-PAGE.z.專題一：特殊的平行四邊形矩形菱形正方形一、學法指引矩形菱形正方形是特殊的平行四邊形，因此它們既具有平行四邊形的一般性質，又具有自己的特殊性質，要求掌握各自的性質，判定，并能運用性質、判定解決相關問題同時注意它們的包含與被包含的關系。二、探究與思考1〕探究矩形的定義，性質，判定①矩形的定義矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形②矩形的特殊性質因為平行四邊形的對角相等，鄰角互補，而矩形有一個角是直角，所以矩形的四個角都是直角矩形性質1矩形的四個角都是直角．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，顯然△ABC≌△DCB,所以AC=BD,矩形性質2矩形的對角線相等．直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．由性質2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．例1、：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形對角線的長．例2、：如圖，矩形ABCD中，AB長8cm，對角線比AD邊長4cm．求AD的長及點A到BD的距離AE的長例3、如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，點E、F、G、H分別在四邊形的邊上。求證：FH=EG講中練1．填空：〔1〕矩形的定義中有兩個條件：一是，二是．〔2〕矩形的一條對角線與一邊的夾角為30°，則矩形兩條對角線相交所得的四個角的度數(shù)分別為、、、．2．以下說法錯誤的選項是〔〕．A、矩形的對角線互相平分B、矩形的對角線相等C、有一個角是直角的四邊形是矩形D、有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形3.矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有〔〕．A、2對B、4對C、6對D、8對4．矩形的一條對角線長為10cm，兩條對角線的一個交角為120°，則矩形的邊長分別為__________cm，cm，cm，cm．5、如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE=3∠BAE，則∠BAE=，∠EAC=。6、如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度數(shù)．7、如圖〔a〕，在矩形ABCD中，兩條對角線交于點O,∠AOD＝120°，AB＝4．求：〔1〕矩形對角線長；〔2〕BC邊的長;〔3〕假設過O垂直于BD的直線交AD于E，交BC于F〔圖4-31〔b〕〕．求證：EF＝BF，OF=CF；〔4〕如圖4-31〔c〕，假設將矩形沿直線MN折疊，使頂點B與D重合，M，N交AD于M，交BC于N．求折痕MN長．③矩形的判定：判定一：有一個角是90°的平行四邊形判定二：有三個內(nèi)角是直角的四邊形判定三：對角線相等的平行四邊形由判定一、三可知要證明一個四邊形是矩形，一般先證明它是平行四邊形，再證明有一個角是直角。例4、如圖，在△ABC中，點D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分別是∠BDC、∠ADC的平分線。四邊形FDEC是矩形嗎？為什么？例5、如圖，□ABCD的4個內(nèi)角平分線圍成的四邊形PQRS是矩形嗎？為什么？例6、如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點。四邊形EFGH是矩形嗎？為什么？講中練1、正確的打"√〞，錯誤的打"×〞〔1〕四個角相等的四邊形是矩形〔〕?！?〕對角線相等的四邊形是矩形〔〕?！?〕對角線互相平分且相等的四邊形是矩形〔〕?！?〕一組對邊平行另一組對相等且對角線相等的四邊形是矩形〔〕。2、四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，以下條件中能識別它為矩形的是()．A、AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCB、AO＝CO，BO＝DO，AB＝DCC、AB∥CD，AD∥BC，AO＝COD、AO＝BO＝CO＝DO3、【問題一】如圖，四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的長嗎？【問題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請你猜測四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜測。4、如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。請答復以下問題〔不要求證明〕：〔1〕四邊形ADEF是什么四邊形？〔2〕當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？〔3〕當△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在2〕菱形，正方形①菱形，正方形的定義、性質ACACB正方形定義：一組鄰邊相等的矩形叫正方形菱形的性質：1、四邊都相等2、對角線互相垂直平分D正方形性質：1、四邊都相等2、對角線相等且互相垂直平分例7、如圖在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，求∠B的度數(shù)，并說明△ABC是等邊三角形。例8、如下圖，正方形ABCD中，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F。請猜測EF與PA的數(shù)量關系、位置關系，并說明理由。②菱形，正方形的判定CBOECBOEFDA例10、如下圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，試說明四邊形CEDF為正方形。拓展練習一、填空題1、一個菱形的周長等于20cm，菱形的一條對角線長為5cm，則菱形的四個內(nèi)角分別是＿＿＿。2、如下圖，在邊長為8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一個動點，則EF＋BF的最小值是＿＿?！?題圖〕〔5題圖〕〔7題圖〕〔9題圖〕3、正方形的對稱軸有＿＿＿條，它的對稱中心是＿＿＿。4、正方形的邊長為4cm，則周長為＿＿，面積為＿＿＿。5、如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長均為4，O是正方形ABCD的旋轉對稱中心，則圖中陰影局部的面積是＿＿6、：矩形ABCD中，AB＝2CB，點E中DC上，且AE＝AB，則∠EBC＝＿＿＿。7、如下圖，在正方形ABCD中，M是BC上一點，連結AM，作AM的垂直平分線GH交AB于G，交CD于H，假設AM＝10cm，則GH＝＿＿。8、菱形的一個內(nèi)角為120°，較短的對角線長為10cm，則菱形的周長為＿＿＿cm。9、如下圖，把25個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、C、D都是小正方形的頂點，則四邊形ABCD的面積為＿＿＿。10、正方形ABCD中，對角線的長是10cm，點P是AB上任意一點，則點P到AC、BD的距離之和是＿＿＿二、選擇題1、同學們玩過萬花筒，它是三塊等寬、等長的玻璃片圍成的。如下圖的是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有的小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形(四邊相等)AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心＿＿＿得到的。A、順時針旋轉60°B、逆時針旋轉60°C、順時針旋轉120°D、逆時針旋轉120°〔1題圖〕〔6題圖〕〔7題圖〕2、在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，以下條件能判定這個四邊形是正方形的是＿＿。A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC3、正方形具有而菱形沒有的性質是＿＿＿。A、對角線互相平分B、每條對角線平分一組對角C、對角線相等D、對邊相等4、在正方形ABCD所在平面內(nèi)找一點P，使P點與A、B、C、D中兩點都連在一個等邊三角形，則這樣的P點有＿＿。A、5個B、12個C、9個D、15個5、能判定一個四邊形是菱形的條件是＿＿。A、對角線互相平分且相等B、對角線互相垂直且相等C、對角線互相垂直且兩組對角相等D、對角線互相垂直且一條對角線平分一組對角6、如下圖，菱形ABCD的邊長與正三角形AEF的邊長相等，且E、F分別在BC、CD上，則∠BAD的度數(shù)是＿＿。A、80°B、90°C、100°D、120°7、如下圖，以正方形ABCD中AD邊為一邊向外作等邊ΔADE，則∠AEB＝＿＿＿。A、10°B、15°C、20°D、12.5°8、如下圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2DC，M、N分別在AB兩邊的延長線上，且有MA＝AB＝BN，則MC與DN的關系是＿＿。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能確定〔8題圖〕〔9題圖〕9、如下圖，在正方形ABCD中，H是BC延長線上一點，使CE＝CH，連結DH，延長BE交DH于G，則下面結論錯誤的選項是＿＿。A、BE＝DHB、∠H＋∠BEC＝90°C、BG⊥DHD、∠HDC＋∠ABE＝90°能力升級1、：如下圖，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點A，把正方形AEFG繞A點旋轉到如下圖位置，連結DG、BE。試說明：DG＝BE。2、：如下圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的交點，AF、BE交于點G，連結CG，試說明：ΔCGB是等腰三角形。3、：如下圖，E、F分別是正方形的邊BC、DC上的點，且∠EAF＝45°，求證：BE＋DF＝EF4、如下圖，在正方形ABCD中，M為AB上任意一點，MN⊥DM，BN平分∠CBE，試說明：MD＝MN。5、：如下圖，ABCD是正方形，過B作BF∥AC，E是BF上一點，四邊形AEFC是菱形，試說明：∠FCA＝5∠F。6、如下圖，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，試說明：ΔDEF是腰三角形。7、如圖①所示，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，請說明OE＝OF對于上述命題，假設點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，如圖②所示，請你想一想，結論"OE＝OF〞還成立嗎？如果成立，請給予說明；如果不成立，請說明理由。8、如下圖，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分別為E、F。①當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形，請猜測并說明理由。②在①中，當點P運動到什么位置時，矩形PEMF變?yōu)檎叫?？為什么?、如下圖，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝12cm，點P沿AB邊從點A開場向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點