專題強化訓練一：全等三角形、角平分線的判定和性質(zhì)一、單選題1．（2022·湖南·雙峰縣豐茂學校八年級期中）如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO＝CO，AB＝CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·廣東茂名·八年級期末）如圖，平分，于點，，點是射線上的任意一點，則的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．33．（2022·湖南常德·八年級期中）如圖，在ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心、適當長為半徑作圓弧，分別交邊AC，AB于點M，N；②分別以點M和點N為圓心，大于MN的長為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點P；③作射線AP交邊BC于點D，若CD=3，AB=8，則ABD的面積是（

）A．48 B．24 C．12 D．64．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖所示，△EBC≌△DCB，BE的延長線與CD的延長線交于點A，CE與BD相交于點O．則下列結論：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，在中，于點，于點，與相交于點，，則下列結論不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·陜西·西工大附中分校八年級期中）如圖，O是△ABC的角平分線的交點，△ABC的面積和周長都為24，則點O到BC的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022·重慶巴蜀中學八年級期末）如圖，ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于點G，BD平分∠ABC交AC于點D，AG、BD相交于點F，BE⊥AG交MG的延長線于點E，連接CE，下列結論中正確的有（）①若∠BAD＝70°，則∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個9．（2022·浙江麗水·八年級期末）如圖，，點E是AD上的點，連接BE，CE，且，BE平分．以下結論中：①E是AD中點，②，③，④，正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點，且，連接，下列說法：①和面積相等；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤11．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，P是∠AOB平分線上的點，PD⊥OB于點D，PC⊥OA于點C，則下列結論：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC與POD的面積相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2022·廣西·欽州市第四中學八年級階段練習）如圖，，分別是，上的點，過點作于點，作于點，若，，則下面三個結論：①；②；③，正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③13．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于點D，OD＝2，△ABC的周長為28，則△ABC的面積為（）A．28 B．14 C．21 D．714．（2022·黑龍江·肇東市第十中學八年級期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，DEAC交AB于點E，若AB=8，則DE的長度是（

）A．6 B．2 C．3 D．415．（2022·廣西欽州·八年級期中）如圖，已知矩形紙片，，，點在邊上，將沿折疊，點落在點處，，分別交于點，，且，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題16．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點D使CD＝AB，過點C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點F，交AB于點H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為______度．17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中學八年級期末）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，且，交于點，若，BD=8，，則線段的長度為______．18．（2022·浙江·八年級單元測試）如圖，已知∠A＝∠D，EF∥BC，請在空格上添加一個適當?shù)臈l件，使得△ABC≌△DEF，則添加的這個條件是________（只要填上一個滿足的條件即可）．19．（2022·陜西師大附中八年級期中）如圖，的三邊、、長分別為4、5、6．其三條角平分線交于點，則_____．20．（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖,在中,．點在直線上,動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動;動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動．點和點分別以每秒和2cm的運動速度同時開始運動,其中一點到達終點時另一點也停止運動,分別過點和作直線于直線于．當點運動時間為___________秒時,與全等．21．（2022·安徽宿州·八年級期末）如圖，點，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點，于點，且．則當點，不重合時，與的關系是______．22．（2021·貴州·黔西南州金成實驗學校八年級階段練習）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是_____．23．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點B，動點E從A點出發(fā)以2米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當點E經(jīng)過_____時，由點D、E、B組成的三角形與△BCA全等．三、解答題24．（2022·陜西·西工大附中分校八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥BC于E，點F為AB上一點，且DF＝DC．求證：∠AFD＝∠C．25．（2022·云南省楚雄天人中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延長線上一點，點E是∠CAD的平分線上一點，EB=EC，過點E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．(1)求證：△EGB≌△EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的長．26．（2022·北京·101中學八年級階段練習）在△ABC中，AB=AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC=90°時，那么∠DCE=度；(2)設∠BAC=α，∠DCE=β．①如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；②如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時α與β之間的數(shù)量關系（不需證明）．27．（2022·吉林·東北師大附中明珠學校八年級期末）勾股定理是數(shù)學史上非常重要的一個定理．早在2000多年以前，人們就開始對它進行研究，至今已有幾百種證明方法．在歐幾里得編的《原本》中證明勾股定理的方法如下，請同學們仔細閱讀并解答相關問題：如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊長，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．(1)連接BI、CE，求證：△ABI≌△AEC；(2)過點B作AC的垂線，交AC于點M，交IH于點N．請利用（1）的結論，直接寫出圖中與正方形ABDE的面積相等的四邊形，它是四邊形

．(3)應用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的邊長是

．28．（2022·浙江金華·八年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為線段CB一動點，連接AE，過點A作AF⊥AE且AF＝AE，過點F作FD⊥AC于點D，如圖①所示．(1)求證：FD＝AC．(2)若點E為BC中點，連BF交AC于點G，如圖②，已知CG＝1，求BC的長．29．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點H．(1)求證：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長．30．（2022·四川·富順第二中學校八年級階段練習）在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如圖1，當α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系是；(2)如圖2，當0＜α＜180時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．31．（2022·河北·豐寧滿族自治縣選將營中學八年級期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當MN繞點C旋轉到圖1的位置時，其他條件不變，請你探究線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關系？寫出結論，并寫出證明過程.(2)當MN繞點C旋轉到圖2的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結論還成立嗎？若不成立，請寫出你的結論，并加以證明；(3)當MN繞點C旋轉到圖3的位置時，其他條件不變，你在（1）中得到的結論還成立嗎？若不成立，請直接寫出結論，（不要求寫出證明過程）．參考答案：1．A【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根據(jù)斜邊直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，可得答案．【詳解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，∴△AOB和△COD是直角三角形，AO＝CO，AB＝CD，直角邊和斜邊對應相等，所以用的是斜邊和直角邊對應相等的方法判定的△AOB≌△COD，故選A．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，準確掌握方法的適用情況是解題的關鍵．2．C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)及點到直線的距離——垂線段最短即可．【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，當DF垂直O(jiān)B時，DF的值最小，最小值為DF=DE=4，故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理及點到直線的距離——垂線段最短．3．C【分析】利用基本作圖得到AD平分∠BAC，過D點作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面積公式求解．【詳解】解：由作法得AD平分∠BAC，過D點作DH⊥AB于H，如圖，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝3，∴△ABD的面積AB×DH8×3＝12．故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線的作圖和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．4．B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易證△OEB≌△ODC（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)依次進行判斷即可．【詳解】解：∵△EBC≌△DCB，∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，在△OEB和△ODC中，∴△OEB≌△ODC（AAS），故①選項符合題意；∵∠EBC＝∠DCB，∴AB＝AC，∵BE＝CD，∴AE＝AD，故②選項符合題意；沒有足夠的條件證明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，故③選項不符合題意；∵∠ECB＝∠DBC，∴OB＝OC，故④選項符合題意，綜上，符合題意的選項有①②④，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．5．B【分析】先利用HL判斷Rt△ABE≌△Rt△BAD，則可對A選項進行判斷；由于BA與BC不一定相等，所以不能確定△ABE與△CBE全等，則可對B選項進行判斷；由于Rt△ABE≌△Rt△BAD，則AE＝BD，則可根據(jù)AAS證明△AEF≌△BDF，△AEF≌△BDF，從而可對C、D選項進行判斷．【詳解】解：∵AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，∴∠AEB＝∠BDA＝90°，在Rt△ABE和Rt△BAD中，，∴Rt△ABE≌△Rt△BAD（HL），所以A選項不符合題意；∵BA與BC不一定相等，∴△ABE與△CBE不一定全等，所以B選項符合題意；∵Rt△ABE≌△Rt△BAD，∴AE＝BD，在△AEF和△BDF中，，∴△AEF≌△BDF（AAS），所以C選項不符合題意；在△ADC和△BEC中，，∴△AEF≌△BDF（AAS），所以D選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決此類問題的關鍵．6．B【分析】設點O到BC的距離為x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點O到AB，BC，AC的距離相等，都等于x，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設點O到BC的距離為x，∵O是△ABC的角平分線的交點，∴點O到AB，BC，AC的距離相等，都等于x，∵△ABC的面積為24，周長為24，∴，解得：x=2．即點O到BC的距離為2．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．7．B【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故選：B.【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關鍵．8．B【詳解】由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求∠EBC＝5°，故①正確；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可得BF＝2EF，故②正確；由“ASA”可證△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性質(zhì)可得EC≠BE，故③錯誤；由“SAS”可證△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可證△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正確；由角平分線的性質(zhì)可得NQ＝NP，由全等三角形的性質(zhì)可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正確，即可求解．【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，∴∠ABC＝50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，∴∠BFE＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴∠EBC＝5°，故①正確；②∵ACB＝60°，∴∠BAD+∠ABC＝120°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴BF＝2EF，故②正確；③如圖，延長BE，AC交于點H，∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，∴△ABE≌△AHE（ASA），∴BE＝EH，∵BC≠AC，∴EC≠BE，故③錯誤；④如圖，在AB上截取BN＝BG，連接NF，∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，∴△BFN≌△BFG（SAS），∴∠BFN＝∠BFG＝60°，∴∠AFD＝∠AFN＝60°，又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，∴△AFD≌△AFN（ASA），∴AD＝AN，∴AB＝BG+AD，故④正確；⑤如圖，過點N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，∴NP＝NQ，∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，∴，∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，∴，故⑤正確，故選：B．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．9．B【分析】延長BE交CD的延長線于點F，證明?ABE??DFE，得出AE=DE，AB=DF，即可判斷①和②正確；過點E作EM⊥BC于點M，EN⊥CD于點N，由角平分線的性質(zhì)定理即可判斷③④．【詳解】解：延長BE交CD的延長線于點F，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠F=∠CBE，∴CF=BC，∵∠BEC=90°，∴CE⊥BF，∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，∵∠AEB=∠FED，∴?ABE??DFE，∴AE=DE，AB=DF，故①正確；∵CF=CD+DF，∴BC=CD+AB，故②正確；∵∠EDC≠∠ECD，∴ED≠EC，故③錯誤；過點E作EM⊥BC于點M，EN⊥CD于點N，∵CE平分∠BCD，∴EM=EN，∴，故④正確；故選：B．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．10．C【分析】由三角形中線性質(zhì)，把三角形分成面積相等的兩個三角形，可判定①正確；利用SAS證△BDF≌△CDE，可判定③正確，由△BDF≌△CDE得出∠F=∠CED，由平行線的判定定理可得出BFCE，可判定④正確；因為是的中線，而△ABC不一定是等腰三角形，所以AD就不一定平分∠BAC，可判定②錯誤；沒有條件能證得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，可判定⑤錯誤．【詳解】解：∵是的中線，∴S△ABD=S△ACD，故①正確；∵是的中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE(SAS)，故③正確；∴∠F=∠CED，∴BFCE，故④正確；∵是的中線，沒有AB=AC這個條件，所以AD不一定是角平分式，故②錯誤；沒有條件能證得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，故⑤錯誤；綜上，正確的有①③④，故選：C．【點睛】本題考查三角形中線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，證△BDF≌△CDE是解題的關鍵．11．D【分析】根據(jù)已知條件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：∵P是∠AOB平分線上的點，∴∠COP=∠DOP，∵PD⊥OB于點D，PC⊥OA于點C，∴∠OCP=∠ODP=90°，在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（AAS），∴PC=PD，OC=OD，故①②選項符合題意，∵△OCP≌△ODP（AAS），∴△POC與△POD的面積相等，故③選項符合題意；∵△OCP≌△ODP（AAS），∴∠OPD=∠OPC，∵∠POC+∠OPC=90°，∴∠POC+∠POD=90°，故④選項符合題意；綜上可知，①②③④均符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．12．C【分析】根據(jù)角平分線的判定，先證AP是∠BAC的平分線，再證Rt△APR≌Rt△APS(HL)，可證得AS=AR，成立．【詳解】解：如圖：連接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分線，在Rt△APR與Rt△APS中，∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS=AR，故①正確；∵AQ=PQ，∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，∴，②正確；BC只是過點P，并沒有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分線的判定和平行線的判定，難度適中．13．A【分析】連接OA，過點O作于點E，作于點F，則由角平分線的性質(zhì)定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得結果．【詳解】解：連接OA，過點O作于點E，作于點F，如圖∵BO平分，，，在和中，，∴，∴OE=OD=2同理：OF=OD=2∴OE=OF=OD=2∵==28∴故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，求三角形的面積等知識，關鍵是根據(jù)條件構造適合角平分線性質(zhì)定理條件的輔助線．14．D【分析】分別延長AC、BD交于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAD=∠FAD，證明△BAD≌△FAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE=ED，EA=ED，進一步計算即可求解．【詳解】解：分別延長AC、BD交于點F，∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°，在△BAD和△FAD中，，∴△BAD≌△FAD（ASA），∴∠ABD=∠F，∵DEAC，∴∠EDB=∠F，∠EDA=∠FAD，∴∠ABD=∠EDB，∠EDA=∠EAD，∴BE=ED，EA=ED，∴BE=EA=ED，∴DE=AB=×8=4，故選：D．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．15．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)得到DC=DE=4，CP=EP，，再由三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得OE=OB，EF=BP，從而有BF=EP=CP，設BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的長，再有勾股定理求得x的值從而得到DF的長．【詳解】解：由矩形的性質(zhì)得到：DC=AB=4，AD=BC=3，，由折疊的性質(zhì)，得：DC=DE=4，CP=EP，，在中，，，∴BF=EP=CP設BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在中，，即，，【點睛】本題考查了矩形得性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)與線段的和差求出BF=EP=CP是關鍵．16．30【分析】證明△ABC≌△DCE，可得∠A=∠D=20°，然后利用三角形內(nèi)角和可得∠DEC=∠ACB=50°，進而可以解決問題．【詳解】解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC與△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∠DEC＝∠ACB，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是得到△ABC≌△DCE．17．5【分析】首先證明△BDF≌△ADC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FD=CD，AD=BD，根據(jù)AD=8，DF=3，即可算出AF的長．【詳解】解：∵AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠C，∵∠2=∠3，∴∠3=∠C，在△ADC和△BDF中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴FD=CD，AD=BD，∵CD=3，BD=8，∴AD=8，DF=3，∴AF=8-3=5，故答案為：5．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．18．AC＝DF或AF＝CD（答案不唯一）【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決問題即可．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ACB，∵∠D＝∠A，∴當DF＝AC時，△ABC≌△DEF（ASA），∴可以添加條件：AC＝DF或AF＝CD．故答案為：AC＝DF或AF＝CD(答案不唯一)．【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握全等三角形的判定定理．19．6：5：4【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD=OE=OF，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵三條角平分線交于點O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OD=OE=OF，∴=AB：BC：CA=6：5：4，故答案為：6：5：4．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．20．2或6##6或2【分析】對點P和點Q是否重合進行分類討論，通過證明全等即可得到結果；【詳解】解：如圖1所示：與全等，，，解得∶；如圖2所示：點與點重合，與全等，，解得∶；故答案為∶或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準確分析計算是解題的關鍵．21．BD與EF互相平分【分析】先根據(jù)DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．【詳解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．設EF與BD交于點G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD與EF互相平分．【點睛】此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強的中檔題．22．3【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：過D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．23．0，3，9，12【分析】首先分兩種情況：當E在線段AB上和當E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結果．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點E的運動時間為6÷2＝3（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點E的運動時間為18÷2＝9（秒）；③當E在線段AB上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點E的運動時間為24÷2＝12（秒），故答案為：0，3，9，12．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關鍵在找到所有符合題意的情況．24．見解析【分析】利用證明≌，即可解決問題．【詳解】證明：平分，，，∴，在和中，，≌，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，得到≌是解決問題的關鍵．25．(1)見解析(2)AF的長為1【分析】（1）先證明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，結合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；（2）根據(jù)Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根據(jù)AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．（1）解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，∴∠EGB=90°=∠EFC，∴△EGB和△EFC是直角三角形，∵AE平分∠CAD，∴∠EAG=∠EAF，∵EA=EA，∴△AGE≌△AFE，∴EG=EF，∵EB=EC，∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，得證；（2）解：∵在（1）中證得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，∴BG=FC，AG=AF，∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，∵AB=3，∴2AF+3=5，∴AF=1，即AF的長為1．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△AGE≌△AFE是解答本題的關鍵．26．(1)90(2)①α+β=180°；證明見解析；②α=β．【分析】（1）易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解題；（2）①易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠B+∠ACB=180°-α即可解題；②易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解題．（1）解：∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案為：90；（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°-α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，∴α+β=180°；②作出圖形，∵∠BAD+∠BAE=∠BAC=α，∠BAE+∠CAE=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關鍵．27．(1)證明見解析(2)AMNI(3)2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AE，AC=AI，∠BAE=∠CAI=90°，得出∠EAC=∠BAI，即可得出△ABI≌△AEC(SAS)；（2）證BM∥AI，得出，同理：，由△ABI≌△AEC，即可得出四邊形AMNI與正方形ABDE的面積相等；（3）由題意可求出矩形AMNI的面積，從而得出正方形ABDE的面積，進而可求出正方形ABDE的邊長．（1）證明：∵四邊形ABDE、四邊形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中∴△ABI≌△AEC(SAS)；（2）證明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴，同理：．又∵△ABI≌△AEC，∴四邊形AMNI與正方形ABDE的面積相等．故答案為：AMNI；（3）解：由題意可知四邊形AMNI為矩形，∴AI=IH=MN=4，∴IN=IH-NH=1，∴，∴，∴正方形ABDE的邊長為2．故答案為：2．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．28．(1)證明見解析，(2)BC=4．【分析】（1）證明△ADF≌△ACE即可；（2）易證△FDG≌△BCG，則可得出CD的長度，由（1）可得△ADF≌△ACE，點E為BC中點則點D為AC中點，求出AC即可得到BC的長度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，F(xiàn)D=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，F(xiàn)D=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，則CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，點E為BC中點，∴點D為AC中點，則AC=2CD=4，∴BC=AC=4．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形對應邊和對應角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解題的關鍵．29．(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作于點，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作于點，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設，則，，再根據(jù)定