數理統(tǒng)計作業(yè)三數理統(tǒng)計作業(yè)三數理統(tǒng)計作業(yè)三數理統(tǒng)計作業(yè)三編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:第一部分統(tǒng)計基礎與概率計算（共10題，10分/題）某人在每天上班途中要經過3個設有紅綠燈的十字路口。設每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數的概率分布及其期望值和方差、標準差。解：讀題可知每個路口遇到紅燈的概率是P=24／（24+36）=假設遇到紅燈的次數為X，則，X～B（3,），概率分布如下0次遇到紅燈的概率P0=（）3=1次遇到紅燈的概念P1=（）2*=2次遇到紅燈的概念P2=（）*=3次遇到紅燈的概念P3==期望：E（x）=nP=*3=方差：D(X)=δ2=nPq=*3*=標準差：2.一家人壽保險公司某險種的投保人數有20000人，據測算被保險人一年中的死亡率為萬分之5。保險費每人50元。若一年中死亡，則保險公司賠付保險金額50000元。試求未來一年該保險公司將在該項保險中（這里不考慮保險公司的其它費用）：（1）至少獲利50萬元的概率；（2）虧本的概率；（3）支付保險金額的均值和標準差。解：設被保險人死亡數為X，X～B(20000，總收入為2萬×50=100萬，要獲利至少50萬，則賠付的保險金額應該不超過50萬，也就是被保險的人當中死亡人數不能超過10人，精確點就是用二項分布來做，但是由于20000這個數比較大，就可以用正態(tài)近似來做，就是認為死亡人數服從和原二項分布的均值方差相同的正態(tài)分布，結用正態(tài)函數表示。概率為P（X≤10）=（2）虧本的概率就是死亡人數大于20人的概率，思路如上P（X＞20）=1-P(X≤20)=(3)支付保險金額的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×（元）＝50（萬元）支付保險金額的標準差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)]1/2=50000×(20000××1/2＝158074（元）3.對題2的資料，試問：（1）可否利用泊松分布來近似計算？

（2）可否利用正態(tài)分布來近似計算？

（3）假如投保人只有5000人，可利用哪種分布來近似計算？

解：(1)由于泊松分布的特點為，當二項分布的n很大而p很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，其中λ為np。通常當n≧10,p≦時，就可以用泊松公式近似得計算λ=np=20000×=10P(X≤10)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=010λ比較兩題的結果，可以知道泊松分布適用于此題。(2)可以。盡管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二項分布也可以利用正態(tài)分布來近似計算。本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，即有X～N(10,。相應的概率為：P(X≤＝，P(X≤＝?？梢娬`差比較大。(3)由于p＝，假如n=5000，則np＝<5，二項分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分布來計算就會出現非常大的誤差。當n≧10,p≦時，就可以用泊松公式計算。4.某企業(yè)收購進甲、乙、丙三廠生產的同樣規(guī)格的產品，在總收購量中甲、乙、丙三廠的產品各占40％、35％和25％。甲、乙、丙三廠生產的次品率分別為1％、2％和3％。若從總購量中任取1件檢查，問：(1)該件產品是次品的概率是多少？(2)如果抽到的產品是次品，那么所抽到的產品恰好是甲廠生產的概率是多少恰好是乙廠和丙廠生產的概率各是多少解：抽檢到次品的概率為P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=%恰好是甲廠的概率為：P甲=40%×1%/%=%恰好是乙廠的概率為：P乙=35%×2%/%=%恰好是丙廠的概率為：P丙=25%×3%/%=%5.據某地過去氣象記錄，在11月的30天中平均有2天是雨天，假定11月每天是否下雨如同重復試驗一樣服從二項分布。(1)這種假定是否合理？

(2)接二項分布計算，次年11月最多有2天是雨天的概率是多少？

解：按照題意，在每次試驗只有兩種結果下雨或者不下雨，而且兩種結果發(fā)生與否互相對立互不影響，且實驗結果試驗次數無關，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變，因此這種假定合理。下雨概率P=2/30=，設下雨天數＝X，X～B(30，則最多有兩天的概率為P(X≤2)＝6.應用普哇松分布計算500人中至多有1人在元旦出生的概率(假定1年是365天)。解：至多有一人在元旦出生，換句話說就是500人當中沒有人，或者只有一個人在元旦出生的概率。P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=（3647.已知生產產品時廢品的概率為，現每盒裝100個產品。問：(1)在1盒中沒有廢品的概率是多少？

(2)在1盒中有1個廢品的概率是多少？

(3)若要求以99％的概率保證每盒有100個合格品，每盒至少要裝多少產品？

解：（1）設盒中廢品數量＝X，因此，X～B(100，P（X=0）=((2)P（X=1）=設每盒產品為n個，合格品數量服從二項分布：X～B(n，P(X≥100)≥0.99或P(X＜100)≤根據中心極限定理，二項分布的正態(tài)近似8.某廠生產一批小型裝置，設已知該小型裝置的平均壽命為10年，標準差為2年。如果該小型裝置的壽命服從正態(tài)分布，問：(1)整批小型裝置不小于9年的比重是多少？

(2)整批小型裝置不小于11年的比重是多少？

(3)如果工廠規(guī)定在保用年限期間遇有故障可免費換新，今要求免費換新率限制在3％以內，保用年限有多長？

解：（1）設比重為Y年F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（10-92）=1-Ф查正太表知道Ф（12）=所以F(Y≥9)(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（11-102）=Ф（12）(3)P(X<=n)=Φ((n-10)/2)=可得n=，則保用年限至多為6年。Excel：SPSS：9.某種電開關壽命(年)具有失效率K＝1/2的負指數分布。若有100個此種開關裝在不同系統(tǒng)中，那么在第一年最多有30個失效的概率是多少？

解：1個開關在第一年的失效率是X～Exp。P(X<1)≈。100個開關有第一年有30個失效的概率服從Y～B(100,。則P(Y<=30)≈。Excel：SPSS：1個1年失效概率100個中30個內失效概率10.某投資者考慮將1000美元投資于n=5種不同的股票。每一種股票月收益率的均值為μ=10%，標準差σ=4%。對于這五種股票的投資組合，投資者每月的收益率是。投資者的每月收益率的方差是，它是投資者所面臨風險的一個度量。⑴假如投資者將1000美元僅投資于這5種股票的其中3種，則這個投資者所面對的風險將會增加還是減少？請解釋；

⑵假設將1000美元投資在另外10種收益率與上述的完全一樣的股票，試