第三章

復變函數(shù)的積分和在局部弧段上任意取點,

極限n

0

k

1lim

f

(k

)zk

C

f

(z)d

z記作都存在且唯一，則稱此極限為函數(shù)f

(z

)沿曲線弧C的積分.工程數(shù)學---------復BCkzkzk

1Azk§1

復變函數(shù)積分的概念1.積分的定義定義設函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),C為在區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線.若對C

的任意分割xyo關于定義的說明:Cba(4)一般不能把f

(z)dz

寫成f

(z)dz

的形式.(1)

用C

f

(z)dz

表示

f

(沿著曲線C的負向的積分.(2)

f

(工程數(shù)學---------復沿著閉曲線C的積分記作

f

(C(3)如果C是x軸上的區(qū)間a

x

b,而f

(z)

u(x),則bC

af

(z)dz

u(x)dx.

積分的性質(zhì)C

f

(z)

d

z

C

f

(z)

d

zC

k

f

(z)d

z

k

C

f

(z)d

z;(k為常數(shù))iii

)C

[

f

(z)

g(z)]d

z

C

f

(z)

d

z

C

g(z)

d

ziv)設曲線C長度為L,

f

(z)在C上滿足|

f

(z)

|

MC工程數(shù)學---------復f

(z)

d

z

C

|

f

(z)

|

d

s

M

L則例1.

證明其中C

為正向圓周：證明:

利用積分估值性質(zhì)，有工程數(shù)學---------復2.積分存在的條件及計算法連續(xù),

C

的參數(shù)方程為

z

z(t)

x(t)

iy(t)

t

:

,則曲線積分存在,且有在有向光滑弧C

上有定義且工程數(shù)學---------復定理:

設函數(shù)Cf

[z(t)]z

(t)d

tf

(z)dz

C

(u

iv)(dx

idy)

C

udx

vdy

iCvdx

udy

{u[x(t),

y(t)]

iv[x(t),

y(t)]}

{x(t)

iy(t)}dtoyx例2.

計算其中

C

為以

中心，為半徑的正向圓周，

為整數(shù).解:工程數(shù)學---------復解:(1)積分路徑的參數(shù)方程為z(t)

t

it

(0

t

1),于是

Re

z

t, dz

(1

i)dt,CRe

zdz1012t(1

i)dt

(1

i);例3.

計算

C

Re

zdz,其中C為:從原點到點1+i的直線段;從原點沿x

軸到點1,再到點1+i的折線段;1

ioyx1工程數(shù)學---------復1

iz(t)

t

(0

t

1),(2)

積分路徑由兩段直線段構成x

軸上直線段的參數(shù)方程為于是

Re

z于是

Re

zCRe

zdz10tdt

101

idt

1

i.2o1到1+i直線段的參數(shù)方程為

z(t)

1

it

(0

t

1),yx1工程數(shù)學---------復解:Czdz(1)積分路徑的參數(shù)方程為z(t)

t

it

(0

t

1),于是dz

(1

i)dt,10(t

it)(1

i)dt

i例4.

計算

C

zdz,

其中C為:從原點到點1+i的直線段;從原點沿x

軸到點1,再到點1+i的折線段;1

ioyx1工程數(shù)學---------復1

iz(t)

t

(0

t

1),1到1+i直線段的參數(shù)方程為

z(t)

1

it

(0

t

1),(2)積分路徑由兩段直線段構成

x

軸上直線段的參數(shù)方程為

于是d于是dz

idt,Czdz10tdt

10(1

it)

idt2oyx12工程數(shù)學---------復

1

i

1

i解析,BC§2

柯西定理1.柯西定理工程數(shù)學---------復定理1

如果函數(shù)

f

(z)

在單連通域B

內(nèi)處處解析,

則

f

(z)

在B內(nèi)

任何一條封閉曲線

C

的積分為零:

f

(z)

d

z

0.C證明：假設在單連通域B

內(nèi),連續(xù).所以因為 f

(z)

ux

ivx

vy

iuy

,在B

內(nèi)連續(xù)，且滿足C-R條件.任取B內(nèi)閉曲線C,則積分由格林公式得所以工程數(shù)學---------C復

f

(z)

d

z

0.

f

(z)

d

z

0.C函數(shù)f

(z)處處解析定理2在單連通域B

內(nèi)，BC定理3，函數(shù)

f

(z)AB

f

(z)dz

與路徑無關.C為一條封閉曲線,

B為C的在B內(nèi)解析，在B

B

C

上連續(xù)，則

f

(z)

d

z

0.工程數(shù)學---------C復

1

dz.z

12z

312z

3由柯西定理,

有z

1

1

dz

0.2z

3例1.

計算積分

工程數(shù)學---------復解：因為函數(shù)在

z

1內(nèi)解析，21dz.z

i

1z(z2

1),1

1

1

1

1z

i

11z

i

2z(z2

1)zi

2dzdz

1

1

1

1

1

z2

z

i2

z

i

1

2解：由柯西定理,

有都在

z

i

1

上解析，例2.

計算積分因為函數(shù)

1

和z(z2

1)

z

2

z

i1工程數(shù)學---------復z z

i1

dz

1

1

dz

1

1

dz1

z

2

1

z

i

2

1

z

i2

2

2z

i

z

i

z

i

0

1

dz

121

z

i2z

i

2工程數(shù)學---------復

1

2

i

i.Bxo2.

原函數(shù)與不定積分如果函數(shù)

f

(z)在單連通域

y定理4與路徑無關.Cf

(z)

d

zB內(nèi)處處解析,則積分定理5如果f(z)在單連通域B內(nèi)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù),并且F

'(z)

=

f

(z)zz0f

(z)dz處處解析,則函數(shù)F(z)

0zz工程數(shù)學---------復zzz

zF

(z

z)

F

(z)

z00f

(

)df

(

)d

小使z

z

在K

內(nèi),由F(z)的定義,0f

(

)dz

z由于積分與路線無關,z的積分路線可先取

z0到

z

然后從

z

沿直線到z

z,

于是z

z

zKBz0

證：利用導數(shù)的定義來證.設z

為B內(nèi)任一點,以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K.取z

充分工程數(shù)學---------復0zzzzf

(

)d

zF

(z

z)

F

(z)0zzf

(

)df

(

)d

zz

z

f

(

)d

,zzzf

(z)d因為zzzd

f

(z)

f

(z)z,所以F

(z

z)

F

(z)

f

(z)z工程數(shù)學---------復z

1zz

zz[

f

(

)

f

(z)]d

1zf

(

)d

f

(z)

z

z因為f

(z)在D

內(nèi)解析,所以f

(z)在D內(nèi)連續(xù),故

0,

0,

使得滿足

z

的一切都在

K

內(nèi),

即z

時,

總有

f

(

)

f

(z)

,由積分的估值性質(zhì),F

(z

z)

F

(z)

f

(z)zz工程數(shù)學---------復[

f

(

)

f

(z)]dz

1zzF

(z

z)

F

(z)

f

(z)zz[

f

(

)

f

(z)]d

1zzzz

1zz

1|

f

(

)

f

(z)

|

ds

z

.z

zz工程數(shù)學---------復z0于是

lim

F

(z

z)

F

(z)

f

(z)

0,即

F(z)

f

(z).[證畢]定義1

如果在區(qū)域B

內(nèi)F

'(z)=f

(z),則稱F(z)為f

(z)在區(qū)域B

內(nèi)的原函數(shù).不定積分,

記作定義2在區(qū)域

B上的原函數(shù)全體稱為 在

B上的工程數(shù)學---------復定理60z的一個原函數(shù),則z1這里z0,z1為域B

內(nèi)的兩點.

f

(x)dx

F(x如果f

(z)在單連通域B

內(nèi)處處解析,G(z)為f

(z)1

0f

(z)dz

G(z

)

G(z

),解:例3.

計算積分工程數(shù)學---------復3.復合閉路定理定理7nCk

1

Cki)

f

(z)

d

z

f

(z)

d

z,C與Ck均取正方向;設C為多連通域D

內(nèi)的ii)

f

(z)dz

0,一條簡單閉曲線,

C1,

C2,

...

,

Cn

D是在

C

的簡單閉曲線,

且C1C2C

C

C

C1

n互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,...,Cn

為邊界的區(qū)域全含于D.

如果

f

(z)

在D內(nèi)解析,

則工程數(shù)學---------復證明：考慮只有兩條圍線C0,C1

的情況.作輔助線段L1和L2連接C0,和C1，DC0C1域,

而且

f

(z)在D1和D2

內(nèi)解析,由柯西積分定理，有,D1f

(z)dz

0,2Df

(z)dz

0,所以12D

Df

(z)dz

0,12工程數(shù)學---------復LD2D1L這樣區(qū)域D就被分為D1和D2兩區(qū)域，顯然D1和D2都是單連通

L

L1

2而D

+D

C

C

L

L1

2

0

1

1

2所以12f

(z)dzD

D01Cf

(z)dzf

(z)dz

C11LLf

(z)dz

f

(z)dz

即01CCf

(z)dz

0,或01CCf

(z)dz.f

(z)dz

22LLf

(z)dz

0

f

(z)dz

f

(z)dz

DC0C112工程數(shù)學---------復LD2D1Loyx例4.

計算包含圓周解:在C內(nèi)作互不相交，互不包含的其中C

為的正向簡單閉曲線.為奇點.圓周只包含只包含由復合閉路定理，得工程數(shù)學---------復oyx工程數(shù)學---------復解:例5.

計算其中C

為正向圓周：工程數(shù)學---------復xyo2C1C21解:

C1

和C2

圍成一個圓環(huán)域,函數(shù)

在此圓環(huán)域和其邊界上處處解析,zez圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,ez例6.計算積分

z

dz,其中 為正向圓周

z

2和負向圓周

z

1組成.工程數(shù)學---------復zz根據(jù)閉路復合定理,

e

dz

0.工程數(shù)學---------復C為

D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的 完全含于

D,z0為C

內(nèi)的任一點,則0C

02

i

z

zf

(z

)

1

f

(z)

d

zDCz0§3

柯西公式1.柯西公式定理1

如果

f

(z)在區(qū)域

D

內(nèi)處處解析,證明：由于f

(z)在z0

連續(xù)，所以

0,

時，f

(z)

f

(z0

)

.

在C當作圓周0

z

z0K

:

z

z0

R

,那么

f

(z)

dzC

z

z0K

z

z0

f(z)

dz

Kf

(z)

f

(z0

)

dzK

z

z0z

z0

f

(z0

)

dz

00f

(z)

f

(z0

)

dz

2

if

(z

)

z

zKDCRz0工程數(shù)學---------復KKf

(z)

f

(z0

)

dsz

z0z

z0f

(z)

f

(z0

)

dz

而KRds

2即Kf

(z)

f

(z0

)

dz

0z

z0001Cf

(z)

dzf

(z

)

2

i z

z所以工程數(shù)學---------復注：1）柯西公式常寫作00Cf

(z)

dz

2

i

f

(z

)z

zi2）若

C

:

z

z0

Re

,

則0工程數(shù)學---------復02f

(z

)

12f

(z

Rei

)d

平均值公式0例1.

計算(1)正向圓周：(3)正向圓周：解:其中C

為(2)正向圓周：(1)(2)(3)工程數(shù)學---------復(1)z

i

dz,

C

:

z

i

1;C(2)zdz|z|2

(5

z2

)(z

i)(1)eizzi

1

z

i解：dz

2ieiz工程數(shù)學---------復zi

2

ei例2.

求下列積分的值.eizzf

(z)

5

z2zdz

z

2

(5

z2

)(z

i)(2)注意到函數(shù)在z

2

內(nèi)解析，而i

在z

2

內(nèi)，由柯西積分公式得zz

i

2πi

1

π35

z2zdz|z|25

z2z

i

工程數(shù)學---------復3

2f

(z)

z|

z|5d3

2

7

1

zf

(z)

|

z|5z

例3.

設工程數(shù)學---------復

z

7

1

d

2i(3

2

7

1)

|

2πi(3z2

7z

1)故得到

f

(z)

2f

(z)

|

f

(1

i)

2πi[6(1

i)

7]=

12π

2πiz

1i解：根據(jù)柯西積分公式，得到求

f

(z)0C

02

in1f

(z)f

(

n)

(z

)

n!dz

(n

1,

2,)(z

z

)2.解析函數(shù)的高階導數(shù)定理2

解析函數(shù)f

(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù)它,的n階導數(shù)為:其中

C

為在

f

(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞

z0

的任何一條正向簡單曲線,

而且它的 全含于D.注：高階導數(shù)公式常寫成如下形式0C

0f

(z)dz

2

i

f

(

n)

(z

)(n

1,

2,)n!

(z

z

)n1工程數(shù)學---------復解:例4.

計算的正向閉曲線.其中C

為繞z

i

2

i

cos

z2!zi工程數(shù)學---------復

i(cos

z)

i

(e

e1

)2解:例5.

計算在內(nèi)有奇點：作圓周于是工程數(shù)學---------復2z

0

2

i

cos

z

2!(

z

1)

i(6

6

iz3cos

z

2

i

z

1所以工程數(shù)學---------復02

2

x2

y2§4

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系定義1

若二元函數(shù)(x,y)

在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足拉 斯（Laplace）方程則稱(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).定理1

若f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)為解析函數(shù)，則其實部

u和虛部

v

都是調(diào)和函數(shù).證：設f

(z)=u+iv

在區(qū)域D內(nèi)解析,則由C.-R.條件工程數(shù)學---------復得u

v

,

u

v

,x

y

y

x2u

2v

2u

2vx2

xy

,

y2

yx

,0同理,02u

2u

x2

y22v

2v

x2

y2即u及v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).因

2v

與

2u工程數(shù)學---------復xy

yx

D內(nèi)連續(xù)，它們必定相等，故在D內(nèi)有定義2

u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足C.-R.條件：u

v

,

u

v

,x

y

y

x則稱v(x,y)為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).定理2

設f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)是區(qū)域D的解析函數(shù)，則v(x,y)必為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).工程數(shù)學---------復例1.

已知v

arctan

y

(x

0)是右半復平面的調(diào)和函數(shù)，,y

xx2x求調(diào)和函數(shù)u，使u

的共軛調(diào)和函數(shù)是v.解:

由C-R方程，得,

u

v

x

yx2ux

vy

y2

y2(1,0)(

x,

y

)u

ux

dx

uy

dy10yyxx

1

dx

y2

x2

1

ln(x2

y2

)2工程數(shù)學---------復ydu

ux

d例2.

已知

u

x3

3xy2

,

驗證u是調(diào)和函數(shù)，并求以

u工程數(shù)學---------復為實部的解析函數(shù)

f

(z),

使

3x2

3y2

,f

(0)

=

i.uy

解:

因為

uxuxx

uyy

6x

(6x)

0,所以u是調(diào)和函數(shù).f

(z)

u

i

u

(3x2x

y

3y2

)

i6xy

3z2f

(z)

f

(z)dz

3z3dz

z3

C又

f

(0)

=

i

，所以

C

i,

f

(z)

z3

iCf

[z(t)]z

(t)d

tf

(z)dz

C

(u

iv)(dx

idy)

C

udx

vdy

iCvdx

udych3

復變函數(shù)積分一、知識要點1.復積分基本計算法工程數(shù)學---------復曲線C:

z

z(t)

x(t)

iy(t)

t

:

,2.柯西-古薩基本定理在單連通域B

內(nèi)，函數(shù)f

(z)處處解析.1)

f

(z)d

z

0,其中C是B

任意一條簡單封閉曲線.C2)

AB

f

(z)dz

與路徑無關.zz0F(z)

3)f

(z)dz

解析,

并且

F(z)

f

(z).0工程數(shù)學---------復z11

0z0zf

(z)dz

G(z)

z1

G(z

)

G(z

)4)nCk

1

Cki

i)

f

(z)d

z

f

(z)d

z,

C與Ck均取正方向;iii)

f

(z)dz

0,

C

C

C1

nC

C3.復合閉路定理i)

f

(z)工程數(shù)學---------復4.柯西積分公式0z1)

f

(z0

)

2

iC02

in1Cf

(z)工程數(shù)學---------復2)

f

(

n)

(z

)

n!dz

(n

1,

2,)(z

z0

)5.調(diào)和函數(shù)02

2

x2

y21).調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)u

v

,

u

vx

y

y

x若f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)為解析函數(shù)，則其虛部v是實部u

的共軛調(diào)和函數(shù).工程數(shù)學---------復二、典型例題3

dz,其中C是不經(jīng)過0與1的光滑閉曲線.ezC

z(1

z)解:

分以下四種情況

：1)若封閉曲線C既不ezz(1

z)3f

(z)

在C內(nèi)解析,

ezC

z(1

z)3

dz

0.由柯西定理得例1.計算工程數(shù)學---------復2)若封閉曲線C包ez(1

z)3f

(z)

x在C內(nèi)解析,由柯西積分公式得yOC1ezezdz(1

z)3z

0工程數(shù)學---------復(1

z)3C

z(1

z)3

dz

C

zez

2i

2i.z3)若封閉曲線C包ezf

(z)

在C內(nèi)解析,

由高階導數(shù)公式得zCCez

ezdz33dz

z(1

z) (1

z)Cdz3(z

1)

ez

z2!

2i

f

(1)2工程數(shù)學---------復z1z

z3(z

2z

2)e

i

ei.據(jù)復合閉路定理有ezC

z(1

z)3

dz2133

CCdzezdz

z(1

z)

z(1

z)ezyOCx1工程數(shù)學---------復C1C24)若封閉曲線C既包含1又包含0,則分別以0,1為圓心,以

0為半徑作圓C1,C2

,使C1和C2也在C內(nèi),且C1與C2互不相交,互不包含,

2i

ei

(2

e)i.x

yv

u

(2

y

x)

2

y

x,x2得

v

(2

y

x)dx

2xy

2

g(

y),yv

2x

g(

y).又

v

u

2x

y.

y

x工程數(shù)學

復例2.已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)

x2

y2

xy.求其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)及解析函數(shù)f

(z)

u(x,y)

iv(x,y).解法一 不定積分法

利用柯西—黎曼方程,比較兩式可得:

2x

g(

y)

2x

y,

故

g(

y)

y.y2即

g(

y)

ydy

2

C.2

2x2

y2因此

v

2xy

因而得到解析函數(shù)f

(z)

u(x,

y)

iv(x,

y)

(x

y

xy)

i

2xy

iC2

2x2

y2

222工程數(shù)學---------復2

z

(2

i)