§12-3剛體繞定軸的轉動微分方程或dt(e)z

(Fi

)d

(z

idt

M

(F

(e)

)Jz

dωiz(e))M

(F或

J

zdz

i(e))M

(FJ2z

dt

2剛體定軸轉動微分方程幾點說明：（1）只有對單個定軸轉動的剛體，才能使用剛體定軸轉動微分方程；例O2RPJOPaO2RJOFT′FTJO

FT

RFT

PJO

？

PR×i(F(e)

)d

(（2）若體做勻速轉動；z

i(e))M

(F，則Jzω

常量；若Jz不變，物（3）若常量，則z；若J

不變，物體做勻變速轉動；z

i(e))M

(F常量zJ

若Jz小，大，物體運動狀態(tài)易改變；若Jz大，小，物體運動狀態(tài)不易改變。dtiz(e))M

(FJz儀器、儀表鍛壓設備飛輪通常安裝在經(jīng)常受到?jīng)_擊的機器上，如往復式活塞發(fā)、沖床和剪床等。制造飛輪時，要求盡從定軸微分方程，看飛輪的作用可能將質(zhì)量分布在輪緣上，以使轉動慣量盡可能大，這樣，機器受到?jīng)_擊時，角加速度很小，從而可以保持比較穩(wěn)定的運轉狀態(tài)。JOdt2d2

mga

sin例1

已知：物理擺（復擺），m,

JO

,

a求：微小擺動的規(guī)律。解：由剛體定軸轉動微分方程得微小擺動時，

sin

JO

mgadt

2d2

0Od2

mgadt

2

J即：sin(JOO通解為

mgat

)O

稱角振幅，稱初相位，由初始條件確定.1：

求復擺微小擺動的周期。擺動微分方程為0Od2

mga

dt

2

Jnmga

JO則圓頻率為

實驗法測轉動慣量的依據(jù)周期為nJOmga

2

mgaJO

2或求：B處繩子突然剪斷瞬時，B點加速度與A處約束反力。例2

已知：均質(zhì)細長桿，m

,

l

,

JAAB解：（1）

B處繩子剪斷瞬時，AB受力與運動量如圖示。由剛體定軸轉動微分方程得mgFAxFAy2JA

mg

l2JA繩子剪斷瞬時，解得：

mglBB于是

a

a

Al

=

2Jmgl2方向如圖示aB突然解除約束問題如何求剪斷繩子前后鉸鏈A處約束反力的改變量？由質(zhì)心運動定理得（2）a

CnCA4Ja

l

=

mgl22maFC

AxnCAyma

mgF解得：

F

=0AxFmgAy-A4Jlm

g22ABmgFAxFAyaCCFOx

mgFOy例3

已知：均質(zhì)細長桿,，在m力,矩l

M,

J作O

用下繞水平軸O在鉛垂面內(nèi)轉動,時

求：轉動角速度與

的關系A解：取桿為研究對象任一瞬時，受力與運動量如圖示。O由剛體定軸轉動微分方程得M2

M

-mg

l

cosdω

dtJO（1）dt（1）式變?yōu)樽髯儞Q

dωd

dt

dω

·

dd

dωd2

M

-mg

l

cosJ

dωO解得分離變量得d2

M

-mg

l

cosJ

dωOωddl2-mgMJOcos

兩邊取定積分得ωωdl2-mg

Mcos

0JO

d

0ω

2M

-mglsinJOFOx

mgFOyAOM得由

ω

2M

-mglsinJO2M

-mglsinJOd

dt分離變量,兩邊取定積分得dtt02M

-mglsinJOd

n0積分可解得t2：

求任一位置支座反力1：

求轉n圈所用的時間mgFOxFOyAOM例4由剛體定軸轉動微分方程得O1r1，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求輪O1角加速度。r2O2MMO1O2解：分別以兩輪為研究對象受力與運動量如圖示1

12

1J

M

F

r運動學補充條件

1r1

2r2注意到

F

F

，聯(lián)立求解以上三式得

2

1Mr2

J

r2

J

r21

2 2

1F′FO1yFFnm2gFO2xFO1xm1gFO2yF′n12z

i

ii

1J

m

r

2§12-4剛體對軸的轉動慣量二、轉動慣量的確定計算法一、轉動慣量定義n實驗法復擺法觀察法（P281第12-8）lz1Cnz

i

ii

1J

m

r

21、均質(zhì)且簡單形狀剛體的轉動慣量2Jzr

dm積分法(1)均質(zhì)細直桿的軸轉動慣量設均質(zhì)細桿長

l，質(zhì)量為m,如圖選取x軸，并取微段dx,

則md

m

d

xl2112l2lz1mlJ

d

x

x2

ml2（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉動慣量設細圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R由轉動慣量定義J

m

r2

R2

m

mR2z

i

i

i（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉動慣量設圓板的質(zhì)量為m，半徑為R2Jz2Rr

dm

0

R2m·r·r2dr=

1

mR2Rm2

·r

dr如圖取微元，微元質(zhì)量為于是圓板轉動慣量為2zzJ

m回轉半徑可查機械設計手冊得到2.由回轉半徑（慣性半徑）計算轉動慣量在工程上常用回轉半徑來計算剛體的轉動慣量，其定義為mJ

zz

如果已知回轉半徑，則物體的轉動慣量為zzCJ

J

md

23．由平行軸定理計算轉動慣量dzCCz剛體對任意軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、且與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。剛體對于通過質(zhì)心軸的轉動慣量最小4．由組合法計算轉動慣量當物體由幾個幾何形狀簡單的物體組合而成時，可用組合法計算整體的轉動慣量。即先計算各部分的轉動慣量，然后再疊加起來。當物體可以看成由一個完整的圖形挖去一部分得到時，挖去部分按負質(zhì)量計算，這種方法稱為負質(zhì)量法。思考直接采用積分法1、如何計算均質(zhì)細桿對桿端軸的轉動慣量？zZClzC利用平行移軸定理3zJ

1

ml

2思考2、如何計算均質(zhì)矩形板、均質(zhì)圓柱體的轉動慣量？在保持質(zhì)量不變的前提下，將矩形板沿軸方向壓縮成一細桿；將圓柱體沿軸線方向壓縮成一薄圓盤。abyxCRhzC思考3、如何計算均質(zhì)剛體對任意兩個平行軸的轉動慣量的關系？在計算均質(zhì)剛體對任意兩個平行軸的轉動慣量的關系時，必須借助平行軸定理，而不能直接應用平行軸定理。dz2z1Ca

bJ2

J1

m(b

a

)2

2lRC2C1O例2已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為m1、m2

，桿長為l；盤的半徑為R。桿與盤固結為一體，求Jo解：

Jo=Jo桿+

Jo

盤J

1

ml23O桿2JJc

m2l

2O盤222212lmRm2222211213lRm

lJom

m

例3

槽鋼截面尺寸如圖示，單位面積質(zhì)量為，求Jylll2l2lyABCDEFG解：ABCD部分質(zhì)量為1m

3l

·

4l12

l2131（y1J

m3l）236

l

4EFGH部分質(zhì)量為2m

-2l·

2l

-4

l2y2J

2112m（32l）2

m（2

2l）2

52

l

4+

Jyy1

J

Jy2563

l4負質(zhì)量m1m2c1l1c2l2課堂練習1、圖示復合細直桿由兩部分組成，第一段質(zhì)量為m1，長為l1；第二段質(zhì)量為m2，長為l2；求該桿對于桿端軸z的轉動慣量。zJz2