.PAGE.斜率乘積為定值的問題探究[教學(xué)目標(biāo)]會(huì)合理選擇參數(shù)〔坐標(biāo)、斜率等表示動(dòng)態(tài)幾何對(duì)象和幾何量,探究、證明動(dòng)態(tài)圖形中的不變性質(zhì),體會(huì)"設(shè)而不求"、"整體代換"在簡(jiǎn)化運(yùn)算中作用．[教學(xué)難、重點(diǎn)]解題思路的優(yōu)化．[教學(xué)過程]一．基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法梳理問題1．已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)P是圓O上異于A,B的兩點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1.k2=.問題2．〔類比遷移1點(diǎn)P是橢圓上上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)以外的任一點(diǎn),A、B是該橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1k2=.y問題3.〔引申拓展1求證：橢圓y長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓上除這兩個(gè)頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)連線斜率之積為．問題4.〔引申拓展2設(shè)A、B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上不同于A,B的任一點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1k2是否為定值？并給予證明．問題5.〔類比遷移2設(shè)A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是該雙曲線上不同于A,B的任一點(diǎn),直線PA,PB的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否為定值？并給予證明．知識(shí)梳理：結(jié)論1.設(shè)A、B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上不同于A,B的任一點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則．結(jié)論2.設(shè)A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是該雙曲線上不同于A,B的任一點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則．友情提醒：以上兩結(jié)論在解決填空題的時(shí)候,在你確保結(jié)論沒記錯(cuò)的前提下,你可任性地使用；但：在解決解答題的時(shí)候,若要用到該結(jié)論,不可任性,需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明,否則,受傷的只是你。二．基礎(chǔ)訓(xùn)練1.<2012天津理19改編>設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在橢圓上且異于兩點(diǎn),若直線AP與BP的斜率之積為,則橢圓的離心率為.解析：利用kAP·kBP＝,很快可以得到橢圓的離心率為eq\f<\r<2>,2>.2.如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),B、C分別為橢圓的上、下頂點(diǎn),直線BF2與橢圓的另一交點(diǎn)為D.若cos∠F1BF2＝eq\f<7,25>,則直線CD的斜率為．解析：由已知可得,所以,所以,又因?yàn)?且,所以,所以．3.〔2016如東月考已知橢圓,點(diǎn)為其長(zhǎng)軸的6等分點(diǎn),分別過這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線,交橢圓于點(diǎn),則這10條直線,的斜率的乘積為．變式.〔嚇嚇你已知橢圓,點(diǎn)為其長(zhǎng)軸的2018個(gè)等分點(diǎn),分別過這2017個(gè)點(diǎn)作斜率為的一組平行線,交橢圓于點(diǎn),則這4034條直線,的斜率的乘積為．圖34.〔2011XX18改編如圖3,已知橢圓方程為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k,對(duì)任意,圖3求證：PA⊥PB．分析：可以轉(zhuǎn)化為證明KPAKPB=-1,注意到KABKPB==．法一：由題意設(shè),A、C、B三點(diǎn)共線,又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上,,兩式相減得：,,．法二：設(shè),A、C、B三點(diǎn)共線,又因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上,,兩式相減得：,,．法三：設(shè),則,,,即,設(shè),因?yàn)?,所以,又因?yàn)?在橢圓上,所以,,所以,所以,所以,即．方法梳理：一.解決直線和圓錐曲線問題的一般方法：Step1設(shè)〔點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程、曲線方程；Step2代〔點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,方程聯(lián)立方程組代入消元；Step1化〔化簡(jiǎn)方程,解方程.二.常用的化簡(jiǎn)策略"設(shè)而不求",整體代換三.解決此類問題的基本要求1、"思路清晰","出路通達(dá)"；2、書寫規(guī)范,推算嚴(yán)謹(jǐn)。三.典型例題例1.〔XX市、XX市2017一模改編已知橢圓的方程,直線,〔交橢圓于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),,記直線的斜率分別為,當(dāng)時(shí),求的值.解：〔1方法一：設(shè),,,聯(lián)立,消去,得,因?yàn)?,所以恒成立,,,又,所以,所以,,則.方法二：設(shè),,,則,兩式作差,得,又,,∴,∴,又,在直線上,∴,∴,①又在直線上,∴,②由①②可得,,所以,,所以.例2.〔2013蘇北四市?？碱}改編如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓,若點(diǎn),分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸,點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),直線交于點(diǎn).〔1設(shè)直線的斜率為直線的斜率為,求證：為定值；〔2設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為.求證：直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解．〔1法一、設(shè),,則,,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,所以,,因?yàn)樵跈E圓上,所以,故為定值．法二、設(shè),因?yàn)?所以所以,又因?yàn)樵跈E圓上,所以,所以,設(shè)直線的方程為,則直線的斜率為,,直線的斜率為,所以為定值．〔2法一、直線的斜率為,直線的斜率為,則直線的方程為,==,所以直線過定點(diǎn)．法二、由〔1知,又因?yàn)?所以,所以,若記直線與軸的交點(diǎn)為,則,即,所以,又,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,故直線過定點(diǎn)．例3：已知橢圓方程C的方程為,為橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)S為橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn).〔1試求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；〔2試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點(diǎn),并證明你的結(jié)論.解：〔1方法一.由已知可得,,設(shè)的方程為,,則,聯(lián)立方程組,整理可得,所以,,所以,設(shè),又因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,且,,所以,即,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.方法二.由已知可得,,設(shè)的方程為,,則,由于,所以,所以可設(shè)的方程為,則,所以,且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.〔2法一.由〔1知,,所以以線段MN為直徑的圓的方程為,即<*>,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)<*>式恒成立,所以,或即以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn)和.法二.假設(shè)以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn),由〔1可得,,所以,又,,所以對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)都成立,即<*>,當(dāng)時(shí)<*>式恒成立,所以,或即以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn)和.引申：若直線方程變?yōu)闀r(shí),以上問題的結(jié)果又如何呢？由已知可得,,設(shè)的方程為,,則,由于,所以,所以可設(shè)的方程為,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.〔2假設(shè)以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn),由〔1知,,所以,又,,所以對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)都成立,即<*>,當(dāng)時(shí)<*>式恒成立,所以,或即以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn)和.當(dāng)時(shí),以上的結(jié)論又如何？〔1MN的長(zhǎng)度的最小值為；〔2當(dāng)時(shí),以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn)和；當(dāng)時(shí),以線段MN為直徑的圓是恒過定點(diǎn)和.四.課堂小結(jié)五.鞏固練習(xí)1.〔2015全國(guó)卷2理20已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為．<Ⅰ>證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；〔Ⅱ若過點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形？若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說明理由．試題分析：<Ⅰ>題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題,故可以采取"點(diǎn)差法"或"韋達(dá)定理"兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程并作差,出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求弦的中點(diǎn),并尋找兩條直線斜率關(guān)系；〔Ⅱ根據(jù)<Ⅰ>中結(jié)論,設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立,求得坐標(biāo),利用以及直線過點(diǎn)列方程求的值．試題解析：<Ⅰ>設(shè)直線,,,．將代入得,故,．于是直線的斜率,即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．〔Ⅱ四邊形能為平行四邊形．因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是,．由<Ⅰ>得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得,即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得,因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即．于是．解得,．因?yàn)?,2,所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形．2.〔2015上海理.已知橢圓,過原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于和,記得到的平行四邊形的面積為.〔1設(shè),,用的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離,并證明；〔2若和的斜率之積為,試求的值.解析：依題意,直線的方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)到的距離為,因?yàn)?所以〔2方法一：設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,設(shè)直線的的方程為,聯(lián)立方程組,消去解得,根據(jù)對(duì)稱性,設(shè),則,同理可得,則,所以.方法二：設(shè)直線、的斜率分別為、,則,所以,所以,因?yàn)?在橢圓上,所以,即,所以,即,所以.3．<2016XX文21>已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為.〔I求橢圓C的方程；<Ⅱ>過動(dòng)點(diǎn)M<0,m><m>0>的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P<P在第一象限>,且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B/r/