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制作者-1應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)主講人：§
3
.
1§
3
.
2§
3
.
3§
3
.
4§
3
.
5§
3
.
6幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布單總體均值向量的檢驗(yàn)及置信域多總體均值向量的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)正態(tài)性檢驗(yàn)第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§3.1
幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布一、正態(tài)變量二次型的分布1.分量獨(dú)立的n維隨機(jī)向量X的二次型設(shè)
Xi
~N(
i
,
2) (i=
1,…
,n
),
且相互獨(dú)立，記
X
=
(
X1
,
…
,
Xn
)則X
~Nn
(
,2In
),其中
=(
1
,…,
n
)結(jié)論1i當(dāng)
=
0
(
i=
1,
…
,2n
),
1
時(shí),
則2X當(dāng)
i
=
0
(
i=
1,
…
,
n
),
2
=
1
時(shí),
則n2i~
(n)i
1
X
X
2
2niX
~
(n)
2
2i
1
1
X
X
1
結(jié)論2當(dāng)
i
0
(
i=
1,
…
,
n
)時(shí),
XX
的分布常稱為非中心的2分布.2P
(
2
(n
2
j
)
t
)P
(
X
X
t
)
e
j
0其中
jj!定義
3.1.1非中心參數(shù)2的
分布，記為2XX
~
(n,
)或XX
~
(
)
.n2設(shè)n維隨機(jī)向量X
~Nn
(
,In
)(
0),則稱隨
量
=
XX
服從
度為n
、ni
12i
設(shè)n維隨機(jī)向量X
~Nn
(
,2In
),
0,且2
1
,
令
Yi
=
Xi
/則.1
ni
12i
2
1
2其中
21
2nX
X
~
(
)Y
Y
注:結(jié)論3設(shè)X
~Nn
(0n
,
2In
)
,
A=A,
且rank(A)
=
r
,則
二次型XAX
/2
~
2(r)
A2
=
A證明:令
Y=
X
~Nn
(0n
,
2In
)
,
則
X=
Y
必要性：因?yàn)锳=A
,所以存在正交陣
使
A
=
diag(1
,
…
,
r
,0
,
…
,
0)
A
=
diag(1
,
…
,
r
,0
,
…
,
0
)Y=
X
~Nn
(0n
,
2In
)
,
X=
Y則222
2
ni
1i
i
Y
/
X
AX
/
Y
AY
/
且Y1,…,Yr
相互獨(dú)立同N(0,2)分布.故而Yi2
/2
~
2(1)(i=1,…,r
),且相互獨(dú)立.的特征函數(shù)為22ni
1i
i
Y
/
(1-2i1
t)-1/2
?
(1-2i2
t)
-1/2
?
···(1-2ir
t)
-1/22
2
必要性：
A
=diag(1
,…,r
,0,…,0)ni
iY
/
~
2
(r
)i
1又已知
X
AX
/
2
(1-2it)-r
/2故
的特征函數(shù)為所以[(1-2i1
t)
(1-2i2
t)···(1-2ir
t)]1/2
=
(1-2i
t)
r
/2從而1
=
…
=
r
=
1diag(1
,
…
,
1
,0
,
…
,
0
)=
A
=
A
?
A
=
A2故
A2
=
A
充分性：因?yàn)?/p>
A為對(duì)稱冪等矩陣,
所以存在正交陣
使
Ir
O
O O
A
riYO
O
I
r
O
Y
i
1222
211
1Y
AY
YX
AX
1
2令
Y
=
X
(
即X
=
Y
)則
Y
~Nn
(0n
,
2
In
)
=
Nn
(0n
,
2In
)Y
riYO
O
Ir
O
Y
i
12222111X
AX
Y
AY
1
2因?yàn)閅1,…,Yr
相互獨(dú)立同N
(0,2)分布所以12Y
2ri~
2
(r
)1
2i
1X
AX
結(jié)論4設(shè)
X
~Nn
(
,
2In
)
,
A
=
A
,
則1/2
X·
AX
~
2(
r
,
)其中
=
1/2
·
A
A2
=
A且
rank(A)=
r
(
r
n
)
.en2it1
2
itn
(
)的特征函數(shù)為2
(t
)
(1
2it
)結(jié)論
5
二次型與線性函數(shù)的獨(dú)立性:設(shè)X
~Nn(
,
2In)
,
A為n階對(duì)稱矩陣,
B為mn
矩陣,
令
=
X
AX
,
Z
=
BX(Z為m維隨機(jī)向量)BX
和X
AX
相互獨(dú)立
BA
=O
.必要性證明不要求證明:
只證充分性不妨設(shè)rank(A)=r
>0
(當(dāng)r
=0時(shí),A
=O)因A為對(duì)稱矩陣,所以存在正交陣
使
0
r
r
O O
A
DrO
,
D
0
1O其中1
,
…
,
r
是A的非零特征值.
r
r
O
O
A
Dr
00
O
,1D
O其中1
,
…
,
r
是A的非零特征值.因?yàn)槠渲蠦為mn矩陣,C1為mr矩陣,C2為m(n-r)矩陣,故C1
Dr=O,
又Dr
可逆
,故C1
=O.rr
O
O
ODO
C C
D
O
CD
OOBA
B1 2
O1
r令
Y=
X
,
即
X=
Y則
Y
~Nn
(
,
2
In
)即Y1,…,
Yn
相互獨(dú)立,
因由于Y1,…,Yr與Yr+1,…,Yn
相互獨(dú)立,故X
AX
與BX相互獨(dú)立.而r2
iYii
1
X
AX
Y
AY
Y
Dr
O
Y
O O
Y
Yn
Y
n
Yr
1
22BX
B
Y
C
1
C
M1
C
M
結(jié)論
6
兩個(gè)二次型相互獨(dú)立的條件:設(shè)X
~Nn(
,2In),A,B為n階對(duì)稱矩陣,則AB
=O
X
BX
與X
AX
相互獨(dú)立.充分性證明同上必要性證明不要求2.一般p
維正態(tài)隨機(jī)向量的二次型結(jié)論1設(shè)X
~Np
(
,
),
>O
,則X
-1X~2(p
,
)其中
=
-1證明:
因
>
O
,
則
=
C
C
(
C為p
階可逆矩陣)令
Y
=
C
-1X
,
即
X
=CY則
Y
~N
-1
-1
-1p
(C
,
C
(C
)
)其中
=
(C
-1
)
C
-1
=
-1證明:因
>O
,則
=C
C
(C為p
階可逆矩陣)令
Y
=
C
-1X
,
即
X
=CY則
Y
~N
-1
-1
-1p
(C
,
C
(C
)
)因
=
C
C
,
所以
Y
~N
(C
-1
,
I
),
且有p
pX
-1X
=
Y
C
-1C
Y
=
Y
Y
~2(
p
,
)結(jié)論2設(shè)X
~Np
(
,
),
>O
,A=A
,rank(A)
=
r
,則(X-
)A
(X-
)~
2(r)
A
A
=A證明:
因
>
O
,
則rank(
)
=
p
,且存在正交陣
和i
(
i
=1,
…
,
p
)
,
使得
=
1/2
.
1/2其中
1
/
2
diag(
,
L
,
)
1
p
p
)
1/
2
diag(
1
,
L
,
p
1111/
2
diag
,
L
,記令
Y
=
-1/2
(X-
)
~
Np
(
0p
,
Ip
)這里
D(Y
)
=
-1/2
(
-1/2
)
=
Ip(X-
)A
(X-
)
=
Y
1/2
A
1/2
Y
=^=^
Y
CY由1.結(jié)論3
知二次型Y
CY
~
2(p)
C
2
=C即
?
A
?
?
A
?
=
?
A
?
A
A
=A結(jié)論3設(shè)X
~Np
(
,
),
>O
,A和B為p階對(duì)稱矩陣,則
(X-
)A
(X-
)
與(X-
)B
(X-
)
獨(dú)立
A
B
=
Opp證明:
因
>
O
,
則rank(
)
=
p
,且存在正交陣
和i
(
i
=1,
…
,
p
)
,
使得
=
1/2
.
1/2其中
1
/
2
diag(
,
L
,
)
1
p
1/
2
diag(
1
,
L
,
p
)
p
111
1/
2
diag
,
L
,記令
Y
=
-1/2
(X-
)
~
Np
(
0p
,
Ip
)這里
D(Y
)
=
-1/2
(
-1/2
)
=
Ip(X-
)A
(X-
)
=
Y
1/2
A
1/2
Y
=^=^
Y
CY(X-
)B
(X-
)
=
Y
1/2
B
1/2
Y
=^=^
Y
DY即
?
A
?
?
B
?
=O
A
B
=
O
A
B
=
O由1.結(jié)論6
知Y
CY
與Y
DY
相互獨(dú)立
CD
=O3.非中心t
分布和非中心F
分布定義
3.1.2設(shè)X
~N(
,1)與Y
~
2(n)相互獨(dú)立,令則稱T
服從度為n
、非中心參數(shù)為
的非中心t
分布，記為T
~
t
(n,
).YX
nT
定義
3.1.3設(shè)X
~
2
(m,
)與Y
~
2(n)相互獨(dú)立,令則稱T
服從度為n
、非中心參數(shù)為
的非中心F分布，記為F
~
F
(m,n,
).Y
/
nX
/
mF
4.非中心2分布,非中心t分布和非中心F
分布的應(yīng)用一元統(tǒng)計(jì)中，在一個(gè)正態(tài)總體N(
,
2)的均值檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)H0
:
=
0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為S
/
n2X
0T
否定域?yàn)閧|T>}，其中
滿足P{|T>}=(顯著性水平).當(dāng)否定H0時(shí)，可能犯第一類錯(cuò)誤，且
}
1S
2
/
nP{1
1
0X
（
）第一類錯(cuò)誤的概率
P“{
以真當(dāng)假”}
P{T
0
}
顯著性水平當(dāng)H0相容時(shí)，可能犯第二類錯(cuò)誤，且第二類錯(cuò)誤的概率
P“{
以假當(dāng)真”}
P{
T
0
}設(shè)1
0此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T
~
t
(n,
)(非中心參數(shù)
n(1
0
)/）此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T
~
t
(n,
),(非中心參數(shù)
n(1
0
)/）利用非中心t分布可以計(jì)算第二類錯(cuò)誤
的值。類似地，利用非中心2和非中心F分布在一元統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的檢驗(yàn)中，可以計(jì)算第二類錯(cuò)誤
的值。二、威沙特(Wishart)分布1.威沙特分布的定義設(shè)X()(
=1,…,n
)為來(lái)自總體Np(0,
)的隨機(jī)樣本,記X
=(X(1)
,…,X(n))為np樣本數(shù)據(jù)陣,考慮隨機(jī)陣n
X
XW
X
(
)
X
(
)
1的分布?當(dāng)p
=1時(shí),X()~
N
(0,
2),此時(shí)W=
X2
+
…
+X2
~
22
(n)(1)
(n)即
W1(n,
2)
就是
22
(n)
.定義
3.1.4設(shè)X()~
Np(0,
)(
=1,…,n
)相互獨(dú)立,記X
=(X(1)
,…,X(n))為np
矩陣,則稱隨機(jī)陣的分布為威沙特分布,記為W
~
Wp(n,
).n
X
X
1W
X
(
)
X
(
)注:①當(dāng)p
=1時(shí),X()~
N
(0,
2),此時(shí)W=
X2
+
…
+X2
~
22
(n)(1)
(n)即W1(n,
2)就是
22
(n)②當(dāng)p
=1,
2
=1時(shí),W1(n,1)就是2
(n).定義
3.1.4
則稱隨機(jī)陣W=XX服從非中心參數(shù)為的非中心威沙特分布,記為W
~
Wp(n,
,),其中
=
MM=
(1n
)
1n
=
1n1n
=
n
n
1
p
LM
1
M
M設(shè)X()~
Np(
,
)(
=1,…,n
)相互獨(dú)立,記
X
=
(X(1)
,
…
,
X(n)
)
為np
矩陣,L
1
p
定義
3.1.4
設(shè)X()~
Np(
,
)(
=1,…,n
)相互獨(dú)立,記
X
=
(X(1)
,
…
,
X(n)
)
為np
矩陣,則稱隨機(jī)陣W
=XX
服從非中心參數(shù)為的非中心威沙特分布,記為W
~
Wp(n,
,),其中n
1
M
M
n
1
n
1L
np
11
1
p
M
,
M
M
M
L注:非中心參數(shù)這里其中p為隨機(jī)陣W的階數(shù),n為
當(dāng)X()~
Np(
,
)(
=1,…,n
)相互獨(dú)立時(shí),nn
度.LM
MM
ML
1
n
1np
11
1
p
M
M
1隨機(jī)陣W的概率密度是威沙特于1928年推導(dǎo)出來(lái)的，當(dāng)n
>
p時(shí)
W
~
Wp(n,
)的概率密度為其他0(
)2,
W
OW
exp{12tr
(1W
)}f
(W
)
pi
1
n
i
1n
/
2n
p12
2np
/
2
p(
p1)
/
4
2.威沙特(Wishart)分布的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)X()~
Np(
,
)(
=1,…,n
)相互獨(dú)立,則樣本離差陣A服從威沙特分布,即n
A
(
X
(
)
X
)(
X
(
)
X
)
~
W
p
(
n
1,
)
1由定義3.1.4可知,A
~
Wp(n-1,
)
.n
1證明:
根據(jù)定理2.5.2知,A
Z
Z
1而Z
~
Np(0,
)(
=1,…,n-1)相互獨(dú)立,性質(zhì)2
關(guān)于度的可加性設(shè)Wi
~
Wp(ni
,)(i=1,…,n
)相互獨(dú)立,則n
n
Wi
~
W
p
(n,
),其中n
nii
1
i
1證明:
只需證明n
=
2.
即設(shè)Wi
~
Wp(ni
,)(i=1,2)相互獨(dú)立,則W1
+
W2
~
Wp(n1
+
n2,
)n2i
n1
1dn1d根據(jù)定義3.1.4知,W
1
X
(
)
X
(
)i
1,
W
2
X
(
)
X
(
)其中X()~
Np(
,
)(
=1,…,n1+n2)相互獨(dú)立,又根據(jù)定義3.1.4知,d~
Wp
(n1
n2,
)n1n2W1
W2
X()
X()i1性質(zhì)3設(shè)p階隨機(jī)陣W~
Wp(n
,
),C是mp常數(shù)矩陣,則m階隨機(jī)陣CWC
也服從威沙特分布,即CWC
~
Wm(n
,
C
C
)d
ni
1證明:
根據(jù)定義3.1.4知,W
Z
Z
p其中Z
~
N
(0,
)
(
=
1,
…
,
n)
相互獨(dú)立.dn
n令Y
=
CZ
,
則Y
~
Nm(0
,
C
C
)
.
故
YY
CZ
ZC
CWC
~
Wm
(n,
CC
)i
1
i
1注:
W~
Wp(n
,
)(
>0,為常數(shù))(2)
設(shè)l
=(l1,
…
,
lp) ,
則lWl=
~
W1(n
,l
l
),即
~22
(n)(其中
2
=l
l
).性質(zhì)4
分塊威沙特矩陣的分布設(shè)
X()
~
Np(0
,
)
(
=
1,
…
,
n
)相互獨(dú)立,
其中又已知隨機(jī)陣(2)
當(dāng)12=O時(shí),W11與W22相互獨(dú)立.
21 22
11
12
~
W
(n,
)rpW
p
rW12
(
)
(
)
W
21 22
W11X
則(1)
W11~
Wr(n
,
11
)
,
W22~
Wp
-
r
(n
,
22
)
;nW
X
1性質(zhì)5-1設(shè)
W~
Wp(n,
)
,
記W22.1
=
W22
-
W21W11
W12
,W22.1
~
Wp
-
r
(n-r,
22.1
)22.1則其中
=
-
-122
21
11
1222.111,
且W
與W
相互獨(dú)立.證明:
取(p-r)p
常數(shù)矩陣121121
11121121
1121
11221122111C
W
W
21 22
21 22
111 12
p
rp
r
p
rp
r
IICC
11 12
WI
WWp
r
WWWW1
W
W
I則CWC
I根據(jù)性質(zhì)3知,CWC
=
W22.1
~
Wp
-
r
(n-r,
22.1
)性質(zhì)6設(shè)隨機(jī)陣W~
Wp(n,
)
,
則
E(W)
=
n
。證明:d
n
X
X
1W
X
(
)
X
(
)n
n
1
1其中X
~
Np(0,
)(
=1,…,n)相互獨(dú)立.因此E
(W
)
E
(
X
(
)
X
(
)
)
E
(
X
(
)
X
(
)
)
n性質(zhì)7設(shè)X
~
Nnp
(M,
In
)
,
A為n階對(duì)稱矩陣
,
則XAX
~
Wp(r,
,
)，其中
=
MAM
A2
=A,
且rank(A)
=
r
.注:這是一元統(tǒng)計(jì)中n維觀測(cè)向量X的二次型分布在p維情況下的推廣.性質(zhì)8設(shè)X
~
Nnp
(M,
In
)
,
A和B均為n階對(duì)稱冪等矩陣
,
則XAX與XBX
相互獨(dú)立
AB
=O
。注:這是一元統(tǒng)計(jì)中(p=1)n維觀測(cè)向量X的兩個(gè)二次型相互獨(dú)立的條件在p維情況下的推廣.~
t
(n
)X
/
n下面把t
2
=nX2/
=nX
-1
X的分布推廣到p元總體.相互獨(dú)立,
則隨
量t
三、(Ho ling)T2分布T2分布的定義1.一元統(tǒng)計(jì)中,若X~
N
(0,
1),
~
2(n),X與設(shè)X~Np(0,
),隨機(jī)陣W
~
Wp(n,
)(
>0,n
p),T2
=
nX
W
-1
X的分布?定義
3.1.5設(shè)X~
Np(0,
),隨機(jī)陣W
~
Wp(n,
)(
>O,n
p),且X與W相互獨(dú)立,則稱統(tǒng)計(jì)量T2
=
nXW
-1X為
T2統(tǒng)計(jì)量,
其分布稱為服從n個(gè)
度的T2分布，記為
T2
~
T2(
p,
n)
.定義
3.1.5設(shè)X~
Np(
,
),隨機(jī)陣W
~
Wp(n,
)(
>O,n
p),且X與W相互獨(dú)立,則稱統(tǒng)計(jì)量T2
=
nXW
-1X為非中心
T2統(tǒng)計(jì)量,
記為T2
~
T2(
p,
n
,
)
.2.
T2分布的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)X()(
=1,…,n
)是來(lái)自p元正態(tài)總體Np(
,
)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,本均值向量和樣本離差陣,則統(tǒng)計(jì)量T
2
(n
1)[
n(
X
)]A1[
n(
X
)]
n(n
1)(X
)
A1
(
X
)
~
T
2
(
p,
n
1)X
和A
分別是樣n證明:因
X
~
N
(,
1
)則pn(
X
)
~
N
p
(0,
)
n(n
1)(X
)
A1
(
X
)
~
T
2
(
p,
n
1)n(
X
)]而A
~
Wp(n-1,
),且A
與X
相互獨(dú)立,由定義3.1.5可知,T
2
(n
1)[
n(
X
)]A1[性質(zhì)2
T2與F分布的關(guān)系:~
F(
p,
n
p
1)np設(shè)
T2
~
T2(
p,
n),
則
n
p
1
T
2當(dāng)p
=1時(shí),一元總體X~
N
(0,
2),X()(
=1,…,n
)為來(lái)自總體X
的隨機(jī)樣本,則~
t
(n
),則X
/
n注:①一元統(tǒng)計(jì)中,若t
t
2
/
n
X
2
/
1
~
F
(1,
n
)~
F
(1,
n
)n所以
n
T
2W
W
/
2
n
nX
W
1
X
nX
2
(
X
/
)22
2
21d
n
n()
()()
()~W
(n,
)
(n)XX
XW
X11注:
②
一般地,且
與
獨(dú)立.1pX
W
Xpn
p
1
T
2p
ndn
p
1
/
n
p
1
/
p~
F(
p,
n
p
1)defn
p
1
X
1
XX
W
1
Xp
n
p
1
X
1
XX
1
X其中
=X
-1X~2(p,
)(
=
0).還可證明
X
W
1
X
~
2
(n
p
1)性質(zhì)3設(shè)X()(
=1,…,n
)是來(lái)自p元正態(tài)總體Np(
,
)的隨機(jī)樣本,
X
和A
分別是樣本均值向量和樣本離差陣,記T
2
n(n
1)X
A1
X~
F
(
p,
n
p,
)則統(tǒng)計(jì)量
n
p
T
2p n
1其中
=
n
-1
.性質(zhì)4T2
統(tǒng)計(jì)量的分布只與p,
n有關(guān),
而與無(wú)關(guān).事實(shí)上,因X~
Np(0,
)(
>0),W~
Wp(n,
),則
-1/2
X~
Np(0,Ip
),且
-1/2W
-1/2
~
Wp(n,Ip
)0設(shè)U~
Np(0,Ip
),W0
~
Wp(n,Ip
),U和W0
相d1
UnX
W
1
X
~
T
2
(
p,
n)互獨(dú)立,則nU
W0
,
W
1
/
2
X
1
/
2W
1
/
2因此U所以dd0dnU
W
1UnX
W
1
X
~
T
2
(
p,
n)性質(zhì)5令Y()
=
C
X()
+
d
,
其中C為pp非
常數(shù)矩陣,d為p維常向量,則可證明T
2
統(tǒng)計(jì)量對(duì)非變換保持不變.設(shè)X()(
=1,…,n
)是來(lái)自p元總體Np(
,
)的隨機(jī)樣本,Xx和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和樣本離差陣,則由性質(zhì)1有1T
2x
x
x
x
n(n
1)(
X
)
A
(
X
)
~
T
2
(
p,
n
1)2x2yT
T
/
nF
/
m
~
F
(
m
,
n
)(Wilks)統(tǒng)計(jì)量及其分布四、1.分布的定義一元統(tǒng)計(jì)中,設(shè)
~
2(m),
~
2(n),且相互獨(dú)立,則x2
y在兩個(gè)總體N(112
,
)和N(2
,
)方差齊性檢驗(yàn)中(H0
:
2
=
2),設(shè)Xx
y
(i)(i=1,…,m
)為來(lái)自N(1
,x2)的隨機(jī)樣本,Y(j)(j=1,…,n
)為來(lái)自N(22
,
2)的隨機(jī)樣本,取
2和
2的估計(jì)y
x
y量分別為則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量~
F
(
m
1
,
n
1
)s
2s
2F
y
xH
0
下ymnxi
1(
i
)i
1(
i
)s
2n
1
(
X
X
)
2
,
s
2
m
1
11(Y
Y
)
2在p元總體X~Np(
,
)中,協(xié)方差陣的估計(jì)量為1n
11n
1A
)?
A
(或在檢驗(yàn)H0
:1
=2
時(shí),如何用一個(gè)數(shù)值來(lái)描述對(duì)矩陣的離散程度的估計(jì)呢?一般可用矩陣的行列式、跡或特征值等數(shù)量指標(biāo)來(lái)描述總體的分散程度.定義
3.1.6設(shè)X~
Np(,
),則稱協(xié)方差陣的行列式為X的廣義方差.若X()(
=1,…,n
)為p元總體
X的隨機(jī)樣本,A
為樣本離差陣,則稱1/n.A或1/n-1.A為樣本廣義方差.定義
3.1.7設(shè)A1~
Wp(n1,
),A2~
Wp(n2,
)(
>0,n1
p),且A1與A2獨(dú)立,則稱廣義方差之比為A
1A
1
A
2
統(tǒng)計(jì)量或統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為威爾克斯分布,記為~
(p,n1
,n2).注:當(dāng)p=1時(shí),統(tǒng)計(jì)量的分布正是一元統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)為n1
/
2,
n2/
2的
分布,
記為
(n1
/
2,n2
/
2).在實(shí)際應(yīng)用中,常把統(tǒng)計(jì)量化為T2統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而化為F
統(tǒng)計(jì)量.然后利用熟悉的F統(tǒng)計(jì)量來(lái)解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)的問(wèn)題.2.
統(tǒng)計(jì)量與T2或F
統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系結(jié)論1當(dāng)n2
=1時(shí),設(shè)n1
=n
>p,則或1n1
1
T
2
(
p,
n
)d(
p,
n,1)
np
pd
F
(
p,
n
p
1)n
p
1
T2
n
p
1
1
(
p,
n,1)T
2
(
p,
n
)
n
1
(
p,
n,1)證明:設(shè)X()~
Np(0,
)(
=1,…,n+1)相互獨(dú)立同分布,顯然有
1
X
(
)
X
(
)W
X
(
)
X
(
)
1W
1~
W
p
(
n
1,
)n
1~
W
p
(
n
,
)n由定義3.1.7知W~
(
p
,
n
,1
)
W
1利用分塊矩陣行又因W=Wl
+X(n+1)
X(n+1)
,列式的公式得)1(
n
1
)1 (
n
1
)
1W
1(
n
1
)(
n
1
)(
n
1
)
1
X
W
(1
X
Wp1
X
(
n
1
)1X
X
W
W
X所以11Wnd1
1
T
2
(
p
,
n
)(
n
1
)
1
X1
X
(n
1
)W
1
W
1
結(jié)論2當(dāng)n2
=2時(shí),設(shè)n1
=n
>p,則pn
p
1
1
d
F
(
2
p,2(
n
p
1))(
p,
n,2)(
p,
n,2)結(jié)論3
當(dāng)p
=
1時(shí),
則2d
F
(n2
,
n1
)n
(1,
n1
,
n2
)n1
1
(1,
n1
,
n2
)注:(1,n1
,n2)就是
(n1
/2,n2
/2),以及分布與分布F的關(guān)系得此結(jié)論.結(jié)論4當(dāng)p
=2時(shí),則n1
1
1
n2d
F
(
2n2
,2(n1
1))(2,
n1
,
n2
)(2,
n1
,
n2
)結(jié)論5
當(dāng)n2
>
2
,p
>2
時(shí),
可用2統(tǒng)計(jì)量或F統(tǒng)計(jì)量近似.注:①設(shè)~
(p,n1
,n2
),則當(dāng)n1
時(shí)-rln
~
2(pn2)其中r
=n1–0.5?(p-n2+1).②當(dāng)n1不太大時(shí),3.
兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論1
若~(p,
n1,
n2
)
,
則存在Bk
~
((n1-p+k)
/
2,
n2
/
2)
(k
=1
,…,
p)相互獨(dú)立，使得d…
=
B
B1
2pB
.3.
兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論2
若n2
<
p,
則d1
2
2
1
2
(p,
n
,
n
)
=
(n
,
p,
n
+
n
_
p).注:這是一元統(tǒng)計(jì)中F(n,m)d=1/F(m,n)的推廣.§3.2
單總體均值向量的檢驗(yàn)及置信域一、均值向量的檢驗(yàn)設(shè)總體X
~Np(
,
),隨機(jī)樣本X()(
=1,…,n)，檢驗(yàn)H0
:
=
0
,
H1
:
01.當(dāng)
=
0已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)1.當(dāng)
=
0已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)0(0,
)pp
0nX
~
N
(
,
1
),
n(
X
)
~
N0(
X
)
(
12
)
(
X
)
~
(
p
)0
0
0
0T
2H
0下
n
(
X
)
)
~
2
(
p
)
1
(
X利用二次型分布的結(jié)論，知1n取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為對(duì)給定的顯著性水平
，H0
的否定域?yàn)橐?0{T
2
(
p
)}假定在H0成立情況下,
隨
量20由樣本值計(jì)算得到T
的值為d
,以計(jì)算以下概率值:2p
=
P{
T0
≥
d
}常稱此為顯著性概率值,或簡(jiǎn)稱為p
值.0
0
0
0H
0下
n
(
X
)
)
~
2
(
p
)同時(shí)可T
2
1
(
X對(duì)給定的顯著性水平
，當(dāng)p
<
時(shí),則在顯著性水平
下否定假設(shè)H0
;在這種情況下,可能犯第一類錯(cuò)誤,且
就
是犯第一類錯(cuò)誤的概率.當(dāng)p≥
時(shí),則在顯著性水平
下H0
相容;在這種情況下,可能犯第二類錯(cuò)誤,且犯第二類錯(cuò)誤的概率β
為0β
=
P{
T
2
2
(
p)
|當(dāng)
=
1
0
}T
2
~
2(p
,
)
,其中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量非中心參數(shù)0
=
n
(1
-
0
)0-1
(1
-
0
)p
值的直觀意義:_檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T
2的大小反映X
與0的偏差的大020小,
當(dāng)H
成立時(shí)0T
的值應(yīng)較小.0現(xiàn)由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算T
2值為d
;0當(dāng)H
成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量T02
~
2(p)由2分布可計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量≥d
的概率值(即p
值).2.當(dāng)
未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)1
H0下X
~
N
p
(
0
,
n
),H
0下n(
X
0
)
~
N
p
(0,
)
X)
~
W
p
(n
1,
)nA
(
X
i
X
)(
X
i
1因樣本離差陣為由定義3.1.5知0
00
021
21
n(n
1)(X
)
A
(
X
)
~
T
(
p,
n
1)T
(n
1)[
n(
X
)]
A
[
n(
X
)]取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為~
F(
p,(n
1)
p
1)(n
1)
p(n
1)
p
1F
TH0下2H0下~
F(
p,
n
p)對(duì)給定的顯著性水平
，H0
的否定域?yàn)閧
F
F
(
p
,
n
p
)}假定在H0成立情況下,
隨
量20由樣本值計(jì)算得到T
的值為d
,
同時(shí)可以計(jì)算以下概率值:p
=
P{
F≥d
}常稱此為顯著性概率值,或簡(jiǎn)稱為p
值.(n
1)
p(n
1)
p
1F
H0下~
F(
p,
n
p)T
2對(duì)給定的顯著性水平
，當(dāng)p
<
時(shí),則在顯著性水平
下否定假設(shè)H0
;在這種情況下,可能犯第一類錯(cuò)誤,且
就
是犯第一類錯(cuò)誤的概率.當(dāng)p≥
時(shí),則在顯著性水平
下H0
相容;當(dāng)p≥
時(shí),則在顯著性水平
下H0
相容;在這種情況下,可能犯第二類錯(cuò)誤,且犯第二類錯(cuò)誤的概率β
為β
=
P{
F
F
(
p,
n-p)
|當(dāng)
=
1
0
}-1其中F~F(p,n-p,
)非中心參數(shù)
=
n
(1
-
0
)0(1
-
0
)例3.2.1人的出汗多少與內(nèi)鈉和鉀的含量有一定的關(guān)系.今測(cè)量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、鈉的含量(X2)和鉀的含量(X3)(數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.1).試檢驗(yàn)H0:=
0=(4,
50,
10)
H1:
0.解:
記隨機(jī)向量X=
(X1,X2,X3)′,假定X～N3(,
)
.
檢驗(yàn)H0:=
0=(4,50,
10)′，
H1:
0.取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為3795.98
107.16
68.92654.708A
190.190
34.372由樣本值計(jì)算得:X
(4.64,45.40,9.965),T
2
(
p
3,
n
20)(n
1)
pn
pF
0.00031930.0135773
0.000083
0.02114980.0308503A1
0.001162進(jìn)一步計(jì)算得:
0
)
A
1
(
X
)
9
.73880
2.9045T
2(
n
1)
pn
pF
n(
n
1)(
XT
2對(duì)給定
=0.05,按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法,可查F分布臨界值表得
=F3,17(0.05)=3.2,比較由樣本值計(jì)算得到的F值及臨界值,因F值=2.9045＜3.2,
故H0相容.利用統(tǒng)計(jì)
進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí),
首先計(jì)算p值(此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F～F(3,17))：p
=
P{F≥2.9045}=0.06493
.因p值=0.06493＞0.05=
,故H0相容.在這種情況下，可能犯第二類錯(cuò)誤,且第二類錯(cuò)誤的概率為=P{
F≤3.2|
=X
}=0.3616(假定總體均值
=
1
0,
取
1=X
).二、似然比統(tǒng)計(jì)量設(shè)p元總體的密度函數(shù)為f
(x
,
)，其中是未知參數(shù)，且
(參數(shù)空間),又設(shè)0是的子集,
對(duì)下列假設(shè)：H0
：
0
,
H1
：
0作出判斷,
即給出H0的否定域
.二、似然比統(tǒng)計(jì)量從總體X抽取容量為n的樣本.把樣本的聯(lián)合密度函數(shù)它是樣本X(t
)(t
=1,…,n)的函數(shù),常稱為似然比統(tǒng)計(jì)量.nt
1L(
x(1
)
,
L
,
x(
n
)
;
)
f
(
x(
t
)
;
)
0
記為L(zhǎng)(X
;
),并稱它為樣本的似然函數(shù).引入統(tǒng)計(jì)量
max
L(
X
;
)
max
L(
X
;
)顯然0
1由最大似然比原理知,如果取值太小,說(shuō)明
H0為真時(shí)觀測(cè)到此樣本X(t
)(t
=1,…,n)的概率比H0為不真時(shí)觀測(cè)到此樣本X(t)(t
=1,…,
n)的概率小得多.故有理由認(rèn)為H0不成立,所以以上檢驗(yàn)問(wèn)題的否定域?yàn)閧
(X(1)
,
…
,
X(n)
)
<
}對(duì)給定的顯著性水平
,臨界值由下式確定P{(X(1),…,X(n))<
|
H0成立}=下面給出似然比統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布
.定理
3.2.1
當(dāng)樣本容量n很大時(shí),近似服從度為f
的2
分布,其中f=
的維數(shù)-0的維數(shù).
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