..1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v,速率為v,t至<t＋Δt>時(shí)間內(nèi)的位移為Δr,路程為Δs,位矢大小的變化量為Δr<或稱Δ｜r｜>,平均速度為,平均速率為．<1>根據(jù)上述情況,則必有<><A>｜Δr｜=Δs=Δr<B>｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=ds≠dr<C>｜Δr｜≠Δr≠Δs,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr≠ds<D>｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr=ds<2>根據(jù)上述情況,則必有<><A>｜｜=,｜｜=<B>｜｜≠,｜｜≠<C>｜｜=,｜｜≠<D>｜｜≠,｜｜=分析與解<1>質(zhì)點(diǎn)在t至<t＋Δt>時(shí)間內(nèi)沿曲線從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示,其中路程Δs＝PP′,位移大?。｜＝PP′,而Δr＝｜r｜-｜r｜表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等<注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能>．但當(dāng)Δt→0時(shí),點(diǎn)P′無限趨近P點(diǎn),則有｜dr｜＝ds,但卻不等于dr．故選<B>．<2>由于｜Δr｜≠Δs,故,即｜｜≠．但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可見,應(yīng)選<C>．1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r<x,y>的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即<1>；<2>；<3>；<4>．下述判斷正確的是<><A>只有<1><2>正確<B>只有<2>正確<C>只有<2><3>正確<D>只有<3><4>正確分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率．通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解．故選<D>．1-3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程,aｔ表示切向加速度．對(duì)下列表達(dá)式,即<1>dv/dt＝a；<2>dr/dt＝v；<3>ds/dt＝v；<4>dv/dt｜＝aｔ．下述判斷正確的是<><A>只有<1>、<4>是對(duì)的<B>只有<2>、<4>是對(duì)的<C>只有<2>是對(duì)的<D>只有<3>是對(duì)的分析與解表示切向加速度aｔ,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr<如題1-2所述>；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有<3>式表達(dá)是正確的．故選<D>．1-4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有<><A>切向加速度一定改變,法向加速度也改變<B>切向加速度可能不變,法向加速度一定改變<C>切向加速度可能不變,法向加速度不變<D>切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量aｔ起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于aｔ是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ為一不為零的恒量,當(dāng)aｔ改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)．由此可見,應(yīng)選<B>．*1-5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)．設(shè)該人以勻速率v0收繩,繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作<><A>勻加速運(yùn)動(dòng),<B>勻減速運(yùn)動(dòng),<C>變加速運(yùn)動(dòng),<D>變減速運(yùn)動(dòng),<E>勻速直線運(yùn)動(dòng),分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為,其中繩長(zhǎng)l隨時(shí)間t而變化．小船速度,式中表示繩長(zhǎng)l隨時(shí)間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x軸負(fù)向．由速度表達(dá)式,可判斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)．故選<C>．討論有人會(huì)將繩子速率v0按x、y兩個(gè)方向分解,則小船速度,這樣做對(duì)嗎？1-6已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為,式中x的單位為m,t的單位為s．求：<1>質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0s內(nèi)的位移的大??；<2>質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過的路程；<3>t＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度．分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念．只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等．質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的位移Δx的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了．為此,需根據(jù)來確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp,求出0～tp和tp～t內(nèi)的位移大小Δx1、Δx2,則t時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t＝4.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算．解<1>質(zhì)點(diǎn)在4.0s內(nèi)位移的大小<2>由得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為<t＝0不合題意>則所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為<3>t＝4.0s時(shí)1-7一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng),其速度與時(shí)間的關(guān)系如圖<a>所示．設(shè)t＝0時(shí),x＝0．試根據(jù)已知的v-t圖,畫出a-t圖以及x-t圖．分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中v-t曲線的斜率為加速度的大小<圖中AB、CD段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng)>．加速度為恒量,在a-t圖上是平行于t軸的直線,由v-t圖中求出各段的斜率,即可作出a-t圖線．又由速度的定義可知,x-t曲線的斜率為速度的大小．因此,勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-t圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x–t圖為t的二次曲線．根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x＝x<t>,求出不同時(shí)刻t的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出x-t圖．解將曲線分為AB、BC、CD三個(gè)過程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為<勻加速直線運(yùn)動(dòng)><勻速直線運(yùn)動(dòng)><勻減速直線運(yùn)動(dòng)>根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t圖［圖<B>］．在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有由此,可計(jì)算在0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間內(nèi)的x-t圖．在2～4ｓ時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)是作的勻速直線運(yùn)動(dòng),其x-t圖是斜率k＝20的一段直線［圖<c>］．1-8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,式中r的單位為m,t的單位為ｓ．求：<1>質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；<2>t＝0及t＝2ｓ時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；<3>由t＝0到t＝2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Δr和徑向增量Δr；*<4>2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s．分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y＝f<x>,可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x<t>和y<t>中消去t即可得到．對(duì)于r、Δr、Δr、Δs來說,物理含義不同,可根據(jù)其定義計(jì)算．其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求ｓ．解<1>由x<t>和y<t>中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖<a>所示．<2>將t＝0ｓ和t＝2ｓ分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為,圖<a>中的P、Q兩點(diǎn),即為t＝0ｓ和t＝2ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置．<3>由位移表達(dá)式,得其中位移大小而徑向增量*<4>如圖<B>所示,所求Δs即為圖中PQ段長(zhǎng)度,先在其間任意處取AB微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2ｓ內(nèi)路程為1-9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中x,y的單位為m,t的單位為ｓ．試求：<1>初速度的大小和方向；<2>加速度的大小和方向．分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．解<1>速度的分量式為當(dāng)t＝0時(shí),vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,則初速度大小為設(shè)vo與x軸的夾角為α,則α＝123°41′<2>加速度的分量式為,則加速度的大小為設(shè)a與x軸的夾角為β,則β＝-33°41′<或326°19′>1-10一升降機(jī)以加速度1.22m·ｓ-2上升,當(dāng)上升速度為2.44m·ｓ-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m．計(jì)算：<1>螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；<2>螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離．分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1＝y(tǒng)1<t>和y2＝y(tǒng)2<t>,并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(jī)<或螺絲>為參考系,這時(shí),螺絲<或升降機(jī)>相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲<或升降機(jī)>運(yùn)動(dòng)的路程．解1<1>以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1＝y(tǒng)2,即<2>螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2<1>以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g＋a,螺絲落至底面時(shí),有<2>由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)上升的高度為則1-11一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R＝3.0m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0ｓ,設(shè)t＝0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于O點(diǎn)．按<a>圖中所示Oxy坐標(biāo)系,求<1>質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢；<2>5ｓ時(shí)的速度和加速度．分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r＝r<t>求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息<如位置矢量、位移、速度、加速度>．在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)<0,3>為原點(diǎn)的O′x′y′坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程x′＝x′<t>和y′＝y(tǒng)′<t>來表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的．然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x＝x0＋x′和y＝y(tǒng)0＋y′,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy坐標(biāo)系中,即得Oxy坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢．采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度．解<1>如圖<B>所示,在O′x′y′坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程為,坐標(biāo)變換后,在Oxy坐標(biāo)系中有,則質(zhì)點(diǎn)P的位矢方程為<2>5ｓ時(shí)的速度和加速度分別為1-12地面上垂直豎立一高20.0m的旗桿,已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方,求在下午2∶00時(shí),桿頂在地面上的影子的速度的大?。诤螘r(shí)刻桿影伸展至20.0m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程．根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得．由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得．解設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為s＝htgωt,下午2∶00時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s＝h,則即為下午3∶00時(shí)．1-13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a＝4-t2,式中a的單位為m·ｓ-2,t的單位為ｓ．如果當(dāng)t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程．分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決．由和可得和．如a＝a<t>或v＝v<t>,則可兩邊直接積分．如果a或v不是時(shí)間t的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．解由分析知,應(yīng)有得<1>由得<2>將t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1代入<1><2>得v0＝-1m·ｓ-1,x0＝0.75m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1-14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測(cè)得其加速度a＝A-Bv,式中A、B為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程．分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv＝a<v>dt分離變量為后再兩邊積分．解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．<1>由題意知<1>用分離變量法把式<1>改寫為<2>將式<2>兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度由此可知當(dāng),t→∞時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．<2>再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1-15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的單位為m·ｓ-2．在t＝0時(shí),其速度為零,位置矢量r0＝10mi．求：<1>在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；<2>質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上的軌跡方程,分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x<t>和y<t>．由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下．解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0＝0時(shí)v0＝0,積分可得又由及初始條件t＝0時(shí),r0＝<10m>i,積分可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x＝10＋3t2y＝2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y＝2x-20m這是一個(gè)直線方程．直線斜率,α＝33°41′．軌跡如圖所示．1-16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B,OA和OB所對(duì)的圓心角為Δθ．<1>試證位置A和B之間的平均加速度為；<2>當(dāng)Δθ分別等于90°、30°、10°和1°時(shí),平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以討論．分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和．在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為,,式中｜Δv｜可由圖<B>中的幾何關(guān)系得到,而Δt可由轉(zhuǎn)過的角度Δθ求出．由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在Δt→0時(shí)的極限值．解<1>由圖<b>可看到Δv＝v2-v1,故而所以<2>將Δθ＝90°,30°,10°,1°分別代入上式,得,,以上結(jié)果表明,當(dāng)Δθ→0時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度．1-17質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r＝2.0ti＋<19.0-2.0t2>j,式中r的單位為m,t的單位為s．求：<1>質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；<2>在t1＝1.0s到t2＝2.0s時(shí)間內(nèi)的平均速度；<3>t1＝1.0ｓ時(shí)的速度及切向和法向加速度；<4>t＝1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑ρ．分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式x＝x<t>和y＝y(tǒng)<t>,從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程．平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率,即,它與時(shí)間間隔Δt的大小有關(guān),當(dāng)Δt→0時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度．切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量aｔ和an,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a和aｔ得到．在求得t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．解<1>由參數(shù)方程x＝2.0t,y＝t2消去t得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y＝19.0-0.50x2<2>在t1＝1.00ｓ到t2＝2.0ｓ時(shí)間內(nèi)的平均速度<3>質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為則t1＝1.00ｓ時(shí)的速度v<t>｜t＝1ｓ＝2.0i-4.0j切向和法向加速度分別為<4>t＝1.0ｓ質(zhì)點(diǎn)的速度大小為則1-18飛機(jī)以100m·ｓ-1的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：<1>此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？<2>投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？<3>物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的．因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解．此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g的切向和法向分量求得．解<1>取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x＝vt,y＝1/2gt2飛機(jī)水平飛行速度v＝100m·s-1,飛機(jī)離地面的高度y＝100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離<2>視線和水平線的夾角為<3>在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為1-19如圖<a>所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O處,已知斜坡傾角為α,炮身與斜坡的夾角為β,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力．求：<1>炮彈落地點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離OP；<2>欲使炮彈能垂直擊中坡面．證明α和β必須滿足并與v0無關(guān)．分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問,如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來并不容易．現(xiàn)建立如圖<a>所示坐標(biāo)系,則炮彈在x和y兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分別為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y＝0,則x＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．由于本題中加速度g為恒矢量．故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖<B>所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得<即圖中的r矢量>．<1>解1由分析知,炮彈在圖<a>所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為<1><2>令y＝0求得時(shí)間t后再代入式<1>得解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖<b>所示,并利用正弦定理,有從中消去t后也可得到同樣結(jié)果．<2>由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y＝0和vx＝0,則<3>由<2><3>兩式消去t后得由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0的大小無關(guān)．討論如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下．1-20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,<1>當(dāng)傘繞傘柄以勻角速ω旋轉(zhuǎn)時(shí),求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；<2>讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖<a>所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮．解<1>如圖<a>所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為<1><2>由式<1><2>可得由圖<a>所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為<2>常用草坪噴水器采用如圖<b>所示的球面噴頭<θ0＝45°>其上有大量小孔．噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上．則以φ角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題．1-21一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0m處以20.0m·ｓ-1的初速率罰任意球,已知球門高為3.44m．若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？<足球可視為質(zhì)點(diǎn)>分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到．由于水平距離x已知,球門高度又限定了在y方向的范圍,故只需將x、y值代入即可求出．解取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程,消去t得軌跡方程以x＝25.0m,v＝20.0m·ｓ-1及3.44m≥y≥0代入后,可解得71．11°≥θ1≥69．92°27．92°≥θ2≥18．89°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角<如圖所示>．如果以θ＞71．11°或θ＜18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制,θ角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值．當(dāng)傾角取值為27.92°＜θ＜69．92°時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門．因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果．1-22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0、b都是常量．<1>求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；<2>t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？<3>當(dāng)加速度達(dá)到b時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s＝s<t>,對(duì)時(shí)間t求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2/R．這樣,總加速度為a＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st-s0．因圓周長(zhǎng)為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得．解<1>質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為,故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為<2>要使｜a｜＝b,由可得<3>從t＝0開始到t＝v0/b時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1-23一半徑為0.50m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),其角速度與時(shí)間的平方成正比．在t＝2.0ｓ時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0m·ｓ-1．求：<1>該輪在t′＝0.5ｓ的角速度,輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；<2>該點(diǎn)在2.0ｓ內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度．分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系ω＝kt2．依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,ω＝ω<t>確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方法<微分法和積分法>,即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移．解因ωR＝v,由題意ω∝t2得比例系數(shù)所以則t′＝0.5ｓ時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0ｓ內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度1-24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為,式中θ的單位為rad,t的單位為ｓ．<1>求在t＝2.0ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度．<2>當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí),θ值為多少？<3>t為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到．解<1>由于,則角速度．在t＝2ｓ時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為<2>當(dāng)時(shí),有,即得此時(shí)刻的角位置為<3>要使,則有t＝0.55ｓ1-25一無風(fēng)的下雨天,一列火車以v1＝20.0m·ｓ-1的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降．求雨滴下落的速度v2．<設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)>分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系Ｓ,火車為動(dòng)參考系Ｓ′．v1為Ｓ′相對(duì)Ｓ的速度,v2為雨滴