三角形作輔助性方法大全1?在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知DABC內(nèi)任一點，求證：ZBDOZBAC證法（一）：延長BD交AC于E,?ZZBDC是厶EDC的外角，AZBDOZDEC同理：ZDEOZBACAZBDOZBAC證法（二）：連結AD,并延長交BC于F?ZZBDF是厶ABD的外角,AZBDF>ZBAD同理ZCDF>ZCADAZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD即：ZBDOZBAC2?有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.例：已知，如圖，ADABC的中線且Zl=Z2，Z3=Z4,求證：BE＋CF>EF證明：在DA上截取DN=DB,連結NE、NF,則DN=DC在厶BDE和厶NDE中，DN=DBZl=Z2ED=ED.?.△BDE9ANDE.?.BE=NE同理可證：CF=NF在AEFN中，EN+FN>EF.BE＋CF>EF3?有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.例：已知，如圖，ADABC的中線，且Zl=Z2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF證明：延長ED到M,使DM=DE,連結CM、FM△BDE和厶CDM中，BD=CDZl=Z5ED=MD.?.△BDE9ACDM.CM=BE又VZ1=Z2,Z3=Z4Zl＋Z2＋Z3＋Z4=l80o

AZ3+Z2=90。即ZEDF=90o.?.ZFDM=ZEDF=90?！鱁DF和厶MDF中ED=MDZFDM=ZEDFDF=DF.?.△EDF9AMDF.EF=MF???在△CMF中，CF+CM>MFBE+CF>EF（此題也可加倍FD,證法同上）在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形.例：已知，如圖，ADABC的中線，求證：AB+AC>2AD證明：延長AD至E,使DE=AD,連結BETADABC的中線.??BD=CD在厶ACD和厶EBD中BD=CDZ1=Z2AD=ED.?.△acd^aebd?「△ABE中有AB+BE>AE.AB+AC>2AD截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法:a>ba±b=ca±b=c±d例：已知，如圖，在△ABC中，AB>AC，Z1=Z2，P為AD上任一點，求證：AB－AC>PB－PC證明：⑴截長法：在AB上截取AN=AC,連結PN在厶APN和厶APC中，AN=ACZ1=Z2AP=AP.?.△APN9AAPC.?.PC=PN?.?△BPN中有PB-PC<BN.??PB—PCVAB—AC⑵補短法：延長AC至M,使AM=AB,連結PM在厶ABP和厶AMP中AB=AMZ1=Z2AP=AP.?.△ABP9AAMP.??PB=PM又???在△PCM中有CM>PM—PC.AB—AC>PB—PC練習：1.已知，在△ABC中，ZB=60°,AD、CE是厶ABC的角平分線，并且它們交于點O求證：AC=AE+CD2.已知，如圖，AB〃CDZ1=Z2,Z3=Z4.求證：BC=AB+CD6?證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F,ZB=ZC，Z1=Z2，求證：DF=EF證明：TZADF=ZB+Z3ZAEF=ZC+Z4又VZ3=Z4ZB=ZCZ.ZADF=ZAEF在△ADF和厶AEF中ZADF=ZAEFZ1=Z2AF=AF.?.△ADF9AAEF.DF=EF7?在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖RtAABC中，AB=AC，ZBAC=90。，過A作任一條直線AN,作BD丄AN于D，CE丄AN于E,求證：DE=BD—CE證明：TZBAC=90o,BD丄AN.Z1+Z2=90。Z1+Z3=90。.Z2=Z3?.?BD丄ANCE丄AN.ZBDA=ZAEC=90。在厶ABD和ACAE中，ZBDA=ZAECZ2=Z3AB=AC.?.△ABD9ACAE.??BD=AE且AD=CE.AE－AD=BD－CE.DE=BD－CE三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：ADABC的中線，且CF丄AD于F,BE丄AD的延長線于E求證：BE=CF證明：（略）條件不足時延長已知邊構造三角形.例：已知AC=BD,AD丄AC于A,BCBD于B求證：AD=BC證明：分別延長DA、CB交于點ETAD丄ACBC丄BDZ.ZCAE=ZDBE=90o在厶DBE和ACAE中ZDBE=ZCAEBD=ACZE=ZE.?.△dbe^acae.ED=EC,EB=EAAED-EA=EC—EB.AD=BC連接四邊形的對角線,把四邊形問題轉化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，AB〃CD,AD〃BC求證：AB=CD證明：連結AC（或BD）TAB#CD,AD〃BC?AZ1=Z2在厶ABC和厶CDA中,Z1=Z2AC=CAZ3=Z4.?.△ABC9ACDAAAB=CD練習：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,求證：BE=DF有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=9O°,Z1=Z2,CE丄BD的延長線于E求證：BD=2CE證明：分別延長BA、CE交于FTBE丄CF\ZBEF=ZBEC=90。2d在ABEF和厶BEC中2dZ1=Z2BE=BEZBEF=ZBEC??.△BEF^ABECACE=FE=j|cF?ZZBAC=90o,BE丄CF/.ZBAC=ZCAF=90oZ1+ZBDA=90oZ1＋ZBFC=90。ZBDA=ZBFC在厶ABD和厶ACF中ZBAC=ZCAFZBDA=ZBFCAB=AC/.△ABD^^ACFBD=CFBD=2CE練習：已知，如圖，ZACB=3Z練習：已知，如圖，ZACB=3ZB,Z1=Z2,CD丄AD于D,12.當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O,且AB=DC，AC=BD,求證：ZA=ZD證明：（連結BC,過程略）13.當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB=DC，ZA=ZD求證：ZABC=ZDCB證明：分別取AD、BC中點N、M,連結NB、NM、NC（過程略）14?有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，Z1=Z2,P為BN上一點，且PD丄BC于D,AB+BC=2BD,求證：ZBAP+ZBCP=180o證明：過P作PE丄BA于EVPD丄BC,Z1=Z2APE=PD在RtABPE和RtABPD中BP=BPPE=PDZ.Rt^BPE^Rt^BPDABE=BDVAB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE—AEAAE=CDVPE丄BE,PD丄BCZPEB=ZPDC=90o在APEA和厶PDC中PE=PDZPEB=ZPDCAE=CDAAPEA^APDCAZPCB=ZEAPVZBAP+ZEAP=180oAZBAP+ZBCP=180o練習：1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角ZMAC與ZNCA的平分線，它們交于P,PD丄BM于M,PF丄BN于F,求證：BP為ZMBN的平分線2.已知，如圖，在ZABC中，ZABC=100o,ZACB=20°,CE是ZACB的平分線,D是AC上一點，若ZCBD=20°,求ZCED的度數(shù)。15.有等腰三角形時常用的輔助線⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB=AC,BD丄AC于D,求證：ZBAC=2ZDBC證明：（方法一）作ZBAC的平分線AE,交BC于E,則Zl=Z2=勺ZBAC又TAB=AC.??AE丄BCAZ2+ZACB=90。TBD丄ACAZDBC+ZACB=90。.Z2=ZDBC.ZBAC=2ZDBC（方法二）過A作AE丄BC于E（過程略）（方法三）取BC中點E,連結AE（過程略）⑵有底邊中點時，常作底邊中線例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,D為BC中點，DE丄AB于E,DF丄AC于F,求證：DE=DF證明：連結AD.TD為BC中點，.??BD=CD又TAB=AC.AD平分ZBACTDE丄AB,DF丄AC.DE=DF⑶將腰延長一倍，構造直角三角形解題例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,在BA延長線和AC上各取一點E、F,使AE=AF,求證：EF丄BC證明：延長BE到N,使AN=AB,連結CN,則AB=AN=AC.ZB=ZACB,ZACN=ZANCTZB+ZACB+ZACN+ZANC=180。.?.2ZBCA+2ZACN=180。.?.ZBCA+ZACN=90o即ZBCN=90o.??NC丄BCTAE=AF.ZAEF=ZAFE又TZBAC=ZAEF+ZAFEZBAC=ZACN＋ZANC.ZBAC=2ZAEF=2ZANC.ZAEF=ZANC.??EF〃NC

.??EF丄BC⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE,連結DE交BC于F求證：DF=EF證明：（證法一）過D作DN〃AE,交BC于N,則ZDNB=ZACB，ZNDE=ZE，???AB=AC，.ZB=ZACB到s.ZB=Z到s.BD=DN又VBD=CE.DN=EC在ADNF和厶ECF中Z1=Z2ZNDF=ZEDN=EC.?.△DNF^AECF.DF=EF（證法二）過E作EM#AB交BC延長線于M,則ZEMB=ZB（過程略）⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖，AABC中，AB=AC，E在AC上,D在BA延長線上，且AD=AE,連結DE求證：DE丄BC證明：（證法一）過點E作EF〃BC交AB于F，則ZAFE=ZBZAEF=ZC???AB=AC.ZB=ZC.ZAFE=ZAEFTAD=AE.ZAED=ZADE又TZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180。.2ZAEF＋2ZAED=90o即ZFED=90。.DE丄FE又TEF〃BC.DE丄BC（證法二）過點D作DN〃BC交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點A作AM〃BC交DE于M,（過程略）⑹常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形等邊三角形例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC=80。,P為形內(nèi)一點，若ZPBC=10。ZPCB=30。求ZPAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結CE貝UZBAE=ZABE=60。

AE=AB=BETAB=AC???AE=ACZABC=ZACB???ZAEC=ZACEVZEAC=ZBAC-ZBAE=80o－60o=20o/.ZACE=J](18C0—ZEAC)=80oTZACB=J(180o-ZBAC)=50o?ZBCE=ZACE-ZACB=80o-50o=30oTZPCB=30o?ZPCB=ZBCETZABC=ZACB=50o,ZABE=60o?ZEBC=ZABE-ZABC=60o-50o=10oTZPBC=10o?ZPBC=ZEBC在厶PBC和厶EBC中ZPBC=ZEBCBC=BCZPCB=ZBCE/?△PBC^△EBC?BP=BETAB=BE?AB=BP?ZBAP=ZBPATZABP=ZABC-ZPBC=50o-10o=40o/?ZPAB=勺(180o-ZABP)=70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結AE,則EB=EC=BC，ZBEC=ZEBC=60oTEB=EC???E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上???EA所在的直線是BC的中垂線???EA丄BCZAEB=UZBEC=30o=/PCB由解法一知：ZABC=50。.?.ZABE=ZEBC-ZABC=10。=ZPBCTZABE=ZPBC,BE=BC,ZAEB=ZPCB.?.△abe^apbc.AB=BP.ZBAP=ZBPATZABP=ZABC-ZPBC=50。-10。=40。.?.ZPAB=@(180o—ZABP)=0(180。一40。)=70。16.有二倍角時常用的輔助線⑴構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在△ABC中，Z1=Z2,ZABC=2ZC,求證：AB＋BD=AC證明：延長AB到E,使BE=BD,連結DE則ZBED=ZBDETZABD=ZE＋ZBDE.ZABC=2ZE?TZABC=2ZC.ZE=ZC在AAED和厶ACD中ZE=ZCZ1=Z2AD=AD.?.△AED9AACD.AC=AETAE=AB＋BE.AC=AB＋BE即AB＋BD=AC⑵平分二倍角例：已知，如圖，在△ABC中，BD丄AC于D,ZBAC=2ZDBC求證：ZABC=ZACB證明：作ZBAC的平分線AE交BC于E,貝ZBAE=ZCAE=ZDBCTBD丄AC.??ZCBD+ZC=90。.??ZCAE+ZC=90o?.?ZAEC=180°—ZCAE—ZC=90。.AE丄BC.?.ZABC+ZBAE=90oVZCAE+ZC=90oZBAE=ZCAE.ZABC=ZACB⑶加倍小角

例：已知，如圖，在△ABC中，BD丄AC于D,ZBAC=2ZDBC求證：ZABC=ZACB證明：作ZFBD=ZDBC,BF交AC于F（過程略）17?有垂直平分線時常把垂直平分線17?有垂直平分線時常把垂直平分線例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,上的點與線段兩端點連結起來.ZBAC=120o,EF為AB的垂直平分線，EF平分線，EF交BC于F,交AB于E求證：BF=2)fc證明：連結AF,則AF=BFAZB=ZFAB???AB=ACAZB=ZCTZBAC=120。AZB=ZCZBAC=0(180°—ZBAC)=30。A.ZFAB=30bAZFAC=ZBAC—ZFAB=120。一30。=90。又VZC=30oAAF=*FCABF=2JFC練習：已知，如圖，在△ABC中，ZCAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D,DM丄AB于M,DN丄AC延長線于N求證：BM=CN18.有垂直時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在△ABC中，ZB=2ZC,AD丄BC于D求證：CD=AB＋BD證明：（一）在CD上截取DE=DB,連結AE,則AB=AEAZB=ZAEBVZB=2ZCZ.ZAEB=2ZC又VZ