彈性力學模擬練習題彈性力學模擬練習題彈性力學模擬練習題彈性力學模擬練習題一、判斷題1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被構成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（√）2、假如某一問題中，zzxzy0，只存在平面應力重量x，y，xy，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應力問題。（√）3、假如某一問題中，zzxzy0，只存在平面應變重量x，y，xy，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應變問題。（√）4、當物體的形變重量完整確準時，位移重量卻不可以完整確立。（√）5、當物體的位移重量完整確準時，形變重量即完整確立。（√）6、在有限單元法中，結點力是指結點對單元的作用力。（√）7、在平面三結點三角形單元的公共界限上應變和應力均有突變。（√）10、體力作用于物體內部的各個質點上，所以它屬于內力。（×）解答：外力。它是質量力。11、在彈性力學和資料力學里關于應力的正負規(guī)定是相同的。（×）解答：二者正應力的規(guī)定相同，剪應力的正負號規(guī)定不一樣。12、當問題可看作平面應力問題來辦理時，總有zxzyz0。（√）解答：平面應力問題，總有zxzyz013、當物體可看作平面應變問題來辦理時，總有zxzyz0。（√）解答：平面應變問題，總有zxzyz014、已知位移重量函數(shù)uk1x2y2,vk2xy，k1,k2為常數(shù)，由它們所求得形變重量不必定能滿足相容方程。（×）解答：由連續(xù)可導的位移重量按幾何方程求得的形變重量也必定能滿足相容方程。因為幾何方程和相容方程是等價的。22215、形變狀態(tài)xkxy,yky,xy2kxy,k0是不行能存在的。（×）解答：所給形變重量能滿足相容方程，所以該形變重量是可能存在的。216、在y為常數(shù)的直線上，如u0，則沿該線必有x0。（√）17、應變狀態(tài)xk(x2y2),yky2,xy2kxy,(k0)是不行能存在的。（×）改：所給應變重量滿足相容方程，所以該應變狀態(tài)是可能存在的。18、圖示工字形截面梁，在均衡力偶系的作用下，只在右端局部地域產生應力。（×）改：關于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應用圣維南原理時，一定滿足下述必需條件，即力系作用地域的尺寸與該地域物體的最小尺寸相當。在本例中，力系作用地域的尺寸（是工字形截面高和寬）遠遠大于該地域物體的最小尺寸（腹板和翼緣的厚度）。19、物體變形連續(xù)的充分和必需條件是幾何方程（或應變相容方程）。（×）改：（一）：物體（當是單連體時）；改：（二）：關于多連體，還有位移單值條件。20、關于應力界限問題，滿足均衡微分方程和應力界限的應力，必為正確的應力分布。（×）改：應力還要滿足相容方程，關于多連體，還要看它能否滿足位移單值條件。21、在體力是常數(shù)的狀況下，應力解答將與彈性常數(shù)沒關。（×）改：假如彈性體是多連體或有位移界限，需要經過虎克定原由應力求出應變，再對幾何方程積分求出位移，將其代入位移界限和位移單值條件，并由此確立待定常數(shù)時，將與彈性常數(shù)有關。22、在體力不是常量狀況下，引入了應力函數(shù)222,且xXx,yYyxy均衡微分方程可以自動滿足。y2x2，xy（×）改：在常體力狀況下，————22223、在常體力下，引入了應力函數(shù),且xy2Xx,yx2Yy,xyxy，平衡微分方程可以自動滿足。（√）324、某一應力函數(shù)所能解決的問題與坐標系的選擇沒關。（）改：三次及三次以上的應力函數(shù)所能解答的問題與坐標系的采納有關。25、三次或三次以下的多項式總能滿足相容方程。（√）答：相容方程中的每一項都是四階導數(shù)。26、關于純曲折的修長的梁，由資料力學獲取的撓曲線是它的精確解。（√）解：關于純曲折的修長的梁，材力和彈力獲取的撓曲線方程是相同的。27、對承受端荷載的懸臂梁來說，彈性力學和資料力學獲取的應力解答是相同的。（√）解答：端部切向面力一定按拋物線規(guī)律分布于端部，不然獲取的是圣維南近似解。二、填空題1、彈性力學研究彈性體因為受外力作用、界限拘束或溫度改變等原由此發(fā)生的應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力今后，其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與物體的形變和資料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的重量，也就是正應力和切應力。應力及其重量的量綱是-1-2LMT。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完整彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。7、已知一點處的應力重量x100MPa，y50MPa，xy1050MPa，則主應力150MPa，20MPa，13516。8、已知一點處的應力重量，x200MPa，y0MPa，xy400MPa，則主應力1512MPa，2-312MPa，1-37°57′。9、已知一點處的應力重量，x2000MPa，y1000MPa，xy400MPa，則主應力11052MPa，2-2052MPa，1-82°32′。10、在彈性力學里解析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力重量與體力重量之間關系的方程為均衡微分方程。412、界限條件表示界限上位移與拘束，或應力與面力之間的關系式。分為位移界限條件、應力界限條件和混雜界限條件。13、按應力求解平面問題經常采納逆解法和半逆解法。14、有限單元法第一將連續(xù)體變換成為失散化結構，而后再用結構力學位移法進行求解。其詳盡步驟分為單元解析和整體解析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包括著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是因為其余單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應變一般總是包括著兩部分：一部分是與該單元中各點的地址坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與地址坐標沒關的，是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式一定能反響單元的剛體位移和常量應變，還應該盡可能反響相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內部的位移保持連續(xù)，一定把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不但要使它們在公共結點處具有相同的位移時，也能在整個公共界限上擁有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結點Ni=1；在其余結點Ni=0及∑Ni=1。20、為了提升有限單元法解析的精度，一般可以采納兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反響位移和應力變化狀況；二是采納包括更高次項的位移模式，使位移和應力的精度提升。一、簡答題1．試寫出彈性力學平面問題的基本方程，它們揭穿的是那些物理量之間的互相關系？在應用這些方程時，應注意些什么問題？答：平面問題中的均衡微分方程：揭穿的是應力重量與體力重量間的互相關系。應注意兩個微分方程中包括著三個未知函數(shù)σx、σy、xy=τyx，所以，決定應力重量的問題是超靜定的，還一定考慮形變和位移，才能解決問題。5平面問題的幾何方程:揭穿的是形變重量與位移重量間的互相關系。應注意當物體的位移重量完整確準時，形變量即完整確立。反之，當形變重量完整確準時，位移重量卻不可以完整確立。平面問題中的物理方程：揭穿的是形變重量與應力重量間的互相關系。應注意平面應力問題和平面應變問題物理方程的變換關系。2．依據(jù)界限條件的不一樣，彈性力學問題分為那幾類界限問題？試作簡要說明。答：依據(jù)界限條件的不一樣，彈性力學問題分為位移界限問題、應力界限問題和混雜界限問題。6位移界限問題是指物體在所有界限上的位移重量是已知的，也就是位移的界限值是界限上坐標的已知函數(shù)。應力界限問題中，物體在所有界限上所受的面力是已知的，即面力重量在界限上所有各點都是坐標的已知函數(shù)?；祀s界限問題中，物體的一部分界限擁有已知位移，因此擁有位移界限條件;另一部分界限則擁有應力界限條件。3．彈性體任意一點的應力狀態(tài)由幾個應力重量決定？試將它們寫出。如何確立它們的正負號？答：彈性體任意一點的應力狀態(tài)由6個應力重量決定，它們是：x、y、z、xy、yz、、zx。正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。4．在推導彈性力學基本方程時，采納了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試舉例說明。答：答：在推導彈性力學基本方程時，采納了以下基本假定：（1）假定物體是連續(xù)的。72）假定物體是完整彈性的。3）假定物體是均勻的。4）假定物體是各向同性的。5）假定位移和變形是細小的。吻合（1）~（4）條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構件、一般土質地基可近似視為“理想彈性體”。．什么叫平面應力問題？什么叫平面應變問題？各舉一個工程中的實例。答：平面應力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應變問題是指很長的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面并且也不沿長度變化，即內在要素和外來作用都不沿長度而變化。86．在彈性力學里解析問題，要從幾方面考慮？各方面反響的是那些變量間的關系？答：在彈性力學利解析問題，要從3方面來考慮：靜力學方面、幾何學方面、物理學方面。平面問題的靜力學方面主要考慮的是應力重量和體力重量之間的關系也就是平面問題的均衡微分方程。平面問題的幾何學方面主要考慮的是形變重量與位移重量之間的關系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學方面主要反響的是形變重量與應力重量之間的關系，也就是平面問題中的物理方程。7．依據(jù)界限條件的不一樣，彈性力學平面問題分為那幾類？試作簡要說明答：依據(jù)界限條件的不一樣，彈性力學平面問題可分為兩類：1）平面應力問題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問題可以簡化為平面應力問題。比方深梁在橫向力作用下的受力解析問題。在該種問9題中只存在x、y、xyyx三個應力重量。（2）平面應變問題：很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，并且體力也平行于橫截面且不沿長度變化。這一類問題可以簡化為平面應變問題。比方擋土墻和重力壩的受力解析。該種問題xzzx0;yzzy0而一般z其實不等于零。8．什么是圣維南原理？其在彈性力學的問題求解中有什么實質意義？圣維南原理可表述為：假如把物體的一小部分界限上的面力變換為分布不一樣但靜力等效的面力（主矢量相同，關于同一點的主矩也相同），那麼近處的應力分布將有明顯的改變，但遠地方受的影響可以不計．彈性力學的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的狀況轉變?yōu)殪o力等效但分布表達明確的狀況而將問題解決。還可解決界限條件不完整滿足的問題的求解。．什么是平面應力問題？其受力特色如何，10yx三個應力重量。試舉例予以說明。答：平面應力問題是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問題可以簡化為平面應力問題。比方深梁在橫向力作用下的受力解析問題。在該種問題中只存在x、y、xy10．什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和界限條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題?；静罘止揭韵拢篺f1f3x02h2ff1f32f0x20h2ff2f4y02h2ff2f42f0y20h211、彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：（答出注明的內11容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量即可看作是連續(xù)的，所以，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完整彈性假定：這一假定包括應力與應變?yōu)檎鹊暮x，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內部各點的物理性質明顯都是相同的。所以，反響這些物理性質的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比μ等）就不隨處點坐標而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的均衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而依舊依據(jù)本來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程四、解析計算題1、試寫出無體力狀況下平面問題的應力重量存在的必需條件，并考慮以下平面問題的應力重量能否可能在彈性體中存在。（1）xAxBy，yCxDy，xyExFy；（2）xA(x2y2)，yB(x2y2)，xyCxy；此中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)。解：應力重量存在的必需條件是一定滿足以下條件：（1）在地域內的均衡微分12xyx022xyxy0；（3）在邊方程；（2）在地域內的相容方程2y2yxyxy0xlxmyxsfxs界上的應力界限條件；（4）關于多連體的位移單值條件。mylxysfys（1）此組應力重量滿足相容方程。為了滿足均衡微分方程，一定A=-F，D=-E。其余還應滿足應力界限條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)一定滿足A+B=0；為了滿足均衡微分方程，其系數(shù)一定滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，所以，此組應力重量不行能存在。2、已知應力重量xQxy2C1x3，y32C2xy2，xyC2y3C3x2y，體力不計，Q為常數(shù)。試利用均衡微分方程求系數(shù)C1，C2，C3。解：將所給應力重量代入均衡微分方程yx0yxy0x得2222Qy3C1x3C2yC3x0即223C1C3xQ3C2y0由x，y的任意性，得3C1C303C203C22C30由此解得，QQQ，C23，C32C163、已知應力重量xq，yq，xy0，判斷該應力重量能否滿足均衡微分方程和相容方程。13解：將已知應力重量xq，yq，xy0，代入均衡微分方程xyxX0xyyxyY0yx可知，已知應力重量xq，yq，xy0一般不滿足均衡微分方程，只有體力忽視不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：222y2(xy)x2(x)2(1)xyyxy將已知應力重量xq，yq，xy0代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：2222y2(x1x2(xyy)y1x)1xy將已知應力重量xq，yq，xy0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變重量存在的必需條件，并考慮以下平面問題的應變重量能否可能存在。（1）xAxy，yBy3，xyCDy2；（2）xAy2，yBx2y，xyCxy；（3）x0，y0，xyCxy；此中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應變重量存在的必需條件是滿足形變協(xié)調條件，即222xyxyy2x2xy將以上應變重量代入上面的形變協(xié)調方程，可知：（1）相容。（）2A2ByC（1分）；這組應力重量若存在，則須滿足：B，AC。2=02=C；這組應力重量若存在，則須滿足：C，則x0，y0，xy0（3）0==0（1分）。145、證明應力函數(shù)by2能滿足相容方程，并觀察在以以下圖的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，b0）。h/2O

xh/2l/2l/2y解：將應力函數(shù)by2代入相容方程444x42x2y2y40可知，所給應力函數(shù)by2能滿足相容方程。因為不計體力，對應的應力重量為222xy22b，yx20，xy0xy關于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，依據(jù)界限條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上面，yh，l0，m1，fx(xy)h0，fy(y)h0；2yy22下面，yh，l0，m1，fx(xy)yh0，fy(y)yh0；222左側，xl，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0；xx右側，xl，l1，m0，fx(x)l2b，fy(xy)l0。2x2x2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。所以，應力函數(shù)by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（b<0）的問題。6、證明應力函數(shù)axy能滿足相容方程，并觀察在以以下圖的矩形板和坐標系15中能解決什么問題（體力不計，a0）。h/2O

xh/2l/2l/2y解：將應力函數(shù)axy代入相容方程444x42x2y2y40可知，所給應力函數(shù)axy能滿足相容方程。因為不計體力，對應的應力重量為222xy20，yx20，xyaxy關于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，依據(jù)界限條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上面，yh，l0，m1，fx(xy)ha，fy(y)h0；yy下面，yh，l0，m1，fx(xy)ha，fy(y)h0；2y2y2左側，xl，l1，m0，fx(x)l0，fy(xy)la；2xx22右側，xl，l1，m0，fx(x)xl0，fy(xy)xla。222可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。所以，應力函數(shù)axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、以以下圖的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力重量。Ox

解：依據(jù)結構的特色和受力狀況，可以假定縱向纖維16bgq互不擠壓，即設x0。由此可知2xy20將上式對y積分兩次，可得以下應力函數(shù)表達式x,yf1(x)yf2(x)將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得yd4f1(x)d4f2(x)0dx4dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內的y值都應該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即d4f1(x)0，d4f2(x)0dx4dx4這兩個方程要求f1(x)Ax3Bx2CxI，f2(x)Dx3Ex2JxK代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力重量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2對應應力重量為2xy202y2y(6Ax2B)6Dx2Egyx2xy

3Ax22BxCxy以上常數(shù)可以依據(jù)界限條件確立。左側，x0，l1，m0，沿y方向無面力，所以有(xy)x0C0右側，xb，l1，m0，沿y方向的面力為q，所以有(xy)xb3Ab22Bbq上面，y0，l0，m1，沒有水平面力，這就要求xy在這部分界限上合成的主矢量和主矩均為零，即17b0

(xy)y0dx0將xy的表達式代入，并考慮到C=0，則有b22Bx)dxAx3Bx20bAb3Bb20(3Ax0b而(xy)y00dx0自然滿足。又因為在這部分界限上沒有垂直面力，這就要求y0在這部分界限上合成的主矢量和主矩均為零，即by)y0dx0，by)y0xdx0((00將y的表達式代入，則有b2Ex0b3Db22Eb0(6Dx2E)dx3Dx20bEx20b2Db3Eb20(6Dx2E)xdx2Dx30由此可得qqA，B，C0，D0，E0b2b應力重量為x0,y2qy13xgy,bb

xyqx3x2bb固然上述結果其實不嚴格滿足上端面處（y=0）的界限條件，但依據(jù)圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。8、證明：假如體力重量固然不是常量，但倒是有勢的力，即體力重量可以表示為fxV，fyV，此中V是勢函數(shù)，則應力重量亦可用應力函數(shù)表示xy222為，xy2V，y2V，xy，試導出相應的相容方程。xxy證明：在體力為有權利的狀況下，按應力求解應力界限問題時，應力重量x，y，xy應該滿足均衡微分方程xyxV0xyx（1分）yxyVyx0y18還應滿足相容方程22x2y2xy22x2y2xy

1fxfy（關于平面應力問題）xy1fxfy（關于平面應變問題）1xy并在界限上滿足應力界限條件（1分）。關于多連體，有時還一定考慮位移單值條件。第一觀察均衡微分方程。將其改寫為xxVyx0yyyVxy0x這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將此中第一個方程改寫為xVyxxy依據(jù)微分方程理論，必定存在某一函數(shù)A（x，y），使得AAxVy，yxx相同，將第二個方程改寫為yVyx（1分）yx可見也必定存在某一函數(shù)B（x，y），使得BByVx，yxy由此得Bxy因此又必定存在某一函數(shù)x,y，使得，Byx代入以上各式，得應力重量222x2V，y2V，xyyxxy19為了使上述應力重量