10線段的垂直平分線與角平分線復(fù)習(xí)(1)知識點(diǎn)1、線段垂直平分線的性質(zhì)(1)垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1,已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D,且AD=BD,若點(diǎn)C在直線m上，則AC=BC.DB圖2定理的作用：證明兩條線段相等DB圖2(2)線段關(guān)于它的垂直平分線對稱.知識點(diǎn)2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(1)線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2,已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D,且AD=BD,若AC=BC,則點(diǎn)C在直線m上.定理的作用：證明一個(gè)點(diǎn)在某線段的垂直平分線上.知識點(diǎn)3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理(1)關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3,若直線，,j,k分別是△ABC三邊AB、BC、CA的垂直平分線，則直線i,j,k相交于一點(diǎn)O,且OA=OB=OC.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.(2)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系:若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部.反之，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.經(jīng)典例題：TOC\o"1-5"\h\z例1如圖1,在4ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交邊AC于點(diǎn)E,4BCE的周長等于18cm,A則AC的長等于(),1AA.6cmB.8cm^C.10cmD.12cm:‘針對性練習(xí)：?不］'BC''C已知1)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,如果^EBC的周長是24cm,那么BC=_2)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,如果BC=8cm,那么4EBC的周長是一如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,如果NA=28度，那么NEBC是例2.已知：AB=AC,DB=DC,E是AD上一點(diǎn)，求證：BE=CE。針對性練習(xí):已知：在^ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線例3.在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°,^ABC的底角NB的大小為。針對性練習(xí):40。，則底角B的大小為.在^ABC中，AB=AC，AB40。，則底角B的大小為例4、如圖8,已知A0是4ABC的BC邊上的高，且NC=2NB,求證：BD=AC+CD.練習(xí)：.如圖，AC=AD,BC=80,則（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分NACBD,以上結(jié)論均不對.如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么，這個(gè)三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形.下列命題中正確的命題有（）①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB,過P作直線MN,則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè).△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D,如果AC=5cm,BC=4cm,那么^DBC的周長是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm.如果三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)正好在三角形的一條邊上，那么這個(gè)三角形是（）（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）以上都有可能二、填空題（1）和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是.（2）在AABC中，AB=AC,AD為角平分線，則有ADBC（填±或〃）,BD=.如果E為AD上的一點(diǎn)，那么EB=.如果/BAC=120。，BC=8，那么點(diǎn)D到AD的距離是.（3）已知在AABC中，AB=AC,/BAC=120。，DE垂直平分AB,且交CA的延長線于D,則/DBC的度數(shù)為.（4）在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于D,若ABCD的周長為10cm，則底邊BC的長為.（5）如圖，在AABC中，/ACB=90。，BC的垂直平分線交AB于D,垂足為E.①若/A=60。，則/DCB=,/ADC=.②若/B=30。，BD=5,則AACD的周長為.（6）如圖，在AABC中，AC>BC，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，AC=8，ABCE的周長為12,則BC=.（7）如圖，在AABC中，AB=AC，/ABC=65。，DE是AB的垂直平分線，則/CBE=,5題圖6題圖7題圖8題圖9題圖(8)如圖，在AABC中，AC的垂直平分線交AC于E,交BC于D,的周長為，AC=5cm,則AABC的周長為cm.(9)如圖，已知在直角三角形ABC中，ZC=90°,=15。，DE垂直平分AB,交BC于E,B5=5,則AC=.(10)在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AC的垂直平分線交BC于D,交AC于E,若DE=5cm,則BC的長度為cm.三.解答題.已知如圖,在AABC中，AB=AC,。是AABC內(nèi)一點(diǎn),且0B=0C,求證：A0±BC..如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N.求證：CM=2BM..如圖7,在AABC中，AC=23,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,△ACE的周長為50,求BC邊的長..如圖，已知：線段CD垂直平分AB,AB平分/0AC.求證：AD//BC..如圖，已知：AD是AABC的高，E為AD上一點(diǎn)，且求證：AABC是等腰三角形.A.如圖，已知：在AABC中，AB=AC,ZB=2ZA,DE垂直平分線AC交AB于D,交AC于E.求證：AD=BC.8如圖，已知：E是/AOB的平分線上的一點(diǎn)，ECLOA,EDLOB,垂足分別是C、D.求證：0E垂直平分CD..如圖，已知：在AABC中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P在AC的垂直平分線上..如圖，已知：AD是AABC的/B4C的平分線，AD的垂直平分線EF,交BC的延長線于F,交AD于E,求證:/BAF=.CAF.n.如圖，已知：在AABC中，/BAC的平分線交BC于D,且。SLAB,DF.LAC,垂足分別是E、F.求證：AD是EF的垂直平分線.12.如圖，已知：AB±BC,CDLBC,ZAMB=75。，.DMC=45O,AM=DM,求證：AB=BC.線段的垂直平分線與角平分線復(fù)習(xí)⑵知識點(diǎn)4、角平分線的性質(zhì)定理:角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等定理的數(shù)學(xué)表示：如圖，已知0￡是NAOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點(diǎn)，若CFLOA于點(diǎn)C,DFLOB于點(diǎn)D,貝UCF=DF.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問題角是一個(gè)軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線知識點(diǎn)5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上定理的數(shù)學(xué)表示：如圖5,已知點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)部，且PCLOA于C,PDLOB于D,若PC=PD,則點(diǎn)P在NAOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.知識點(diǎn)6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：B圖6PDC三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等NACB的平分線，那么:定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6,如果AP、BQ、CR分別是^ABC的內(nèi)角NBAC、NABC、NACB的平分線，那么:①AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)I；②若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F,則DI=EI=FI.定理的作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實(shí)際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.知識點(diǎn)7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線；（2）會作已知角的角平分線；（1）會作已知線段的垂直平分線；（2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.經(jīng)典例題:且AB=AC,P為NA內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC,AB〃CD,AB±BC,E為BC且AB=AC,P為NA內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC,AB〃CD,AB±BC,E為BC中點(diǎn)，例2、如圖10,已知在直角梯形ABCD中，求證：AE平分NBAD.針對性練習(xí):如圖所示，AB=AC,BD=CD,DELAB于E,DF±AC于F,求證：DE=DF。例3、如圖H-1,已知在四邊形ABCD中，對角線BD平分NABC,且NBAD與NBCD互補(bǔ)，求證：AD=CD.練習(xí)一.基礎(chǔ)題.如圖，已知BQ是NABC的內(nèi)角平分線，CQ是NACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、K,則QM、QN、QK的關(guān)系是..如圖，在4ABC中，NB=300,NC=900,AD平分NCAB,交CB于D,DELAB于E,則NBDE二:.如圖，已知AB〃CD,PE±AB,PF±BD,PGLCD,垂足分別為E、F、G,且PF=PG=PE,則NBPD=..如圖，已知AB〃CD,0為NCAB、ZACD的平分線的交點(diǎn).OEXAC,且OE=2,則兩平行線AB、CD間的距離等于.已知Rt△ABC中，NC=90。，AD平分NBAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,則D到AB邊的距離為（）.（A）18（B）16（c）14（D）12.如圖，MP±NP,MQ為NNMP的角平分線，MT=MP,連結(jié)TQ,則下列結(jié)論不正確的是().(A)TQ=PQ(B)ZMQT=ZMQP(c)NQTN=90。(D)ZNQT=ZMQT8題圖8題圖.△ABC中，AB=AC,AC的中垂線交AB于E,^EBC的周長為20cm,AB=2BC,則腰長為。.如圖所示，AB//CD,O為NA、NC的平分線的交點(diǎn)，OELAC于E,且OE=2,則AB與CD之間的距離等于.如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB二AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.說明它的道理..如圖，4ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR^AB,PSLAC,垂足分別是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,下列結(jié)論：①AS二AR；②PQ〃AR；③△BRP04CSP.其中正確的是（）.（A）①③（B）②③（C）①②（D）①②③.如圖，^ABC中，AB=AC,AD平分NBAC,DELAB,DFLAC,垂足分別是E、F,則下列四個(gè)結(jié)論中：①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；②AD任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；③ADLBC且BD=CD；?ZBDE=ZCDF.其中正確的是（）.（A）②④（B）②④（C）②③④（D）①②③④

.如圖，在RtAABC中，ZACB=90o,ZCAB=3Oo,NACB的平分線與NABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則NAEB=().(A)5Oo(B)45o(C)4Oo(D)35o.如圖，已知相交直線AB和CD及另一直線MN.如果要在MN上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn)，方法是，這樣的點(diǎn)至少有個(gè)，最多有個(gè).二.解答題.已知：如圖，NB=NC=900,DM平分NADC,