第五節(jié)曲線擬合（非線性回歸分析）（可化為直線的曲線回歸方程）

一元線性回歸方程是一種最簡(jiǎn)單的回歸，但在實(shí)際工作中，遇到的卻也很多。因?yàn)槿魏我环N曲線回歸，在一個(gè)很小的區(qū)間內(nèi)，都可以認(rèn)為是直線回歸。盡管如此，直線回歸并不能代替曲線回歸。生物學(xué)中呈曲線關(guān)系的例子很多：細(xì)菌生長(zhǎng)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系年齡與身高的關(guān)系作物種植密度與作物產(chǎn)量的關(guān)系輻射強(qiáng)度與或藥物的濃度與致死率的關(guān)系

我們將數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，將曲線化為直線，再按直線回歸分析的方法處理，就可以求出相應(yīng)的曲線回歸方程，這一分析過(guò)程，就稱為曲線擬合。第五節(jié)曲線擬合（非線性回歸分析）1為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個(gè)變量間所呈的函數(shù)關(guān)系。兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)專業(yè)知識(shí)去判定。例如：生長(zhǎng)曲線一般呈S形曲線關(guān)系。細(xì)菌的生長(zhǎng)量與時(shí)間的關(guān)系為指數(shù)函數(shù)關(guān)系等。此外還可以由散點(diǎn)圖來(lái)判定兩個(gè)變量的關(guān)系。為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個(gè)變量間所呈的函數(shù)關(guān)系。2一、對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的擬合1、對(duì)數(shù)方程的一般表達(dá)式：2、對(duì)數(shù)曲線的圖象一、對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的擬合2、對(duì)數(shù)曲線33、直線化方法：若令，則有4、求a和b的值：3、4例：在水稻塑料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫度資料列于下表，試求它們之間的相關(guān)關(guān)系。序號(hào)12345678910X7.27.911.816.912.018.718.920.221.822.7Y13.821.424.933.632.339.540.136.940.242.6X`0.85730.89761.07191.22791.07921.27181.27651.30541.33851.3560序號(hào)11121314151617181920X22.923.123.323.623.827.027.628.630.731.4Y44.636.635.144.444.143.948.348.546.350.4X`1.35981.36361.36741.37291.37651.43141.44091.45641.48711.4969X：室外氣溫Y：苗床內(nèi)氣溫例：在水稻塑料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫度資料5首先,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)(x，y)繪制散點(diǎn)圖。由散點(diǎn)圖看x與y的關(guān)系符合曲線類型，很象b>0時(shí)的對(duì)數(shù)函數(shù)曲線y=a+blgx，所以做x`=lgx的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，并求x`=lgx。以（x`，y）作散點(diǎn)圖，散點(diǎn)近似于線性分布。首先,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)(x，y)繪制散點(diǎn)圖。由散點(diǎn)圖看x與y的6求一級(jí)和二級(jí)數(shù)據(jù)：所以有：回歸關(guān)系的檢驗(yàn)可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)。求一級(jí)和二級(jí)數(shù)據(jù)：所以有：回歸關(guān)系的檢驗(yàn)可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相7生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要8苗床內(nèi)最高氣溫y與空氣最高氣溫x`（lgx）之間的線性關(guān)系苗床內(nèi)最高氣溫y與空氣最高氣溫x`（lgx）之間的線性關(guān)系9二、指數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：2、描述的現(xiàn)象：細(xì)菌的繁殖土壤中某些殺蟲劑的分解曲線放射性同位素的衰變水果、蔬菜的腐敗和溫度的關(guān)系3、直線化的方法：方程的兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)gy=lga+x·lgb另lgy=y`，lga=a`，lgb=b`，則有：y`=a`+b`x二、指數(shù)曲線的擬合2、描述的現(xiàn)象：3、直線化的方法：104、指數(shù)曲線的圖象4、指數(shù)曲線的圖象11例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程。x溫度21232527293235y產(chǎn)卵數(shù)711212466115325y`=lgy0.84511.04141.32221.38021.81922.06072.5119由(x，y)的散點(diǎn)圖可見，x與y有曲線回歸關(guān)系,散點(diǎn)分布近于指數(shù)函數(shù)曲線的分布，將y`=lgy與x做散點(diǎn)圖(x，lgy)，x與lgy的分布近似于線性分布。例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅12X與lgy的分布近似于線性分布，做線性回歸：解：X與lgy的分布近似于線性分布，做線性回歸：解：13回歸關(guān)系的檢驗(yàn)：可以利用b`或者r進(jìn)行檢驗(yàn)，主要是對(duì)線性關(guān)系的檢驗(yàn)，線性回歸或相關(guān)顯著，則指數(shù)回歸關(guān)系的擬合就顯著。回歸關(guān)系的檢驗(yàn)：可以利用b`或者r進(jìn)行檢驗(yàn)，主要是對(duì)14三、冪函數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：2、冪函數(shù)曲線的圖象三、冪函數(shù)曲線的擬合2、冪函數(shù)153、直線化的方法：兩邊取常用對(duì)數(shù)，使之線性化，得：令：lgy=y`，lgx=x`，lga=a`，則：y`=a`+bx`上式符合直線回歸方程的一般形式。4、怎樣知道利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換最好的方法依然是繪制兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)不符合直線或狹長(zhǎng)形的橢圓，則可在雙邊對(duì)數(shù)紙上，再將散點(diǎn)繪制出來(lái)，若散點(diǎn)的分布符合線性或狹長(zhǎng)橢圓，則可以進(jìn)行x與y的雙對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換。3、直線化的方法：令：lgy=y`，lgx=x`，l16例題：在突變實(shí)驗(yàn)中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗期高度與成活株之間有一定的關(guān)系。用X射線照射大麥的種子，記處理株第一葉平均高度占對(duì)照株高度的百分?jǐn)?shù)為X，存活百分?jǐn)?shù)為Y，得到以下結(jié)果，試對(duì)兩者的關(guān)系進(jìn)行分析。X283240506072808085Y812182830556185801、畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖：例題：在突變實(shí)驗(yàn)中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗17由不同數(shù)據(jù)變換的散點(diǎn)圖可見，X與Y的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。按照冪函數(shù)的直線化方法，求二級(jí)數(shù)據(jù)：由不同數(shù)據(jù)變換的散點(diǎn)圖可見，X與Y的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。按照18Y’對(duì)X’的回歸方程為：因?yàn)椋篴’=lga，所以：a=10-1.9577=0.0110所以：Y’對(duì)X’的回歸方程為：因?yàn)椋篴’=lga，所以19五、曲線的檢驗(yàn)有時(shí)將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變換，都能得到X與Y的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)系檢驗(yàn)的時(shí)候，線性關(guān)系都顯著。那么，究竟哪一條擬合曲線是最好的呢？一般情況下，以剩余平方和或稱之為誤差平方和的大小來(lái)判斷，即SSe最小時(shí)的擬合曲線為最好的曲線。可以對(duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小，其為最好的擬合曲線。必須用來(lái)計(jì)算，不可以用來(lái)計(jì)算。五、曲線的檢驗(yàn)可以對(duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小20預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！21預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！22四、概率對(duì)數(shù)變換在輻射育種和藥理學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常遇到尋找半致死劑量的問(wèn)題。致死率（y）與劑量（x）間的關(guān)系曲線往往呈S形。在半致死處，曲線的斜率最大，與死亡率的交點(diǎn)最清楚，因此在實(shí)際工作中，常常采用半致死劑量這一標(biāo)準(zhǔn)。四、概率對(duì)數(shù)變換23確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們把死亡率做概率轉(zhuǎn)換，輻射劑量做對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后，兩者會(huì)呈很好的線性關(guān)系。1、概率轉(zhuǎn)換：P（u<up）=p， 其中，p為死亡率，即為y值，up為y`的值。2、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換：x`=lgx，x為輻射劑量。則：y`=a+bx`，y`與x`間有很好的線性關(guān)系。3、半致死劑量：所謂的半致死劑量，即為Y=50%時(shí)的輻射或藥物劑量X，用LD50來(lái)表示，當(dāng)p=y=0.5時(shí)，P（u<up）=0.5，則up=0。確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們把死亡率24將up=y`=0代入y`=a+bx`，則有：0=a+bx`，則有：x`=-a/b，因?yàn)閤`=lgx，所以此時(shí)的x即為半致死劑量，即LD50。將up=y`=0代入y`=a+bx`，此時(shí)的25例題：用不同劑量的射線照射小麥品種庫(kù)斑克，調(diào)查死苗率，得到以下結(jié)果：劑量（Kr）x14161820222426死苗率（%）y6104070809395x`=lgx1.1461.2041.2551.3011.3421.3801.415y`=up-1.555-0.842-0.2530.5240.8421.4761.645利用原始數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，x與y為S形曲線形狀，將y與x做概率轉(zhuǎn)換和對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，則兩者的散點(diǎn)圖呈線性關(guān)系。因此，對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)（褐色）進(jìn)行線性分析：例題：用不同劑量的射線照射小麥品種庫(kù)斑克，調(diào)查死苗率，26生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要27生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要28生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要29求二級(jí)數(shù)據(jù)：求二級(jí)數(shù)據(jù)：30五、曲線的檢驗(yàn)有時(shí)將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變換，都能得到X與Y的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)系檢驗(yàn)的時(shí)候，線性關(guān)系都顯著，那么，究竟哪一條擬合曲線是最好的呢？一般情況下，以剩余平方和或稱之為誤差平方和的大小來(lái)判斷，即SSe最小時(shí)的擬合曲線為最好的曲線?？梢詫?duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小，其為最好的擬合曲線。必須用來(lái)計(jì)算，不可以用來(lái)計(jì)算。五、曲線的檢驗(yàn)可以對(duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小31生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要32生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要33生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要34

35第五節(jié)曲線擬合（非線性回歸分析）（可化為直線的曲線回歸方程）

一元線性回歸方程是一種最簡(jiǎn)單的回歸，但在實(shí)際工作中，遇到的卻也很多。因?yàn)槿魏我环N曲線回歸，在一個(gè)很小的區(qū)間內(nèi)，都可以認(rèn)為是直線回歸。盡管如此，直線回歸并不能代替曲線回歸。生物學(xué)中呈曲線關(guān)系的例子很多：細(xì)菌生長(zhǎng)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系年齡與身高的關(guān)系作物種植密度與作物產(chǎn)量的關(guān)系輻射強(qiáng)度與或藥物的濃度與致死率的關(guān)系

我們將數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，將曲線化為直線，再按直線回歸分析的方法處理，就可以求出相應(yīng)的曲線回歸方程，這一分析過(guò)程，就稱為曲線擬合。第五節(jié)曲線擬合（非線性回歸分析）36為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個(gè)變量間所呈的函數(shù)關(guān)系。兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)專業(yè)知識(shí)去判定。例如：生長(zhǎng)曲線一般呈S形曲線關(guān)系。細(xì)菌的生長(zhǎng)量與時(shí)間的關(guān)系為指數(shù)函數(shù)關(guān)系等。此外還可以由散點(diǎn)圖來(lái)判定兩個(gè)變量的關(guān)系。為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個(gè)變量間所呈的函數(shù)關(guān)系。37一、對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的擬合1、對(duì)數(shù)方程的一般表達(dá)式：2、對(duì)數(shù)曲線的圖象一、對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的擬合2、對(duì)數(shù)曲線383、直線化方法：若令，則有4、求a和b的值：3、39例：在水稻塑料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫度資料列于下表，試求它們之間的相關(guān)關(guān)系。序號(hào)12345678910X7.27.911.816.912.018.718.920.221.822.7Y13.821.424.933.632.339.540.136.940.242.6X`0.85730.89761.07191.22791.07921.27181.27651.30541.33851.3560序號(hào)11121314151617181920X22.923.123.323.623.827.027.628.630.731.4Y44.636.635.144.444.143.948.348.546.350.4X`1.35981.36361.36741.37291.37651.43141.44091.45641.48711.4969X：室外氣溫Y：苗床內(nèi)氣溫例：在水稻塑料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫度資料40首先,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)(x，y)繪制散點(diǎn)圖。由散點(diǎn)圖看x與y的關(guān)系符合曲線類型，很象b>0時(shí)的對(duì)數(shù)函數(shù)曲線y=a+blgx，所以做x`=lgx的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，并求x`=lgx。以（x`，y）作散點(diǎn)圖，散點(diǎn)近似于線性分布。首先,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)(x，y)繪制散點(diǎn)圖。由散點(diǎn)圖看x與y的41求一級(jí)和二級(jí)數(shù)據(jù)：所以有：回歸關(guān)系的檢驗(yàn)可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)。求一級(jí)和二級(jí)數(shù)據(jù)：所以有：回歸關(guān)系的檢驗(yàn)可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相42生物統(tǒng)計(jì)學(xué)課件16曲線擬合(回歸)概要43苗床內(nèi)最高氣溫y與空氣最高氣溫x`（lgx）之間的線性關(guān)系苗床內(nèi)最高氣溫y與空氣最高氣溫x`（lgx）之間的線性關(guān)系44二、指數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：2、描述的現(xiàn)象：細(xì)菌的繁殖土壤中某些殺蟲劑的分解曲線放射性同位素的衰變水果、蔬菜的腐敗和溫度的關(guān)系3、直線化的方法：方程的兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)gy=lga+x·lgb另lgy=y`，lga=a`，lgb=b`，則有：y`=a`+b`x二、指數(shù)曲線的擬合2、描述的現(xiàn)象：3、直線化的方法：454、指數(shù)曲線的圖象4、指數(shù)曲線的圖象46例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程。x溫度21232527293235y產(chǎn)卵數(shù)711212466115325y`=lgy0.84511.04141.32221.38021.81922.06072.5119由(x，y)的散點(diǎn)圖可見，x與y有曲線回歸關(guān)系,散點(diǎn)分布近于指數(shù)函數(shù)曲線的分布，將y`=lgy與x做散點(diǎn)圖(x，lgy)，x與lgy的分布近似于線性分布。例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅47X與lgy的分布近似于線性分布，做線性回歸：解：X與lgy的分布近似于線性分布，做線性回歸：解：48回歸關(guān)系的檢驗(yàn)：可以利用b`或者r進(jìn)行檢驗(yàn)，主要是對(duì)線性關(guān)系的檢驗(yàn)，線性回歸或相關(guān)顯著，則指數(shù)回歸關(guān)系的擬合就顯著?；貧w關(guān)系的檢驗(yàn)：可以利用b`或者r進(jìn)行檢驗(yàn)，主要是對(duì)49三、冪函數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：2、冪函數(shù)曲線的圖象三、冪函數(shù)曲線的擬合2、冪函數(shù)503、直線化的方法：兩邊取常用對(duì)數(shù)，使之線性化，得：令：lgy=y`，lgx=x`，lga=a`，則：y`=a`+bx`上式符合直線回歸方程的一般形式。4、怎樣知道利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換最好的方法依然是繪制兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)不符合直線或狹長(zhǎng)形的橢圓，則可在雙邊對(duì)數(shù)紙上，再將散點(diǎn)繪制出來(lái)，若散點(diǎn)的分布符合線性或狹長(zhǎng)橢圓，則可以進(jìn)行x與y的雙對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換。3、直線化的方法：令：lgy=y`，lgx=x`，l51例題：在突變實(shí)驗(yàn)中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗期高度與成活株之間有一定的關(guān)系。用X射線照射大麥的種子，記處理株第一葉平均高度占對(duì)照株高度的百分?jǐn)?shù)為X，存活百分?jǐn)?shù)為Y，得到以下結(jié)果，試對(duì)兩者的關(guān)系進(jìn)行分析。X283240506072808085Y812182830556185801、畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖：例題：在突變實(shí)驗(yàn)中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗52由不同數(shù)據(jù)變換的散點(diǎn)圖可見，X與Y的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。按照冪函數(shù)的直線化方法，求二級(jí)數(shù)據(jù)：由不同數(shù)據(jù)變換的散點(diǎn)圖可見，X與Y的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。按照53Y’對(duì)X’的回歸方程為：因?yàn)椋篴’=lga，所以：a=10-1.9577=0.0110所以：Y’對(duì)X’的回歸方程為：因?yàn)椋篴’=lga，所以54五、曲線的檢驗(yàn)有時(shí)將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變換，都能得到X與Y的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)系檢驗(yàn)的時(shí)候，線性關(guān)系都顯著。那么，究竟哪一條擬合曲線是最好的呢？一般情況下，以剩余平方和或稱之為誤差平方和的大小來(lái)判斷，即SSe最小時(shí)的擬合曲線為最好的曲線?？梢詫?duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小，其為最好的擬合曲線。必須用來(lái)計(jì)算，不可以用來(lái)計(jì)算。五、曲線的檢驗(yàn)可以對(duì)一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小55預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！56預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！預(yù)祝同學(xué)們考試取得好成績(jī)！57四、概率對(duì)數(shù)變換在輻射育種和藥理學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常遇到尋找半致死劑量的問(wèn)題。致死率（y）與劑量（x）間的關(guān)系曲線往往呈S形。在半致死處，曲線的斜率最大，與死亡率的交點(diǎn)最清楚，因此在實(shí)際工作中，常常采用半致死劑量這一標(biāo)準(zhǔn)。四、概率對(duì)數(shù)變換58確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們把死亡率做概率轉(zhuǎn)換，輻射劑量做對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后，兩者會(huì)呈很好的線性關(guān)系。1、概率轉(zhuǎn)換：P（u<up）=p， 其中，p為死亡率，即為y值，up為y`的值。2、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換：x`=lgx，x為輻射劑量。則：y`=a+bx`，y`與x`間有很好的線性關(guān)系。3、半致死劑量：所謂的半致死劑量，即為Y=50%時(shí)的輻射或藥物劑量X，用LD50來(lái)表示，當(dāng)p=y=0.5時(shí)，P（u<up）=0.5，則up=0。確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們把死亡率59將up=y`=0代入y`=a+bx`，則有：0=a+bx`，則有：x`=-a/b，因?yàn)閤`=lgx，所以此時(shí)的x即為半致死劑量，即LD50。將up=y`=0代入y`=a+bx`，此時(shí)的60例題：用不同劑量的射線照射小麥品種庫(kù)斑克，調(diào)查死苗率，得到以下結(jié)果：劑量（Kr）x14161820