第五章

格林函數(shù)法分離變量法主要適用于求解各種有界問題，而傅立葉變換法則主要適用于求解各種

問題，這兩種方法所得到的解一般分別為無窮級數(shù)和無窮積分的形式。格林函數(shù)法給出的解則是有限的積分形式，十分便于理論分析和研究。格林函數(shù)又稱為點源函數(shù)或影響函數(shù)。顧名思義，它表示一個點源在一定的邊界條件和(或)初值條件下所產(chǎn)生的場或影響。由于任意分布的源所產(chǎn)生的場均可看成許許多多點源產(chǎn)生的場的疊加，因此格林函數(shù)一旦求出，就可算出任意源的場。格林函數(shù)法以的方式處理各類數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又可以研究問題。它的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用極其廣泛。這一章，主要介紹用格林函數(shù)求解拉

斯方程的邊值問題?！?/p>

準(zhǔn)備知識第五章

格林函數(shù)法Gauss公式基本解

P,P0

邊值問題、內(nèi)問題、外問題★

三大Green

公式★作業(yè)P103106

:1(1,2),2,3,

4,7一、高斯(Gauss)公式設(shè)是以光滑曲面為邊界的有界區(qū)域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在閉域

上連續(xù),在

內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即P,Q,R

C

C1

則：P

cosn,

x

Qcosn,

y

Rcosn,zdS

P

Q

R

x

y

z

dV

其中n

為v

|

0,

的外法向量。

u

P,

P0

設(shè)方程的解稱為基本解。p0

p0u

x,

y,

z

P,

P

14r其中P,

P0

x

y

z

0nP

R定點，若在點

放置一單位正電荷，則該電荷在空間產(chǎn)生的電位分布。0P基本解的物理意義二、拉斯方程的基本解3

,0當(dāng)P

,,

R01p0

p2

ru

x,

y

P,

P

1

ln其中P,

P0

x

y

2

,0當(dāng)P

,

R基本解若在平面一定點P0

放置一單位正電荷，則該電荷在平面上產(chǎn)生的電位分布?；窘獾奈锢硪饬x三維拉斯方程的球?qū)ΨQ解22

sin

u

1

r2

u

1r

rr

r

sin

1

2u

0r2

sin22x

r

sincos在球面坐標(biāo)下,

拉

斯方程為:球面坐標(biāo)：

y

r

sinsinz

r

cosuxx

uyy

uzz

0

r

2

u

0r

r

1r

2方程可化簡為：2解方程得：u(r)

C1

Cr其中C1,C2

是任意常數(shù)。即稱為三維拉

斯方程的基本解。14r124特別地，取

C

1

,

C

0,

u(r)

與,極角無關(guān)球?qū)ΨQ解u=u(x,y,z)在以原點為中心的同一球面的值為常數(shù)。u

僅為半徑r

的函數(shù):u=u(r)。二維拉斯方程的球?qū)ΨQ解極坐標(biāo)：x

r

cos

y

r

sin在極坐標(biāo)下,

拉

斯方程為:1

r

u

1

2u

0r

2r

r

r

2

uxx

uyy

0與

極角無關(guān)圓周對稱解u=u(r)滿足1

r

u

0r

r

r

解方程得：u(r)

C1

ln

r

C2其中C1,C2

是任意常數(shù)。即稱為二維拉

斯方程的基本解。1222

r特別地，取C

1

,

C

0,

u(r)

1

ln

1三、Laplace

equation

邊值問題的提法設(shè)u

u

x,y,z

滿足三維拉斯方程2u

2u

2u

x2

y2

z20它描述了穩(wěn)恒狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。拉

斯方程

u

0

的連續(xù)解，也叫調(diào)和函數(shù)。所以狄利克雷問題也可以敘述為：在區(qū)域

內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù),它在邊界

上的值已知。兩種邊值問題:第一邊值問題即(Dirichlet)問題。在三

中的區(qū)域

的邊界

上給定連續(xù)函數(shù)f

，要求函數(shù)uC

C2

,并且滿足拉

斯方程,

在邊界

上與已知函數(shù)

f相等，即：u

|

f

.所以Dirichlet問題也可以敘述為：在區(qū)域內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù),它在邊界

上的值已知。u

fu

o第二邊值問題即

牛曼(

ann)問題。在光滑的閉曲面上給出連續(xù)函數(shù)f，尋找函數(shù)u(x,y,z)：在的

是調(diào)和函數(shù),在

上連續(xù)，在上任一點法向?qū)?shù)存在并且等于已知函數(shù)

f

，即：u

fn

u

fnu

o所以

ann問題也可以敘述為：在區(qū)域

內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù),它在邊界

上的方向?qū)?shù)值已知。Dirichlet外問題與ann外問題簡介Dirichlet內(nèi)問題u

0

在內(nèi)Dirichlet外問題u

0在外成立(無窮遠(yuǎn)點除外)

u

|

fu

|

fann外問題ann內(nèi)問題

f

n

u

|

u

0

在

內(nèi)u

|u

0在外成立(無窮遠(yuǎn)點除外)

fn

由于外問題在無窮區(qū)域上提出，需附加條件：lim

u(

x,

y,

z)

0r

其中，r

x2

y2

z2。從數(shù)學(xué)角度來講，此條件可以保證外問題的解是唯一的。5.1.2

格林公式格林第一公式：

uvdV

u

vdSn(

u

v

u

v

u

v

)dV

x

x

y

y

z

z格林第二公式：(u

v

v

u

)dSn

n(u

v

vu

)dV

格林第三公式：

u

P

P

dS

P

uPdVnu

P

n

0

u

P

P

證明(1)設(shè)u(x,y,z),v(x,y,z)滿足u,v

C1

C

2

,令P

x

,

y

,

z

u

v

,

Q

x

,

y

,

z

u

v

,

R

x

,

y

,

z

u

vx

y

z則P,Q,R

C

C1

,

P

Q

R

x

y

z

dV

2u

v

2v

u dV

x

x

x

22

u

v

u

2v

dVz

z

z

u

v

u

2v

dV

y

y

y

22dV

u

u

vu

vu

v

2v

2v

2v

dVx

x

y

y

z

zx

y2

z

grad

u

grad

v

dV

u

v

dV

.其中g(shù)rad

u

u

,

u

,

u

,

x

y

z

u

nu

v

dS.nu

v

cosn,

x

v

cosn,

y

v

cosn,

z

dS

x

yz由高斯公式,上式等于第一格林公式vdV

u

v

dS

gradu

gradv

dV(2)在第一格林公式 換

u,

v

的位置：nudV

v

u

dS

gradv

gradudV

v

n

n兩式相減,得

(uv

vu)dV

(u

v

v

u)dS第二格林公式

nvdV

u

v

dS

grad

u

gradv

dV

uK

P0OyxzB0設(shè)P

,,

其中

rP

0

P1P0P4r，點P

x,y,z

R3

,令x,y,z

x

2

y

2

z

2由于

x,

y,

z

0,P

P0設(shè)

0使得B

P0,

{P

x,

y,

z

P

P0

}

G

Gn

n記G

\B，在第二格林公式中令v

,并以

G

代替第二格林公式中的.在內(nèi)

udV

(u

u

)dS(3)在球面B

上,

n

r1

14r2

42因此其中u

是u

在球面B

上的平均值

u

x,y,z

B142142u

42

u

udS

Bnu

dS

B積分中值定理則有

udV

Gu

u

dS

n

nBu

u

dS

.n

nG同理

u

d

S

B1

n

4

B

u

d

S

u

n

n將上述兩式代入到等式：u

u

nB

n

dS

udVGudV

u

u

dS

u

u

n

n

n

Gu(

P0)由于u(x,y,z)一階連續(xù)可導(dǎo),u

有界。

令

0,

則0n

u

P

P

dS

PuPdVnu

P

n

0uP

P

第三格林公式注：二維情況下，Green三大公式皆成立，只是二維的基本解為：0rP

P2P

1

ln

1

利用格林公式,可以得到調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)：1)

牛曼內(nèi)問題有解的必要條件設(shè)u

是以為邊界的區(qū)域

內(nèi)的調(diào)和函數(shù),在

上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在第二格林公式中取u為上述調(diào)和函數(shù),取v

1,有

u

dS

0.

n所以牛曼內(nèi)問題有解的必要條件為

fdS

0.注：這也是牛曼內(nèi)問題有解的充分條件。習(xí)題5（7）2)拉

斯方程解的唯一性問題設(shè)u1,u2

是定解問題的兩個解，則它們的差v

u1

u2必是原問題滿足零邊界條件的解。即:對于狄利克雷問題或牛曼問題，

v

0

,

v

|

0

或|

0

v

n

v

0

,(*)習(xí)題5（2）在第一格林公式n

uvdV

u

v

dS

grad

u

gradv

dV中取u

v

u1

u2

,考慮到

(*),

有n

v

v

dS

0.

n0

v

v

dS

gradv

gradvdV由v

是調(diào)和函數(shù),得從而

grad

v

2

dV

0.gradv

0.必有即v

v

v

0.x

y

z所以v

C

.其中C

為常數(shù)。特別的，對于狄利克雷問題,

由于v

|

0,

得

C=0,從而v=0.總之：在C1

()

C

2

()上，狄利克雷問題的解是唯一的,牛曼問題的解相差一個常數(shù)。3）調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,是指用調(diào)和函數(shù)及其在區(qū)域邊界上的法向?qū)?shù)沿的積分來表達(dá)調(diào)和函數(shù)在區(qū)域

內(nèi)任一點的值。設(shè)M0

x0

,y0

,z0

是

內(nèi)的點,下面求調(diào)和函數(shù)在該點的值。構(gòu)造輔助函數(shù)其中

(x,

y,

z)

為空間中任意一點。

2220001rv

1

x

x

y

y

z

zB

P P

P0

,在

內(nèi)挖去以B

為球面的球B

得到區(qū)域\B.可任意求導(dǎo)。014rP

P

n

n

(uv

vu)dV

(u

v

v

u

)dS在區(qū)域

\B

內(nèi)直到邊界上，

在第二格林公式中,

取

u

為調(diào)和函數(shù),

而令

v

,

并以

B代替第二格林公式中的.在

\B

內(nèi),u

0,

0,在球面B上,1

14r2

42

n

r因此其中u

是u

在球面B

上的平均值.2u

4

u

1

42

1

42BBundS

udS

積分中值定理則有u

u

dS

.

n

n

u

u

dV

\

BB同理1

u

d

S

n

B

B

u

d

S

u

n

4

n將上述兩式代入到等式：Bu

u

dS

0

n

n

u

u

dS

u

u

0n

n

n

令

0,

則u(

P0)0uP

P

u

P

n

n

dS

u

P0

P