函數(shù)的基本性質(zhì)環(huán)節(jié)三函數(shù)的奇偶性問題1

單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化趨勢的一個性質(zhì)，最大（?。┲凳强坍嫼瘮?shù)變化上（下）限的一個性質(zhì)，其實(shí)在有些問題中，變化還呈現(xiàn)了對稱性，你能舉出具有對稱性的函數(shù)的例子嗎？答案：

還有形如圖1的函數(shù)．結(jié)論：

問題1中我們所舉的例子主要涉及兩類特殊的對稱性，關(guān)于原點(diǎn)對稱和y軸對稱，這種性質(zhì)我們稱之為奇偶性．引入新課引入新課問題2

類比函數(shù)單調(diào)性的探究思路，你能說說如何研究奇偶性嗎？答案：

先分析具體函數(shù)的圖象特征（對稱性），獲得函數(shù)奇偶性的直觀定性認(rèn)識，然后利用動圖或表格研究發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化特征，再用符號語言定量刻畫，抽象出奇偶性的定義．問題3

觀察函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的圖象（圖2），思考以下問題:（1）你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？（2）你能用符號語言描述該特征嗎？探究新知問題3

追問1

宏觀上看，這兩個圖象關(guān)于y軸對稱；微觀上看，除了y軸上的點(diǎn)，其余的點(diǎn)都是成對出現(xiàn)．任取函數(shù)f(x)＝x2的圖象上一點(diǎn)A，你能在圖象上作出該點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)嗎？答案：若點(diǎn)A在y軸上，則對稱點(diǎn)就是它本身；若點(diǎn)A不在y軸上，過A作y軸的垂線與函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)A′，此時點(diǎn)A與點(diǎn)A′就是一組對稱點(diǎn)．

探究新知問題3

追問2你能說說這組對稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？答案：橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相同（如圖3）．追問3你能用函數(shù)語言描述該特征嗎？

答案：當(dāng)函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等．探究新知問題3

問題3答案：（1）這兩個的圖象都關(guān)于y軸對稱．

（2）?x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．探究新知問題3

追問4

你能仿照上述過程，說明函數(shù)g（x）＝2－|x|也是偶函數(shù)嗎？首先，圖象關(guān)于y軸對稱，任取圖象上的一組關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相同（如圖）；其次，從函數(shù)符號的角度，當(dāng)函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，即：?x∈R，g（－x）＝2－|－x|＝2－|x|＝g（x），相應(yīng)的函數(shù)值相等，g（x）＝2－|x|是偶函數(shù)．答案：探究新知問題3

結(jié)論一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．追問5

“?x∈I，都有－x∈I”說明定義域I具有什么性質(zhì)？定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．答案：探究新知問題4

（1）你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？（2）你能用符號語言描述該特征嗎？探究新知問題4

追問1

宏觀上看，這兩個圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；微觀上看，除了原點(diǎn)（如果原點(diǎn)在圖象上），其余的點(diǎn)都是成對出現(xiàn)．任取函數(shù)f(x)=x的圖象上一點(diǎn)A，你能在圖象上作出該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)嗎？若點(diǎn)A是原點(diǎn)O，則對稱點(diǎn)就是它本身；若點(diǎn)A不是原點(diǎn)，將A繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到A′，此時點(diǎn)A與點(diǎn)A′就是一組對稱點(diǎn)．答案：探究新知問題4

追問2

你能說說這組對稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？坐橫標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相反（圖6）．追問3

你能用函數(shù)語言描述該特征嗎？當(dāng)函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相反．答案：答案：探究新知問題4的答案：

（1）兩個的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形．（2）?x∈R，f(－x)＝－x＝－f(x)．結(jié)論：?x∈R，f(－x)＝－f(x)，這時稱函數(shù)f(x)＝x為奇函數(shù)．

探究新知問題4

追問4

你能仿照上述過程，說明函數(shù)也是奇函數(shù)嗎？首先，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，任取圖象上的一組關(guān)于原點(diǎn)軸對稱的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)也相反（如圖）；答案：探究新知問題4

其次，從函數(shù)符號的角度，當(dāng)函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，即：?x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），相應(yīng)的函數(shù)值相反，g（－x）＝＝＝－g（x），函數(shù)g（x）＝是奇函數(shù)．探究新知探究新知結(jié)論：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：（1）函數(shù)f（x）＝x4的定義域?yàn)镽．?x∈R，都有－x∈R，函數(shù)f（x）＝x4為偶函數(shù)．且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），知識應(yīng)用例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：（2）函數(shù)f（x）＝x5定義域?yàn)镽．?x∈R，都有－x∈R，函數(shù)f（x）＝x5為奇函數(shù)．知識應(yīng)用例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：?x∈I，都有－x∈I，

（3）函數(shù)f（x）＝x＋的定義域I為（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），函數(shù)f（x）＝x＋為奇函數(shù)．知識應(yīng)用例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：?x∈I，都有－x∈I，

（4）函數(shù)f（x）＝的定義域I為（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝＝＝f（x），函數(shù)f（x）＝為偶函數(shù)．知識應(yīng)用例1追問1

你能總結(jié)用定義法判斷奇偶性的步驟嗎？第一步，求函數(shù)的定義域I．第二步，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．若否，則函數(shù)不具有奇偶性，結(jié)束判斷；若是，則進(jìn)行第三步．第三步，?x∈I，計(jì)算f（－x）．若f（－x）＝f（x），則為偶函數(shù)；若f（－x）＝－f（x），則為奇函數(shù)；若f（－x）與f（x）既不相等也不相反，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．知識應(yīng)用例1追問2

思考（1）判斷函數(shù)f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）圖8是函數(shù)f（x）＝x3＋x圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道y＝f（x）為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？知識應(yīng)用知識應(yīng)用例1答案：（1）?x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），函數(shù)f（x）＝x3＋x為奇函數(shù)．（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，我們可以先將圖象沿著y軸翻折，再沿著x軸翻折就可以得到y(tǒng)軸左邊的圖象（右圖）．（3）一般我們只需要研究y軸一側(cè)的性質(zhì)，然后根據(jù)對稱性推斷得到它在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．歸納總結(jié)問題5

回憶本節(jié)課的內(nèi)容，請你回答以下幾個問題：（1）什么是奇（偶）函數(shù)？用定義判定奇偶性的步驟是怎樣的？（2）請你比較奇函數(shù)的定義與偶函數(shù)的定義，說說這兩者的異同．（3）這三課時中