18.2特殊的平行四邊形18.2.3正方形18.2特殊的平行四邊形正方形的性質(zhì)

正方形的性質(zhì)除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？正方形怎樣研究這類圖形？想一想我們是怎樣研究矩形和菱形的.導(dǎo)入新知除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？正方形平行四邊形情境一：觀察體會探究新知知識點1正方形的定義平行四邊形情境一：觀察體會探究新知知識點1正方形的定義探究新知探究新知探究新知探究新知有一個直角探究新知有一個直角探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平行四邊形你能給正方形下一個定義嗎？探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平問題1：圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？問題2：當(dāng)CD移動到CD位置，此時AD＝AB，四邊形ABCD還是矩形嗎？ABCDABCD正方形是特殊的矩形情景二：兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD探究新知問題1：圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？問題2：矩形正方形〃〃【思考】1.探究新知矩形一組鄰邊相等時變成怎樣的圖形呢?矩形正方形〃〃【思考】1.探究新知矩形一組鄰邊相等菱形∟∟∟∟正方形【思考】2.菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢?探究新知菱小結(jié)：矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形叫正方形.菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形叫正方形.如何來給正方形下定義？探究新知有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.小結(jié)：矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：菱請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?對稱性： .對稱軸： .軸對稱圖形4條ABCD探究新知知識點2正方形的性質(zhì)請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.正總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形中心對稱圖形（對角線的交點）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（四條）探究新知矩形菱形正方形總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角(1)(2)(3)(4)探究新知平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：矩形菱形正方形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：探究新知性質(zhì)：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.矩形菱形正平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊都相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=BC（正方形的定義）.

又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.探究新知已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.ABCD證明：∵四邊形A已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.探究新知已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.素養(yǎng)考點1探究新知利用正方形的性質(zhì)求線段相等例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等1.已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC.EA=EC嗎？說說你的理由.EABCD12？？鞏固練習(xí)解：EA=EC.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠1=∠2=45°，又∵BE=BE∴△ABE≌△CBE∴AE=CE.1.已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC.例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°.證明：∵ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.探究新知素養(yǎng)考點2利用正方形的性質(zhì)求角度例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求2.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，

求證：∠MFD＝45°證明：∵CE⊥AF，∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME，∴∠1＝∠2又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(ASA)∴DM=DF.∴∠DMF=∠DFM∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.

鞏固練習(xí)2.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，C例3如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=CG.解：∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD又∵四邊形DEFG也是正方形∴DE=DG又∵正方形的每個內(nèi)角為90°∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG∴△AED≌△CGD.∴AE=CGABCDEFG素養(yǎng)考點3利用正方形的性質(zhì)求線段相等探究新知例3如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=C3.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF．求證：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123鞏固練習(xí)證明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF與△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴AE=AF,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°，∴EA⊥FA3.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是C（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且BE=CF，求證：△ABE≌△BCF．鞏固練習(xí)連接中考證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF．AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CFADBCEF（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在B1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個角相等B.對角線互相垂直平分

C.對角互補D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分

C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()2.正方形3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DAC=,∠BOC=.4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是 .ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3題圖第4題圖45°課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DA5.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O，AO＝2，求正方形的周長與面積．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝，面積為AD2＝8.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題解:ADBCO5.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.課堂檢測能力提升題如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；課堂檢測拓廣探索題同理可得∠DEC＝15°.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.課堂檢測拓廣探索題當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，課堂檢測拓廣探1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平分正方形的性質(zhì)性質(zhì)定義有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.課堂小結(jié)1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平正方形的判定正方形的判定寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，只見售貨員阿姨拉起紗巾的一組對角，另一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，剩下的那組對角也能完全重合.阿姨認為這樣就能證明紗巾是正方形，把紗巾給了寧寧，你認為寧寧手上的紗巾一定是正方形嗎？導(dǎo)入新知寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形【討論】滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角或?qū)蔷€相等探究新知知識點1正方形的判定做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO求證：對角線相等的菱形是正方形.探究新知∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證明：已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線做一做：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直探究新知矩形做一做：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證：矩形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.求證：對角線互相垂直的矩形是正方形.探究新知ABCDO已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形常見的判定方法先證是矩形再證是菱形或先證是菱形再證是矩形探究新知平行四邊形正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)探究新知5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一例1已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形CFDE是正方形．∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F∴∠DEC=90°，∠DFC=90°，∴四邊形CFDE有三個直角，它是矩形又∵CD平分∠ACB∴DE=DF∴四邊形CFDE是正方形探究新知素養(yǎng)考點1由矩形到正方形的識別證明：例1已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，同理得DG=DF，∴四邊形EDFC是正方形.

1.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥BC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG鞏固練習(xí)證明：∴DE=DG.∴ED=DF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，1.如圖，在直角三角形中證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠COH=∠BOE,∴OE=OH.BACDOEHGF例2如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.探究新知素養(yǎng)考點2由菱形到正方形的識別∴OE=OF=OG=OH.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴△CHO≌△BEO,同理可證：OE=OF=OG,又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∴四邊形EFGH為正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,BACDOEHGF例2如圖2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.鞏固練習(xí)解：四邊形EFMN是正方形.理由如下：2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AEAE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）

=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.鞏固練習(xí)在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，鞏固練習(xí)在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，（2019?北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，下面四個結(jié)論中，①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是_______．鞏固練習(xí)連接中考①②③（2019?北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊A1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是

2.下列判斷中正確的是（）A.四邊相等的四邊形是正方形B.四角相等的四邊形是正方形C.對角線垂直的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題

3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是正方形D課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題BDAC3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的4.如圖，在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分ABC,P是BD上一點,過點P作PMAD,PNCD,垂足分別為M、N.(1)求證：ADB=CDB;(2)若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.12課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.如圖，在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分CABDPMN（2）∵∠ADC=90°,又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB=45°.∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是正方形.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題CABDPMN（2）∵∠ADC=90°,又∵PM⊥AD,P如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．（1）試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．（2）連接AD，當(dāng)AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.（2）∵四邊形ADEF為菱形，∴AD平分∠BAC，則AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形.課堂檢測能力提升題如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥A（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由．解：由四邊形AEDF為正方形∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可．能力提升題課堂檢測（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AE如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，在△ABF和△ADE中，AB＝AD，∠BAF＝∠EAD，AF＝AE,∴△ABF≌△ADE（SAS），拓廣探索題課堂檢測∴∠BAF=∠EAD，∴BF=DE；如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足（2）解：當(dāng)點E運動到AC的中點時,四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．課堂檢測拓廣探索題∴BE=AF=AE.∵BE=AF，（2）解：當(dāng)點E運動到AC的中點時,四邊形AFBE是正方形，5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)課堂小結(jié)5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一18.2特殊的平行四邊形18.2.3正方形18.2特殊的平行四邊形正方形的性質(zhì)

正方形的性質(zhì)除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？正方形怎樣研究這類圖形？想一想我們是怎樣研究矩形和菱形的.導(dǎo)入新知除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？正方形平行四邊形情境一：觀察體會探究新知知識點1正方形的定義平行四邊形情境一：觀察體會探究新知知識點1正方形的定義探究新知探究新知探究新知探究新知有一個直角探究新知有一個直角探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角矩形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平行四邊形你能給正方形下一個定義嗎？探究新知有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平問題1：圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？問題2：當(dāng)CD移動到CD位置，此時AD＝AB，四邊形ABCD還是矩形嗎？ABCDABCD正方形是特殊的矩形情景二：兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD探究新知問題1：圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？問題2：矩形正方形〃〃【思考】1.探究新知矩形一組鄰邊相等時變成怎樣的圖形呢?矩形正方形〃〃【思考】1.探究新知矩形一組鄰邊相等菱形∟∟∟∟正方形【思考】2.菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢?探究新知菱小結(jié)：矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形叫正方形.菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形叫正方形.如何來給正方形下定義？探究新知有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.小結(jié)：矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：菱請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?對稱性： .對稱軸： .軸對稱圖形4條ABCD探究新知知識點2正方形的性質(zhì)請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.正總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形中心對稱圖形（對角線的交點）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（四條）探究新知矩形菱形正方形總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角(1)(2)(3)(4)探究新知平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：矩形菱形正方形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：探究新知性質(zhì)：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.矩形菱形正平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊都相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=BC（正方形的定義）.

又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.探究新知已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.ABCD證明：∵四邊形A已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.探究新知已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.素養(yǎng)考點1探究新知利用正方形的性質(zhì)求線段相等例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等1.已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC.EA=EC嗎？說說你的理由.EABCD12？？鞏固練習(xí)解：EA=EC.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠1=∠2=45°，又∵BE=BE∴△ABE≌△CBE∴AE=CE.1.已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC.例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°.證明：∵ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.探究新知素養(yǎng)考點2利用正方形的性質(zhì)求角度例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求2.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，

求證：∠MFD＝45°證明：∵CE⊥AF，∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME，∴∠1＝∠2又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(ASA)∴DM=DF.∴∠DMF=∠DFM∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.

鞏固練習(xí)2.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，C例3如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=CG.解：∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD又∵四邊形DEFG也是正方形∴DE=DG又∵正方形的每個內(nèi)角為90°∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG∴△AED≌△CGD.∴AE=CGABCDEFG素養(yǎng)考點3利用正方形的性質(zhì)求線段相等探究新知例3如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=C3.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF．求證：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123鞏固練習(xí)證明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF與△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴AE=AF,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°，∴EA⊥FA3.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是C（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且BE=CF，求證：△ABE≌△BCF．鞏固練習(xí)連接中考證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF．AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CFADBCEF（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在B1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個角相等B.對角線互相垂直平分

C.對角互補D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分

C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()2.正方形3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DAC=,∠BOC=.4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是 .ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3題圖第4題圖45°課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DA5.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O，AO＝2，求正方形的周長與面積．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝，面積為AD2＝8.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題解:ADBCO5.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.課堂檢測能力提升題如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；課堂檢測拓廣探索題同理可得∠DEC＝15°.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.課堂檢測拓廣探索題當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，課堂檢測拓廣探1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平分正方形的性質(zhì)性質(zhì)定義有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.課堂小結(jié)1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平正方形的判定正方形的判定寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，只見售貨員阿姨拉起紗巾的一組對角，另一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，剩下的那組對角也能完全重合.阿姨認為這樣就能證明紗巾是正方形，把紗巾給了寧寧，你認為寧寧手上的紗巾一定是正方形嗎？導(dǎo)入新知寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形【討論】滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角或?qū)蔷€相等探究新知知識點1正方形的判定做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO求證：對角線相等的菱形是正方形.探究新知∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證明：已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線做一做：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直探究新知矩形做一做：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證：矩形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.求證：對角線互相垂直的矩形是正方形.探究新知ABCDO已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形常見的判定方法先證是矩形再證是菱形或先證是菱形再證是矩形探究新知平行四邊形正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)探究新知5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一例1已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形CFDE是正方形．∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F∴∠DEC=90°，∠DFC=90°，∴四邊形CFDE有三個直角，它是矩形又∵CD平分∠ACB∴DE=DF∴四邊形CFDE是正方形探究新知素養(yǎng)考點1由矩形到正方形的識別證明：例1已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，同理得DG=DF，∴四邊形EDFC是正方形.

1.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥BC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG鞏固練習(xí)證明：∴DE=DG.∴ED=DF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，1.如圖，在直角三角形中證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠COH=∠BOE,∴OE=OH.BACDOEHGF例2如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.探究新知素養(yǎng)考點2由菱形到正方形的識別∴OE=OF=OG=OH.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴△CHO≌△BEO,同理可證：OE=OF=OG,又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∴四邊形EFGH為正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,BACDOEHGF例2如圖2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.鞏固練習(xí)解：四邊形EFMN是正方形.理由如下：2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AEAE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）

=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.鞏固練習(xí)在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，鞏固練習(xí)在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，（2019?北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，下面四個結(jié)論中，①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是_______．鞏固練習(xí)連接中考①②③（2019?北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊A1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是