正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第一課時

一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x＋T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)f（x）的周期；如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期；新知探究問題1

什么叫周期函數(shù)？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它滿足的代數(shù)關(guān)系是什么？圖象特征是什么？

周期函數(shù)的代數(shù)關(guān)系是f（x＋T）＝f（x）；周期函數(shù)的圖象每隔一個周期就會重復出現(xiàn)．新知探究問題1

什么叫周期函數(shù)？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它滿足的代數(shù)關(guān)系是什么？圖象特征是什么？

追問知道了一個函數(shù)的周期，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？明確了一個函數(shù)的周期，那么我們研究它的圖象與性質(zhì)時，就可以縮小研究范圍，只要清楚一個周期內(nèi)的圖象與性質(zhì)，整體定義內(nèi)的情況就都清楚了，提高了研究的效率．新知探究

2kπ，其中k∈Z且k≠0，或±2π，±4π，……．利用誘導公式一，即sin（2kπ＋x）＝sinx可以解釋猜想的正確性．新知探究問題2

觀察單位圓上點的縱坐標這種“周而復始”的變化規(guī)律，猜想正弦函數(shù)的周期是多少？用代數(shù)方法如何解釋你的猜想？不是．

追問1

我們知道，自變量的值每增加2kπ（k∈Z）個單位，函數(shù)值都用重復出現(xiàn)．那么

是正弦函數(shù)y＝sinx的一個周期嗎?為什么?從函數(shù)值變化的角度解釋：為什么可以說2kπ(k∈Z)是正弦函數(shù)的周期？比如．根據(jù)誘導公式可知，當x取正弦函數(shù)定義域內(nèi)的每一個自變量的值時，新知探究

追問2

在正弦函數(shù)的所有正周期中，是否存在一個最小的正數(shù)？2π．因此正弦函數(shù)的最小正周期是2π．對于任意的t∈（0，2π），都可以找到一個x0，使得sin（x0＋t）≠sinx0．新知探究追問3

在此基礎(chǔ)上，你能說出余弦函數(shù)的周期嗎？2π．

解答：（1）由誘導公式sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx，可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)；新知探究問題3

（1）如何證明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性？（2）知道一個函數(shù)的奇偶性，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？

解答：（2）知道一個函數(shù)的奇偶性，同樣也可以縮小我們研究函數(shù)的范圍，因為奇、偶函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點、y軸對稱，所以只需要搞清楚函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象與性質(zhì)，那么，整個定義域內(nèi)的圖象與性質(zhì)就都知道了，可以提高我們研究函數(shù)的效率．新知探究問題3

（1）如何證明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性？（2）知道一個函數(shù)的奇偶性，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？

追問求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y＝．解答完成之后思考，這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？新知探究例1

求下列函數(shù)的周期：

（1）y＝3sinx，x∈R；解：（1）?x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sinx，由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π．新知探究例1

求下列函數(shù)的周期：

（2）y＝cos2x，x∈R；解：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期為2π，即cos（z＋2π）＝cosz，新知探究例1

求下列函數(shù)的周期：于是cos（2x＋2π）＝cos2x，所以cos2（x＋π）＝cos2x，x∈R．由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π．解：（3）令

，由x∈R得z∈R，

且y＝2sinz的周期為2π，（3）y＝．由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為4π．且y＝2sinz的周期為2π，于是，所以

，x∈R．新知探究例1

求下列函數(shù)的周期：

第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換：比如對于“（2）y＝cos2x，x∈R”，令2x＝t，所以y＝f（x）＝cos2x＝cost；第二步，利用已知的三角函數(shù)的周期找關(guān)系：由cos（2π＋t）＝cost，代入可得：cos（2π＋2x）＝cos2x；第三步，根據(jù)定義變形：變形可得：cos2（π＋x）＝cos2x，于是就有f（x＋π）＝f（x）；新知探究對于周期問題，求解的步驟如下：

對于周期問題，求解的步驟如下：第四步，確定結(jié)論：根據(jù)定義可知其周期為π．周期與自變量的系數(shù)有關(guān)．由cos（2π＋t）＝cost，代入可得：cos（2π＋2