一、最值問題解法舉例一、枚舉法例1一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有4把鑰匙4把鎖。但不知哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖？（北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題）分析與解開第一把鎖，按最壞情況考慮試了3把還未成功，則第4把不用試了，它一定能打開這把鎖，因此需要3次。同樣的道理開第二把鎖最多試2次，開第三把鎖最多試1次，最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數(shù)為：3+2+1=6（次）。二、綜合法例2x3=84A（x、A均為自然數(shù)）。A的最小值是?（1997年南通市數(shù)學(xué)通訊賽試題）分析與解根據(jù)題意，84A開立方的結(jié)果應(yīng)為自然數(shù)，于是我們可以把84分解質(zhì)因數(shù)，得84=2X2X3X7,因此x'=2X2X3X7XA,其中A的質(zhì)因數(shù)至少含有一個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)7,才能滿足上述要求。即A的最小值為（2X3X3X7X7=）882。三、分析法例3一個(gè)三位數(shù)除以43,商是a,余數(shù)是b,（a、b均為自然數(shù)），a+b的最大值是多少？（廣州市五年級(jí)數(shù)學(xué)競賽試題）分析與解若要求a+b的最大值，我們只要保證在符合題意之下，a、b盡可能大。由乘除法關(guān)系得43a+b=一個(gè)三位數(shù)因?yàn)閎是余數(shù)，它必須比除數(shù)小，即b<43b的最大值可取42。根據(jù)上面式子，考慮到a不能超過23。（因?yàn)?4X43>1000,并不是一個(gè)三位數(shù)）當(dāng)a=23時(shí)，43X23+10=999,此時(shí)b最大值為10.當(dāng)a=22時(shí)，43X22+42=988,此時(shí)b最大值為42。顯然，當(dāng)a=22,b=42時(shí)，a+b的值最大，最值為22+42=64。四、公式法例4兩個(gè)自然數(shù)的和為18,那么，這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為多少？（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）分析與解設(shè)兩個(gè)正數(shù)分別為a、b,它們有以下幾種關(guān)系，a+b》2J不或ab4（乎）,即當(dāng)和一定時(shí)，積有最大值、積一定時(shí)，和有最小12/ 值，運(yùn)用此公式，本題迎刃而解。abC 其中a+b=18所以，2匕<（同2=81（其中a=9,b=9取最大值）即這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為81,五、圖表法例5某公共汽車從起點(diǎn)站開往終點(diǎn)站，中途共有9個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應(yīng)有座位多少個(gè)？

分析與解根據(jù)題意，每站下車的乘客數(shù)最少要等于該站后面的車站數(shù)，列表如下:站次起點(diǎn)2345678910終點(diǎn)上車人數(shù)10987654321/下車人數(shù)12345678910從表中可以看出，車上乘客最多時(shí)，是在第五站乘客上下車后的人數(shù)，此時(shí)人數(shù)為(10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人)所以這輛汽車至少應(yīng)有座位30個(gè)。最大最小問題，涉及面廣，判斷最值的方法較多，上面所列舉的僅是幾種常見的解題方法。二、比和比例應(yīng)用題錯(cuò)解例析例1某車間要加工2220個(gè)零件，單獨(dú)做，甲、乙、丙三人所需工作時(shí)間的比是4：5：6?，F(xiàn)在由三人共同加工，問完成任務(wù)時(shí)，三人各加工了多少個(gè)？錯(cuò)解由甲、乙、丙三人單獨(dú)做所需工作時(shí)間的比是4：5：6,推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6：5：4,用按比例分配的思路解。甲加工乙加工丙加工TOC\o"1-5"\h\z6 6 /人、甲加工乙加工丙加工2220X =2220X—=888（個(gè)）6+5+4 155, 人、2220X=2220X7T=740（個(gè)）+5+4 152200X=2200XA=592（個(gè)）+5+4 15評(píng)析上述解答錯(cuò)在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6：5：4。誠然，如果甲、乙二人工作時(shí)間的比是4：5,那么，甲、乙二人工作效率的比就是5：4,這是正確的。但是，把甲、乙、丙三人工作時(shí)間的連比是4：5：6轉(zhuǎn)化成甲、乙、丙三人工作效率的連比是6：5：4,那就大錯(cuò)了！不錯(cuò)，工作效率的比等于工作時(shí)間比的反比。從已知條件看，甲、乙二人工作時(shí)間的比是4：5,所以，甲、乙二人工作效率的比是5：4；乙、丙二人工作時(shí)間的比是5：6,所以，乙、丙二人工作效率的比是6：5。這里的“5：4"表示甲5份，乙4份，“6：5”表示乙6份，丙5分，兩個(gè)比都是兩重相比，其中同樣表示“乙”有幾份的數(shù)在前后兩個(gè)比中并不相同，我們?cè)趺茨軐⑦@兩個(gè)比直接變成甲、乙、丙三人工作效率的連比呢？顯然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的連比看成是6：5：4,是錯(cuò)誤的?！?—?—=15?12?10?正確的解答應(yīng)當(dāng)是：甲、乙、丙三人工作效率的比=4 5 6甲加工2220X——――=2220X—=900（個(gè)）12 12乙加工2220X――——=2220X—=720（個(gè)）丙加工2220X__22__=2220X^-=600（個(gè)）容易看出，因?yàn)?：4=15：12,6：5=12：10,所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5：4,乙、丙二人工作效率的比是6：5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15：12：10.例2有兩瓶同樣重的鹽水，甲瓶鹽水鹽與水重量的比是1：8,乙瓶鹽水鹽與水重量的比是1：5.現(xiàn)將兩瓶鹽水并在一起，問在混合后的鹽水中鹽與水重量的比是多少？錯(cuò)解認(rèn)為在甲瓶鹽水中，鹽的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶鹽水中，鹽的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，將兩瓶鹽水并在一起，便得到鹽的重量是(1+1=)2,水的重量是(8+5=)13o(1+1)：(8+5)=2：13答：在混合后的鹽水中鹽與水重量的比是2：13。評(píng)析上述解答的主要錯(cuò)誤是把兩種物質(zhì)重量的最簡比，看成了就是兩種物質(zhì)具體重量的比。甲瓶鹽水鹽與水重量的比是1：8,不等于說在這瓶鹽水中鹽的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情況也是一樣。從已知條件可以看出，在甲瓶鹽水中，鹽有1份，水有8份，鹽和水一共有(1+8=)9(份)，在乙瓶鹽水中，鹽有1份，水有5份，鹽和水一共有(1+5=)6(份)。因?yàn)閮善葵}水是“同樣重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可見兩瓶鹽水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答簡單地將兩瓶鹽水中每份重量不同的鹽和水的份數(shù)分別相加，然后再將兩個(gè)“和”組成一個(gè)比，便造成了解答的錯(cuò)誤。正確的解答是:1：8=2：16,2+16=18；1：5=3：15,3+15=10。(2+3)：(16+15)=5：31答：在混合后的鹽水中鹽與水重量的比是5：31。第三講數(shù)論的方法技巧之一小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：.帶余除法：若a,b是兩個(gè)整數(shù)，b>0,則存在兩個(gè)整數(shù)q,r,使得a=bq+r(0<rVb),且q,r是唯一的。特別地，如果廠0,那么a=bq。這時(shí)，a被b整除，記作b|a,也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。.若a|c,b|c,且a,b互質(zhì)，則ab|c。.唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即玲p”3， (0其中pi<p2O“<pk為質(zhì)數(shù)，al,a2,…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。(1)式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。.約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為(1),則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：d(n)=(ai+1)(a2+l)???(ak+1),.整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x<y與xWyT是等價(jià)的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：.十進(jìn)制表示形式：n=an1On+an-11On-1+?,,+ao;.帶余形式：a=bq+r；.標(biāo)準(zhǔn)分解式：P；時(shí)“卜.2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt,其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個(gè)數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？畫便］回國解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3,a2,al,a0,則這個(gè)四位數(shù)可以寫成lOOOa3+lOOa2+lOai+ao,它的各位數(shù)字之和的10倍是10(a3+a2+ai+ao)=10a3+10a2+10ai+10a0,這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2-aO=222o比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得ao=8,a2=l,a3=2o所以紅色卡片上是2,黃色卡片上是1,藍(lán)色卡片上是8。例2在一種室內(nèi)游戲中，魔術(shù)師要求某參賽者想好一個(gè)三位數(shù)友，然后，魔術(shù)師再要求他記下5個(gè)數(shù)藐，說，而，誣，并把這5個(gè)數(shù)加起來求出和N。只要參賽者講出N的大小，魔術(shù)師就能說出原數(shù)詼?zhǔn)鞘裁?。如果N=3194,那么近是多少？解：依題意，得acb+bac+bca+cab+cba=3194。等號(hào)兩邊同時(shí)加上忘，得222(a+b+c)=3194+abc,222(a+b+c)=222X14+86+abc。由此推知詼'+86是222的倍數(shù)，且a+b+c>14。設(shè)abc+86=222n,考慮到ab溪:三位數(shù)，依次取n=l,2,3,4,分別得出荻的可能值為136,358,580,802,再結(jié)合a+b+c>14,可知原三位數(shù)abc=358。說明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數(shù)1,2,3,…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？解：設(shè)a,b,c,d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然數(shù)。于是c-d=18(m-n)。上式說明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r,則a=18ai+r,b=18bi+r,c=18ci+r,其中ai,bi,ci是整數(shù)。于是a+b+c=18(ai+bi+ci)+3r?因?yàn)?8(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因?yàn)?000=55X18+10,所以，從1,2,…，1000中可取6,24,42,…，996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘枳的形式N=2'1X35X5,X7%X…P：由于N能被5和72=49整除，故a32l,a422,其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有(ai+1)(a2+l)…(an+1)=10?由于a3+l22,a4+l23,且10=2*5,故ai+l=a2+l=a5+l=".=an+]=],即ai=a2=a5="an=0,N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7,因?yàn)閍4+l23>2,故由(a3+l)(a4+l)=10知，a3+l=5?a4+l=2是不可能的。因而a3+l=2,a4+l=5,KPN=5!'X75-5X7,=120051.例5如果N是1,2,3,…，1998,1999,2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？解：因?yàn)?吐1024,2"=2048>2000,每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2、所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法(也稱為窮舉法)是把討論的對(duì)象分成若干種情況(分類)，然后對(duì)各種情況逐一討論,最終解決整個(gè)問題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x,y,z.由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10,所以X2+y2+Z2W10,從而l《xW3,0Wy<3,0WzW3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：TOC\o"1-5"\h\z100, 101, 102, 103, 110, 111, 112,121, 122, 130, 200, 201, 202,211, 212, 220, 221, 300, 301, 310。不難驗(yàn)證只有100,101兩個(gè)數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面(例如，將2接寫在35的右面得352),如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？解：設(shè)P為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)N(N<2000)接后得函，下面對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。(1)當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，PN=10P+N,依題意N]函，則N]10P,由于需對(duì)任意數(shù)P成立，故NJ】。，所以N=l，2,5；(2)當(dāng)?shù)貎晌粩?shù)時(shí)，PN=100P+N,依題意N]函，貝UN]100P,故N|100,所以N=10,20,25,50；(3)當(dāng)訥三位數(shù)時(shí)，PN=1000P+N,依題意N]函，則N]1000P,故NI1000,所以N=100,125,200,250,500；(4)當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000,1250,2000,2500,5000?符合條件的有為00,1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。說明：(1)我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。(2)這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13,15,23o問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51,51=3X17。因?yàn)?7>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17,可能的情況有下面15種：TOC\o"1-5"\h\z①1,6, 10 ②1, 7, 9 ③1, 8, 8④2,5, 10 ⑤2, 6, 9 ⑥2, 7, 8⑦3,4, 10 ⑧3, 5, 9 ⑨3, 6, 8⑩3,7,7 (11)4,4,9(12)4,5,8(13)4,6,7(14)5,5,7(15)5,6,6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23?這3張牌的數(shù)字分別是3,5和9。例9寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90,91,92,93,94,95,96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114,115,116,117,118,119,120,122,123,124,125,126。分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又m+2,m+3,…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2,3, 13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2：設(shè)m為2,3,4,…，13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2,m+3,m+4,…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。說明:我們還可以寫出13!+2,13!+3,…，13!+13(其中n!=1X2X3X-Xn)這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來。同樣，(m+1)!+2,(m+1)!+3,…，(m+1)!+m+l是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。三、歸納法當(dāng)我們要解決一個(gè)問題的時(shí)候，可以先分析這個(gè)問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串，依次完成以下5項(xiàng)工作叫做一次操作：(1)將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；(2)從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)：(3)劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；(4)所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；(5)所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串711131131737；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4X499+3,所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同,是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：卡片總數(shù)1234567891011121314151617???剩下第幾張122424682468101214162???設(shè)這一摞忤片的張數(shù)為N,觀察上表可知：(1)當(dāng)N=2*(a=0,1,2,3,???)時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2張;(2)當(dāng)N=2，+m(m<20時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。取N=100,因?yàn)?00=2葉36,2X36=72,所以剩F這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。說明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼1,2,3,…然后把1號(hào)殺了，把3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯。如果這批俘虎有111人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)祛碼？這些祛碼的重量分別是多少？分析與解：一般天平兩邊都可放硅碼，我們從最簡單的情形開始研究。(1)稱重1克，只能用一個(gè)1克的祛碼，故1克的一個(gè)技碼是必須的。(2)稱重2克，有3種方案：①增加一個(gè)1克的祛碼：②用一個(gè)2克的祛碼；③用一個(gè)3克的祛碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的磋碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的祛碼放在祛碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。(3)稱重3克，用上.面的②③兩個(gè)方案，不用再增加住碼，因此方案①淘汰。(4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加祛碼，因此方案②也被淘汰?？傊?，用1克、3克兩個(gè)祛碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。(5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用(3+1)=5,即用一個(gè)9克重的祛碼放在祛碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)祛碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)祛碼，其重為14+13=27(克)，可以稱到1+3+9+27=40(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊?，祛碼的重量為1,3,3、3,克時(shí)，所用祛碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放祛碼時(shí)，使用1,3,32,于“克硅碼可以稱出1,2,3,…，：(3*1)克重的重量。這是使用祛碼最少、稱重最大的祛碼重量設(shè)計(jì)方案。第四講數(shù)論的方法技巧之二四、反證法反證法即首先對(duì)命題的結(jié)論作出相反的假設(shè)，并從此假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就否定了作為推理出發(fā)點(diǎn)的假設(shè)，從而肯定了原結(jié)論是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個(gè)步驟：.反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而其反面成立；.歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；.結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于導(dǎo)致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。例1是否存在三位數(shù)abc,使得abc=ab+bc+ac?解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10a+c)?上式可化簡為80a=b+c.而這顯然是不可能的，因?yàn)閍el,bW9,c<9。這表明所找的數(shù)是不存在的。說明：在證明不存在性的問題時(shí)，常用反證法：先假設(shè)存在，即至少有一個(gè)元素，它符合命題中所述的一切要求，然后從這個(gè)存在的元素出發(fā)，進(jìn)行推理，直到產(chǎn)生矛盾。例2將某個(gè)17位數(shù)的數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加。試說明，得到的和中至少有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。解：假設(shè)得到的和中沒有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的加法算式中，末一列數(shù)字的和d+a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b+cW9。將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a,b與末兩位數(shù)字c,d去掉，所得的13位數(shù)仍具有“將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)”這一性質(zhì)。照此進(jìn)行，每次去掉首末各兩位數(shù)字，最后得到一位數(shù)，它與自身相加是偶數(shù)，矛盾。故和的數(shù)字中必有偶數(shù)。ab…cdde…ba說明：顯然結(jié)論對(duì)(4k+l)位數(shù)也成立。但對(duì)其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。如12+21,506+605等。例3有一個(gè)魔術(shù)錢幣機(jī)，當(dāng)塞入1枚1分硬幣時(shí)，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當(dāng)塞入1枚5分硬幣時(shí)，退出4枚1角硬幣：當(dāng)塞入1枚1角硬幣時(shí)，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復(fù)將硬幣塞入機(jī)器，能否在某一時(shí)刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時(shí)1角的和1分的總枚數(shù)為0+1=1,這是奇數(shù)。每使用一次該機(jī)器，1分與1角的總枚數(shù)記為Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時(shí)減少1,但我們?nèi)』亓?枚1角的硬幣(和1枚5分的硬幣)，所以總數(shù)Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣(得到4枚1角硬幣)，那么Q增加4,而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2,其奇偶性也不變。所以每使用一次機(jī)器,Q的奇偶性不變，因?yàn)殚_始時(shí)Q為奇數(shù)，它將一直保持為奇數(shù)。這樣，我們就不可能得到1分硬幣的枚數(shù)剛好比1角硬幣數(shù)少10的情況，因?yàn)槿绻覀冇蠵枚1分硬幣和(P+10)枚1角硬幣，那么1分和1角硬幣的總枚數(shù)為(2P+10),這是一個(gè)偶數(shù)。矛盾。例4在3X3的方格表中已如右圖填入了9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？解：因?yàn)楸碇?個(gè)質(zhì)數(shù)之和恰為100,被3除余1,經(jīng)過每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個(gè)數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個(gè)數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?個(gè)數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會(huì)變?yōu)?個(gè)相同的數(shù)。五、構(gòu)造法構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。例599”和99!能否表示成為99個(gè)連續(xù)的奇自然數(shù)之和？解:99”能。因?yàn)?9"等于99個(gè)99”之和,所以可以直接構(gòu)造如下：9999=(99"~98)+(99"-96)+…+=(99^-2)+99計(jì)(99^+2)+—+=(99'+96)+(99-,+98).99!不能。因?yàn)?9!為偶數(shù)，而99個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99!不能表示為99個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和。說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對(duì)象構(gòu)造出來就行。例6從1,2,3,…，999這999個(gè)數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個(gè)數(shù)都不等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？解：我們可劃去2,3,…，30,31這30個(gè)數(shù)，因?yàn)閯澣チ松鲜鲞@30個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個(gè)數(shù)之積將大于32。=1024>999。另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個(gè)數(shù)。(2,61,2X61),(3,60,3X60),(4,59,4X59),…，(30,33,30X33),(31,32,31X32)。上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為31X32=992。如果劃去的數(shù)少于30個(gè)，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個(gè)，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個(gè)數(shù)。六、配對(duì)法配對(duì)的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對(duì)，也有集合間元素與元素的配對(duì)(可用于計(jì)數(shù))。傳說高斯8歲時(shí)求和(1+2+…+100)首創(chuàng)了配刻。像高斯那樣，善于使用配對(duì)技巧，常常能使?些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。例7求1,2,3,…，9999998,9999999這9999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0,并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)，因?yàn)?。與9999999,1與9999998,…,4999999與5000000各對(duì)的數(shù)碼和都是9X7=63。這里共有5000000對(duì)，故所有數(shù)碼的和是63X5000000=315000000..例8某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)。若號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼0734,因0+7=3+4,所以這個(gè)號(hào)碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個(gè)商場所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。解：顯然，號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以mHn。由于m+n=9999,相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，所以除去號(hào)碼是9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部兩兩配對(duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999,即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。因?yàn)?999=99X101,所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。例9已知最簡分?jǐn)?shù)巴可以表示成：nTOC\o"1-5"\h\zm?11 1—=1+-+-+…+—On23 88試說明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。解法一：仿照高斯求和(1+2+3+…+n)的辦法，將和的各項(xiàng)順序倒過來再寫一遍，即1,11 ,,m888786 n①②兩式相加，得雙X包+3_+…+竺=細(xì)88 2X873X86 88n從而2mX88!=89Xk(k是正整數(shù)),因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88!,從而89|m。解法二：作配對(duì)處理

將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為1X88X2X87X3X86X將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為1X88X2X87X3X86X…X44X45=88!,故 巴=的X裊（q是正整數(shù)），n88!從而mX88!=89Xk（k=nXq）。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88!,從而89E。七、估計(jì)法估計(jì)法是用不等式放大或縮小的方法來確定某個(gè)數(shù)或整個(gè)算式的取值范圍，以獲取有關(guān)量的本質(zhì)特征，達(dá)到解題的目的。在數(shù)論問題中，一個(gè)有限范圍內(nèi)的整數(shù)至多有有限個(gè)，過渡到整數(shù)，就能夠?qū)赡艿那闆r逐一檢驗(yàn)，以確定問題的解。例10已知一個(gè)整數(shù)等于4個(gè)不同的形如上一（m是整數(shù)）的真分?jǐn)?shù)之和，TOC\o"1-5"\h\zm+1 求這個(gè)數(shù)，并求出滿足題意的5組不同的真分?jǐn)?shù)。解：因每一真分?jǐn)?shù)滿足1rm <1,2 m+1推知S=3。于是可得如下5組不同而所求的數(shù)整推知S=3。于是可得如下5組不同T T 2 6 41,(2 3 7 42JT 2 9 14'12 3 10 15],135 111.2* 4* 6* 12J,12723,

(23824J1 3 4 19,2 4 5 20J例11已知在乘積1X2X3X…Xn的尾部恰好有106個(gè)連續(xù)的零，求自然數(shù)n的最大值。分析：若已知n的具體數(shù)值，求1X2X…Xn的尾部零的個(gè)數(shù)，則比較容易解決，現(xiàn)在反過來知道尾部零的個(gè)數(shù)，求n的值，不大好處理，我們可以先估計(jì)n大約是多少，然后再仔細(xì)確定n的值。解：當(dāng)n=400時(shí)，數(shù)1,2,3,…，400中共有［竽=80個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，其中有等=16個(gè)數(shù)是外的倍數(shù)，有［等］=3個(gè)數(shù)是53的倍數(shù)。因此，乘積1X2X3X…X400中含質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)為80+16+3=99（個(gè)）。又乘積中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)多于5的個(gè)數(shù)，故n=400時(shí)，1X2X…Xn的尾部有99個(gè)零，還需7個(gè)零，注意到425中含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)5,所以當(dāng)n=430時(shí),1X2X…Xn的尾部有106個(gè)零；當(dāng)n=435時(shí)，1X2X…Xn的尾部有107個(gè)零。因此，n的最大值為434。四、表針追及問題分析時(shí)針12時(shí)整，時(shí)針和分針重合，問經(jīng)過多長時(shí)間兩針又重合呢？”一般可根據(jù)“1分，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)動(dòng)的角度數(shù)”和“1時(shí)，分針比時(shí)針多走的圈數(shù)”給出兩種解答的方法。在此，我們用高觀點(diǎn)來分析這道題。我們把時(shí)針12時(shí)整，時(shí)針和分針重合，看作它們相距一周，也就是分針60分的距離，兩針再次重合，就可以看成是分針“追趕”時(shí)針的問題。分針先走完一-圈，所需時(shí)間為60分，由于分針的速度是時(shí)針?biāo)俣鹊?2倍，這時(shí)時(shí)針又向前走了“相當(dāng)于”分針患分（即5分）的路程，分針要“追”上時(shí)針，分針又必須走完這5分的路程，而這時(shí)時(shí)針又向前走了“相當(dāng)于”分針墨分的路程；分針要追上時(shí)針，又必須走完笛的路程……。以此類推，分針“追上”時(shí)針，亦即兩針再次重合所需的時(shí)間，就是分針走完各段所需的時(shí)間組成的一個(gè)無窮等比數(shù)列：60,稱，熊……各項(xiàng)的和，而其和為S=T、=-A~=651■分。因此兩針再次重合需要652分的時(shí)間。1-q 11 1112第五講整數(shù)問題之一整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識(shí)以外，還必須通過課外活動(dòng)來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識(shí)，以及解決問題的思路和方法。對(duì)于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時(shí)要用下面的方法來表示：49=4X10+9,235=2X100+3X10+5,7064=7X1000+6X10+4,有時(shí)我們用字母a,b,…表示數(shù)字.例如，abcde是一個(gè)五位數(shù),也就是^d?=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e一、整除整除是整數(shù)問題中一個(gè)重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b,商是整數(shù)且余數(shù)為0,我們就說a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,記作bIa.此時(shí)，b是a的一個(gè)因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù)..整除的性質(zhì)性質(zhì)1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除（這里設(shè)&b）.例如：3I18,3I12,那么3I（18+12）,3I（18-12）.性質(zhì)2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3|6,6|24,那么3|24.性質(zhì)3如果a能同時(shí)被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數(shù)整除.例如：6|36,9|26,6和9的最小公倍數(shù)是18,18|36.如果兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么它們稱為互質(zhì)的.例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.性質(zhì)4整數(shù)a,能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被bXc整除.例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72能被3與4的乘積12整除.性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.因?yàn)閎與c互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是bXc.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4,我們常常運(yùn)用如下解題思路：要使a被bXc整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題..數(shù)的整除特征（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5,那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除.例1四位數(shù)五而能被18整除，要使這個(gè)四位數(shù)盡可能的小，/叱是什么數(shù)字？解：18=2X9,并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4,可以分別考慮被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考慮被9整除，四個(gè)數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0,只有a=7,此數(shù)是7740：如果b=2,只有a=5,此數(shù)是7542；如果b=4,只有a=3,此數(shù)是7344；如果b=6,只有a=l,此數(shù)是7146；如果b=8,只有a=8,此數(shù)是7848.因此其中最小數(shù)是7146.根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個(gè)典型.例2一本老賬本上記著：72只桶，共口67.9口元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請(qǐng)把這筆賬補(bǔ)上.解：把口67.9□寫成整數(shù)679,它應(yīng)被72整除.72=9X8,9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4,只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a=3.這筆帳是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個(gè)數(shù)(有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn))，使得能被組成它的每一個(gè)數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.解：如果選數(shù)字5,組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5,這樣就不能被偶數(shù)2,4,6整除，也就是不能選2,4,6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5,而選其他五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,為了能整除3和6,所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個(gè)2,16+2=18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是122364.例4四位數(shù)7口4口能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).解：55=5X11,5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.要被5整除，個(gè)位數(shù)只能是0或5.再考慮被11整除.(7+4)-(百位數(shù)字+0)要能被11整除，百位數(shù)字只能是0,所得四位數(shù)是7040.(7+4)-(百位數(shù)字+5)要能被11整除，百位數(shù)字只能是6(零能被所有不等于零的整數(shù)整除)，所得四位數(shù)是7645.滿足條件的四位數(shù)只有兩個(gè)：7040,7645.例5一個(gè)七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個(gè)？解：為了使這個(gè)數(shù)最大，先讓前五位是98765,設(shè)這個(gè)七位數(shù)是98765ab,要使它被11整除，要滿足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0,1,2,3,4中的兩個(gè)數(shù)，只有b=4,a=0,滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.再介紹另一種解法.先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以H(參見下頁除式).要滿足題目的條件，這個(gè)數(shù)是9876543減6,或者再減去11的倍數(shù)中的一個(gè)數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0,1,2,3,4中的兩個(gè)數(shù)字.89786711/9876543/88Tor9986779588U668377

643-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此這個(gè)數(shù)是9876504.思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個(gè)數(shù)呢？（答：1023495）例6某個(gè)七位數(shù)1993口口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？與上例題一樣，有兩種解法.解一：從整除特征考慮.這個(gè)七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.另外，只要再分別考慮它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14,要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個(gè)數(shù)：1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.解二：直接用除式來考慮.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍數(shù)是2520,這個(gè)七位數(shù)要被2520整除.現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：792520/1993000/176402290022680

~2200-因?yàn)?520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面這個(gè)41位數(shù)20個(gè)520個(gè)9能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？解：因?yàn)?11111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111和999999=9X111111都能被7整除.這樣，18個(gè)5和18個(gè)9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.原數(shù)二p?夕噂產(chǎn)+55099叩…g+罟”學(xué)18個(gè)5 23個(gè)0 larfo18海右邊的三個(gè)加數(shù)中，前、后兩個(gè)數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55口99能被7整除，原數(shù)就能被7整除.把55口99拆成兩個(gè)數(shù)的和：55A00+B99,其中口=人+8.因?yàn)?|55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，記住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.兩人先約定一個(gè)整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)數(shù)字之一填入下面任一個(gè)方格中每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字(數(shù)字可重復(fù))后，就形成一個(gè)六位數(shù).如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝：如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.如果N小于15,當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙能取勝？解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)(六位數(shù)的個(gè)位)，就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N=5,甲可以在六位數(shù)的個(gè)位，填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.如果N=l,很明顯乙必獲勝.如果N=3或9,那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.考慮N=7,11,13是本題最困難的情況.注意到1001=7X11X13,乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2,這個(gè)六位數(shù)，能被7,11或13整除，乙就能獲勝.綜合起來，使乙能獲勝的N是1,3,7,9,11,13.記住，1001=7X11X13,在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測(cè)驗(yàn)題時(shí)，常常是有用的.二、分解質(zhì)因數(shù)一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù)).例如，2,5,7,101,個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4,12,99,501,….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2,其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15,33,….例9O+(□+△)=209.在O、口、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.解：209可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即209=11X19.不論。中填11或19,口+△一定是奇數(shù)，那么口與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2,不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)。填19,口要填9,9不是質(zhì)數(shù)，因此。填11,而口填17.這個(gè)算式是11X(17+2)=209,11X(2+17)=209.解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2,3,7,都是42的質(zhì)因數(shù),6,14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如360=2X2X2X3X3X5.還可以寫成360=2嘆片><5.這里2,表示3個(gè)2相乘，3?表示2個(gè)3相乘.在2,中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在3?中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.例10有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040,那么，他們的年齡各是多少？解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)5040=2'X32X5X7.再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：2'X32X5X7=7X8X9X10.所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)(包括1和它本身).為尋求--般方法，先看一個(gè)簡單的例子.我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1,2,3,4,6,8,12,24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.因?yàn)?4=2，X3,所以24的約數(shù)是2)的約數(shù)(1,2,2、2、)與3的約數(shù)(1,3)之間的兩兩乘積.1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,2jX3.這里有4X2=8個(gè)，即(3+1)X(1+1)個(gè)，即對(duì)于24=2'X3中的有(3+1)種選擇：1,2,22,23,對(duì)于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)X(1+1)種選擇.這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，144=2'X3?.因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是(4+1)X(2+1)=15(個(gè)).例11在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)兩種情況.27=128,符合要求，37>150,所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.23=8,8X13=104,8X17=136,符合要求.3'=27：只有27X5=135符合要求.6=135,它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150,因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128,104,135,136.利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如720=2'X32X5,168=23X3X7.那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2,較低指數(shù)次方是2*類似地都含有3,因此720與168的最大公約數(shù)是2JX3=24.在求最小公倍數(shù)時(shí),很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5,而168中無5,可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是2'X32X5X7=5040.例12兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180,最大公約數(shù)是30,已知其中一個(gè)數(shù)是90,另一個(gè)數(shù)是多少？解：180=22X32X5,30=2X3X5.對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從才與2就知道，一數(shù)中含2、另一數(shù)中含2；從3,與3就知道，一數(shù)中含3、另一數(shù)中含3,從一數(shù)是就知道另一數(shù)是22X3X5=60.還有一種解法：另--數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找30,60,90,120,….這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180,最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.例13有-一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？解：把420分解質(zhì)因數(shù)420=2X2X3X5X7.為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是3,4,5,1,12,15,20.分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是3 4 5 7 12105'84'60'35'28'21從小到大排列中第三個(gè)是總.兩個(gè)整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù).利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非?；居质呛苡杏玫姆椒?，再舉三個(gè)例題.例14將8個(gè)數(shù)6,24,45,65,77,78,105,110分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，并且每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，請(qǐng)寫出一種分組.解：要想每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也一樣才行.把8個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù).6=2X3,24=2,3,45=3ZX5,65=5X13,77=7X11,78=2X3X13,105=3X5X7,110=2X5X11.先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個(gè)2的因子，必須把6,78,110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13,必須把77和65放在第一組中.看質(zhì)因數(shù)7,105應(yīng)放在第二組中，45放在第?組中，得到第一組：24,65,77,45.第二組:6,78,110,105.在講述下一例題之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)名詞一完全平方數(shù).一個(gè)整數(shù)，可以分解成相同的兩個(gè)整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù).例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全平方數(shù).一個(gè)完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù).例如：144=32X4\100=22X52,…例15甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800,那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).2800=2'X52X7.在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有22,2',52,22X52,2'X52.在這6個(gè)數(shù)中只有22X52=100,它的約數(shù)是（2+1）X（2+1）=9（個(gè)）.2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100=22X5、因此乙數(shù)至少要含有2'和7,而2'X7=112恰好有（4+1）X（1+1）=10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來，甲數(shù)是100,乙數(shù)是112.例16小明買紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價(jià)都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴.小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？解：35=5X7.紅、藍(lán)的單價(jià)不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和17-7=10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.記?。簩?duì)筆價(jià)來說，已排除了5,7,10,12這四個(gè)數(shù).筆價(jià)不能是35-17=18（元）的約數(shù).如果筆價(jià)是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價(jià)不能是18的約數(shù)：1,2,3,6,9.當(dāng)然也不能是17是=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.現(xiàn)在筆價(jià)又排除了：2,3,6,8,9,11,14,15,16.綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4+13=17,就知道紅筆每支13元，藍(lán)筆每支4元三、余數(shù)在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95+3,48+5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：654-3=21 2, 384-5=7 3.上面兩個(gè)算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是被除數(shù)+除數(shù)=商……余數(shù).上面兩個(gè)算式可以寫成65=3X21+2,38=5X7+3.也就是被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù).通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖摹坝鄶?shù)”出發(fā)去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的.特別要提請(qǐng)注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時(shí)常作為依據(jù).例175397被一個(gè)質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個(gè)質(zhì)數(shù).解：這個(gè)質(zhì)數(shù)能整除5397-15=5382,而5382=2X31997X13X23.因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.當(dāng)被除數(shù)較大時(shí)，求余數(shù)的一個(gè)簡便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).例18求645763除以7的余數(shù).解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763,再去掉14000還余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余數(shù)是6.這個(gè)過程可簡單地記成645763fl5763—1763f363f13f6.如果你演算能力強(qiáng)，上面過程可以更簡單地寫成：645763fl5000—1000-6.帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：如果兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)之差就能被那個(gè)除數(shù)整除.例19有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967,1000,2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除967,1000,2001的兩兩之差，即1000-967=33=3X11,2001-1000=1001=7X11X13,2001-967=1034=2X11X47.這個(gè)整數(shù)是這三個(gè)差的公約數(shù)11.請(qǐng)注意，我們不必求出三個(gè)差，只要求出其中兩個(gè)就夠了.因?yàn)榱硪粋€(gè)差總可以由這兩個(gè)差得到.例如,求出差1000求67與2001-1000,那么差2001-967=(2001-1000)+(1000-967)=1001+33=1034.從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來除，得到兩個(gè)余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余數(shù)是5+9=14被13除的余數(shù)1.例20有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是15,第二個(gè)數(shù)是40,從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)是多少？解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個(gè)數(shù)起，把前兩個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3,就得到這個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個(gè)數(shù)被3除的余數(shù),列表如下：數(shù)的序號(hào)一二三四五-X.七八九十被3除余數(shù)0112022101從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?998=8X249+6,所以，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.一些有規(guī)律的數(shù)，常常會(huì)循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.這十二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)循環(huán).按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是日，一，二，三，四，五，六.這也是一個(gè)循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)0,1,2,3,4,5,6的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時(shí)間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說周期是12,7個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.下面我們?cè)倥e出兩個(gè)余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個(gè)從帶余除式得出的結(jié)論：甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個(gè)余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)的積，被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).例如，37被11除余4,27被11除余5,37X27=999被11除的余數(shù)是4X5=20被11除后的余數(shù)9.1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余數(shù)是2X2=4.例2119.被7除余幾？解：從上面的結(jié)論知道，19,被7除的余數(shù)與2'項(xiàng)被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).先寫出一列數(shù)2,2X2=4,2X2X2=8,2X2X2X2=16,….然后逐個(gè)用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：數(shù)的序號(hào)—*二三四五六七A數(shù)248163264128256被7除的余數(shù)24124124事實(shí)上，只要用前一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2,再被7除，就可以得到后一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請(qǐng)想一想.）從表中可以看出，第四個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對(duì)余數(shù)的計(jì)算，就知道,第五個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個(gè)數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.1997=3X665+2.就知道2咧被7除的余數(shù)，與2的被7除的余數(shù)相同，這個(gè)余數(shù)是4.再看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.例2270個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和.這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0,1,3,8,21,55,….問：最右邊一個(gè)數(shù)（第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)數(shù)：3=IX3-0,8=3X3-1,21=8X3-3,55=21X3-8,不過，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下：將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3,減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下:數(shù)的序號(hào)一二三四五六七八九十十一十二十三十四數(shù)01382155144377-被6除的余數(shù)0132310534 3 5 0 1注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)0X3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以0X3加6再來減1.從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.70=12X5+10.因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個(gè)數(shù).這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白的.這里，我們通過兩個(gè)例題，對(duì)較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.例23有一個(gè)數(shù)，除以3余2,除以4余1,問這個(gè)數(shù)除以12余幾？解：除以3余2的數(shù)有：5,8,11,14,17,20,23-.它們除以12的余數(shù)是：5,8,11,2,5,8,11,….除以4余1的數(shù)有：5,9,13,17,21,25,29,….它們除以12的余數(shù)是：5,9,1,5,9,一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5.上面解法中，我們逐個(gè)列出被3除余2的整數(shù)，又逐個(gè)列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個(gè)考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時(shí)，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的.如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個(gè)數(shù).很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是5+12X整數(shù)，整數(shù)可以取0,1,2,…，無窮無盡.事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2,除以4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問題有三個(gè)條件，我們可以先把兩個(gè)條件合并成一個(gè).然后再與第三個(gè)條件合并，就可找到答案.例24一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數(shù).解：先列出除以3余2的數(shù)：5,8,11,14,17,20,23,26,…，再列出除以5余3的數(shù)：8,13,18,23,28,….這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15.兩個(gè)條件合并成一個(gè)就是8+15X整數(shù)，列出這一串?dāng)?shù)是8,23,38,…，再列出除以7余2的數(shù)2,9,16,23,30,…，就得出符合題目條件的最小數(shù)是23.事實(shí)上，我們已把題目中三個(gè)條件合并成一個(gè)：被105除余23.最后再看一個(gè)例子.例25在100至200之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除,最大的能被7整除，寫出這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù).解：先找出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，第一個(gè)能被3整除，第二個(gè)能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10,下一個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是11.3和5的最小公倍數(shù)是15,考慮11加15的整數(shù)倍，使加得的數(shù)能被7整除.11+15X3=56能被7整除，那么54,55,56這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，依次分別能被3,5,7整除.為了滿足“在100至200之間”將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數(shù)105.所求三數(shù)是159,160,161.注意，本題實(shí)際上是：求一個(gè)數(shù)（100?200之間），它被3整除，被5除余4,被7除余5.請(qǐng)考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？六、整數(shù)分拆例析例1將14分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，并使這兩個(gè)自然數(shù)的積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解不考慮加數(shù)順序，將14分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和,有1+13,2+12,3+11,4+10,5+9,6+8,7+7共七種方法。經(jīng)計(jì)算，容易得知，將14分拆成7+7時(shí)，有最大積7X7=49。例2將15分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，并使這兩個(gè)自然數(shù)的枳最大，如何分拆？分析與解不考慮加數(shù)順序，可將15分拆成下列形式的兩個(gè)自然數(shù)的和：1+14,2+13,3+12,4+11,5+10,6+9,7+8。顯見，將15分拆成7+8時(shí)，有最大積7X8=56。注：從上述兩例可見，將一個(gè)自然數(shù)分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和時(shí)，如果這個(gè)自然數(shù)是偶數(shù)2m,當(dāng)分拆成m+m時(shí)，有最大積mXmF、如果這個(gè)自然數(shù)是奇數(shù)2m+l,當(dāng)分拆成m+（m+1）時(shí)，有最大積mX（m+1）.例3將14分拆成3個(gè)自然數(shù)的和，并使這三個(gè)自然數(shù)的積最大，如何分拆？分析與解顯然，只有使分拆成的數(shù)之間的差盡可能地?。ū热缡?或1）,這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成4+5+5時(shí)，有最大積4X5X5=100。例4將14分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大，如何分拆？分析與解首先應(yīng)該考慮分成哪些數(shù)時(shí)乘積才能盡可能地大。首先分拆成的數(shù)中不能有1，這是顯而易見的。其次分成的數(shù)中不能有大于4的數(shù)，不然的話，將這個(gè)數(shù)再拆成2與另一個(gè)自然數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)的積一定比原數(shù)大。比如5=2+3,但5比2X3=6小。又因?yàn)?=2X2,因此，可以考慮將14分拆成若干個(gè)2或3了。注意到2+2+2=6,2X2X2=8；3+3=6,3X3=9.因此，分拆成的數(shù)中如果有三個(gè)2,還不如換成兩個(gè)3。這樣可知，分拆成的數(shù)中至多只能有兩個(gè)2,其余都是3。綜合上述結(jié)果，應(yīng)該將14分拆成四個(gè)3與一個(gè)2之和，即14=3+3+3+3+2,這樣可得到五個(gè)數(shù)的最大積3X3X3X3X2=162。上述幾例是關(guān)于如何將一個(gè)自然數(shù)分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，并使它們的根最大的問題。下面兩例則是如何將一個(gè)自然數(shù)按題H要求拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的問題。例5將1994分拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法？分析與解因1994=997X2=492+493+494+495,僅一種方法。所以，該題有唯一解。例6將35分拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法？分析與解由于35=5X7=7X5,因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9,一共有兩種方法。第七講工程問題工作量=工作效率義時(shí)間.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，因此甲的工作效率是乙的工作效率是我們想求兩人合作所需時(shí)間，就要先求兩人合作的工作效率5+《，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間=工作量+工作效率=1+（-^―+1015=6（天）?兩人合作需要6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是304-（3+2）=6（天）實(shí)際上我們把1+（［+±）這個(gè)算式，先用30乘了一下，都變成整1015數(shù)計(jì)算，就方便些.10天與15天，體現(xiàn)了甲、乙兩人工作效率之間比例關(guān)系.看：《=3:2.或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15：10=3：2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也. . 一一 3 3是非常實(shí)用的.根據(jù)3：2,兩人合作時(shí)，甲應(yīng)完成全部工作的義=!所3+25需時(shí)間是310X5=6（天）.因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個(gè)人的問題標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？3 1解一：甲做了3天，完成的工作量是，=｝乙還需完成的工作量是1121_—=一331 2乙每天能完成的工作量（工作效率）是:，完成余下;工作量所需時(shí)0 5間是答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是（18-2X3）+3=4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6：9=2：3.甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）.例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解：共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的白|.如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是2 ,、30+30X-=50（天）如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是2 ,、50+?=75（天）.答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.例3某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成：如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？解：先對(duì)比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的蕓=2（倍）.153甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做421X—=28（天），因此，乙還要做28+28=56（天）.答：乙還需要做56天.例4一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是（吟+全新1（天）'2+8+1=11（天）.答：從開始到完工共用了11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作（30-3X8-IX2）4-（3+1）=1（天）.解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天后，還余下（甲隊(duì)）10-8=2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2X3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量.4=3+1,其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.例5一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是16x（—+—）=11,2030， 3由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是11-11———X3=—

320 60乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5天半