1.1回歸分析的基本思想

及其初步應(yīng)用永昌一中趙珊1.1回歸分析的基本思想永昌一中1

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y為預(yù)報(bào)變量。線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變2殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi，yi）的殘差。例：編號為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）殘差平方和把每一個(gè)殘差所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為：稱為殘差平方和在例1中，殘差平方和約為128.361。殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異3表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)4殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)

錯(cuò)誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點(diǎn)說明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)5我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R6一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪7219回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件8討論1：建立回歸模型的基本步驟？討論2：對于非線性變量如何選取適當(dāng)回歸模型。討論3：如何對所選取的回歸模型進(jìn)行檢測？合作探究（9分鐘）要求：組長負(fù)責(zé)全員參與，分工協(xié)作。先比對答案，然后探討解題思路，總結(jié)解題規(guī)律方法。討論1：建立回歸模型的基本步驟？合作探究（9分鐘）要求：9激情展示（8分鐘）要求：展示同學(xué)要大聲，規(guī)范，清晰，迅速（黑板展示需在2—3分鐘內(nèi)書寫完）請同學(xué)們認(rèn)真聆聽，用紅筆記錄重點(diǎn)、疑惑點(diǎn)，并主動進(jìn)一步完善和補(bǔ)充，質(zhì)疑。激情展示（8分鐘）要求：請同學(xué)們認(rèn)真聆聽，用紅筆記錄重點(diǎn)、疑10練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。解：練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的11練習(xí)1

在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的12案例2

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題案例2一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀13假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計(jì)參數(shù)

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。選變量所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點(diǎn)圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預(yù)測當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計(jì)算器得：線性14

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？

產(chǎn)卵數(shù)氣溫如何求a、b？

t=x2二次函數(shù)模型y=bx2+a變15方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)16

變換y=bx+a非線性關(guān)系線性關(guān)系產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3

17方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325xz當(dāng)x=28oC時(shí)，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為

對數(shù)變換：在中兩邊取常用對數(shù)得令，則就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關(guān)指數(shù)R2=0.98方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny118最好的模型是哪個(gè)?

產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型最好的模型是哪個(gè)?產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次19比一比最好的模型是哪個(gè)?比一比最好的模型是哪個(gè)?20一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪21當(dāng)堂檢測整理提綱當(dāng)堂檢測整理提綱221.1回歸分析的基本思想

及其初步應(yīng)用永昌一中趙珊1.1回歸分析的基本思想永昌一中23

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y為預(yù)報(bào)變量。線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變24殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi，yi）的殘差。例：編號為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）殘差平方和把每一個(gè)殘差所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為：稱為殘差平方和在例1中，殘差平方和約為128.361。殘差數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異25表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)26殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)

錯(cuò)誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點(diǎn)說明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)27我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R28一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪29219回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件30討論1：建立回歸模型的基本步驟？討論2：對于非線性變量如何選取適當(dāng)回歸模型。討論3：如何對所選取的回歸模型進(jìn)行檢測？合作探究（9分鐘）要求：組長負(fù)責(zé)全員參與，分工協(xié)作。先比對答案，然后探討解題思路，總結(jié)解題規(guī)律方法。討論1：建立回歸模型的基本步驟？合作探究（9分鐘）要求：31激情展示（8分鐘）要求：展示同學(xué)要大聲，規(guī)范，清晰，迅速（黑板展示需在2—3分鐘內(nèi)書寫完）請同學(xué)們認(rèn)真聆聽，用紅筆記錄重點(diǎn)、疑惑點(diǎn)，并主動進(jìn)一步完善和補(bǔ)充，質(zhì)疑。激情展示（8分鐘）要求：請同學(xué)們認(rèn)真聆聽，用紅筆記錄重點(diǎn)、疑32練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。解：練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的33練習(xí)1

在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4練習(xí)1在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的34案例2

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題案例2一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀35假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計(jì)參數(shù)

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。選變量所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點(diǎn)圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預(yù)測當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計(jì)算器得：線性36

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？

產(chǎn)卵數(shù)氣溫如何求a、b？

t=x2二次函數(shù)模型y=bx2+a變37方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)38

變換y=bx