6222sy=501+01-751=-28.0222sz=801-751-301=-18.7222S2Sx2Sy2Sz2則得到S＝111.79MPaSxlSymSzn則得到＝26.1MPa而2S22則得到＝108.7MPa已知受力體內(nèi)一點的應力張量分別為5①ij②ij

10010，01001001001720，1720000100③ij

740(MPa)4100041）畫出該點的應力單元體；2）求出該點的應力張量不變量、 主應力及主方向、主切應力、最大切應力、等效應力、應力偏張量和應力球張量；3）畫出該點的應力莫爾圓。解：1）略2）在①狀態(tài)下：J1=x+y+z=10zx222J2=-(xy+yz+)+xy+yz+zx=200222J3=xyz+2xyyzzx-(xyz+yzx+zxy)=0式14—10和由3J12J2J301＝20，2＝0，3＝-10l11,m10n1122l21m20n21262代入公式對于 1＝20時：l對于 2＝0時：對于 3＝－10時：121210m31n302l30：主切應力23235231153115313122最大切應力1(12)2(23)2(31)23J2700等效應力：2＝應力偏張量：ij

200103400032010037m＝1(123)＝1(20010)1033320x故

3 40y3應力球張量：10003100031000320z39.某受力物體內(nèi)應力場為： x

6xy2 c1x3， y 32c2xy2，xyc2y3c3x2y，zyzzx0，試從滿足