第三章向量空間Rn§3.5歐氏空間Rn§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間1§3.1向量及其線性組合三維空間的向量:有向線段。建立標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系后，它由一點(diǎn)P或一個(gè)三元數(shù)組(x,y,z)唯一確定。我們還定義了向量的加法(即平行四邊形法則)和向量的數(shù)乘兩種運(yùn)算。2建立坐標(biāo)系的目的就是把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算.由于解線性方程組等實(shí)際的需要，我們要把三維空間中的向量進(jìn)行推廣(把幾何向量代數(shù)化)。直接把n元的數(shù)組叫做(代數(shù)中的)向量，向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的定義直接平移三維向量坐標(biāo)的運(yùn)算。3由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量組成的集合稱為一個(gè)向量組.如無特殊說明,向量組總是指含有限個(gè)向量的向量組.

例如:m×n的矩陣A全體列向量是含n個(gè)m維列向量的向量組,簡稱A的列組;全體行向量是含m個(gè)n維的行向量組,簡稱A的行組.再如:解的全體是一個(gè)含無窮多個(gè)n維列向量的向量組.定義5觀察如圖三維空間中的向量,必有不可能再觀察下面方程組增廣矩陣的行組有如下關(guān)系這說明第(4)和第(5)個(gè)方程都是多余的,可以去掉.6

向量是矩陣的特例，向量的相等、加、減、數(shù)乘運(yùn)算對應(yīng)于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。在Rn中的向量滿足以下8條規(guī)律：其中

a、b、g都是n維向量，k、l為實(shí)數(shù)。向量的線性運(yùn)算7解，求使

例181°零向量可由任一組向量線性表示。中每個(gè)向量都可由向量組本身2°向量組線性表示，注意3°任一n元向量都可由n元單位向量組線性表示，即10向量可由向量組線性表示存在數(shù)使即有解學(xué)會這種轉(zhuǎn)換就可以了!注意:符號混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果……(按定義)(轉(zhuǎn)換為方程組)(用矩陣的秩)方程組定理3.1.112時(shí),方程組有無窮多解,可由A無窮多種表示.通解為所有表示方法:其中k為任意實(shí)數(shù).即14

第三章§3.5歐氏空間§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間向量空間Rn15§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性看看三維空間中的向量(如圖)設(shè)可表為,說明這三個(gè)向量任何一個(gè)都不能由其它兩個(gè)向量線性表示,說明它們是異面的.這三個(gè)向量在一個(gè)平面內(nèi)(共面).16

我們把上面這種向量之間的最基本的關(guān)系予以推廣,并換一種叫法.定義向量可由其余的向量線性表示,則稱該向量組線性相關(guān);否則,如果任一向量都不能由其余向量線性表示,則稱該向量組線性無關(guān)(或獨(dú)立).設(shè)向量組,如果其中一個(gè)定理3.2.1線性相關(guān)與線性表示之間的關(guān)系……(證明略)17當(dāng)m≥2時(shí)，向量組線性無關(guān)向量組中任一個(gè)向量都不能用其余m-1個(gè)向量線性表示。定理3.2.1逆否命題等價(jià)定義如果存在不全為零的數(shù)使得則稱該向量組線性相關(guān).否則,如果設(shè)便能推出則稱該向量組線性無關(guān).如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá),以便理論推導(dǎo)向量組的相關(guān)性?定義118問向量組和的線性相關(guān)性?線性相關(guān).線性無關(guān).例120例2設(shè)向量可由線性無關(guān)的向量組線性表示,證明表法是唯一的.證設(shè)有兩種表示方法由線性無關(guān)21(參見P99—101)(1)“部分相關(guān),則整體相關(guān).等價(jià)地…”觀察知相關(guān),從而相關(guān).設(shè)相關(guān),要證相關(guān).使用方便的一些推論書P98例223(2)“個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)”A的列組是4個(gè)3維向量,必相關(guān).設(shè)要證A的列組線性相關(guān).P101推論1如：24寫成矩陣乘積:從而(4)向量組B可由向量組A表示,則(后者的A,B是矩陣)存在矩陣C使得B=AC為以后引用方便,給它起個(gè)名子叫表示不等式.也體現(xiàn)在P108性質(zhì)326(5)如果一個(gè)向量組能由向量個(gè)數(shù)比它少的向量組表示,則必相關(guān)（Steinitz定理）.則必相關(guān)如果可由表示,又m>n,由表示不等式從而B必相關(guān).P107引理127(6)“短的無關(guān),則長的也無關(guān).等價(jià)地…”是無關(guān)的.也是無關(guān)的.P101推論3再如：28A,B為非零矩陣且AB=O,則(A)A的列組線性相關(guān),B的行組線性相關(guān)(B)A的列組線性相關(guān),B的列組線性相關(guān)(C)A的行組線性相關(guān),B的行組線性相關(guān)(D)A的行組線性相關(guān),B的列組線性相關(guān)

設(shè)說明Ax=0

或AX=O有非零解,故r(A)<n,從而A的列組相關(guān);考慮轉(zhuǎn)置,同樣的道理,矩陣列組即B的行組相關(guān).另,r(A)+r(B)≤n,r(A)>0,r(B)>0,得r(A)<n和r(B)<n,從而A的列組線性相關(guān),B的行組線性相關(guān).例5解30設(shè)線性無關(guān),問滿足什么條件,線性相關(guān).向量組:

分析:這是一個(gè)向量組表示另一向量組的問題,就是矩陣乘法的關(guān)系。P104則例631設(shè)(要討論上面方程組何時(shí)有非零解)(由

)32線性相關(guān)33另證:由于是列滿秩矩陣,故線性相關(guān)上面秩<3殊途同歸34例7重要結(jié)論設(shè)向量組能由向量組線性表示為且A組線性無關(guān)。證明B組線性無關(guān)的充要條件是證法一(適用于一般的線性空間)設(shè)35上面方程組只有零解即由線性無關(guān),上式成立的充要條件是36證法二由線性無關(guān)與上例一樣37證明：例838

第三章向量組的線性相關(guān)性§3.5歐氏空間§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間39§3.3向量組的秩對于給定的向量組(可以含無窮多向量),如何把握向量之間的線性關(guān)系?(即哪些向量可由另外一些向量線性表示)，它們的本質(zhì)不變量是什么？

希望:在一個(gè)向量組中能找到個(gè)數(shù)最少的一些向量,而其余的向量都可由這些向量線性表示.由P102例7，我們來研究向量組之間的關(guān)系…40如果向量組中的每個(gè)向量都可由向量組線性表示,則稱向量組B可由向量組A線性表示。有解(改寫為矩陣)(轉(zhuǎn)換為矩陣方程)(用矩陣的秩)一個(gè)向量組表示另一向量組就是矩陣乘法的關(guān)系!設(shè)B由A表示如下：定義1向量組的等價(jià)41如果向量組與向量組可以相互表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).向量組A與向量組B等價(jià)向量組的等價(jià)關(guān)系是不是等價(jià)關(guān)系?矩陣的等價(jià)與矩陣的行、列向量組等價(jià)有何關(guān)系？(用矩陣的秩)定理3.3.1設(shè)矩陣A經(jīng)過有限次初等行（列）變換為B，則A，B的行（列）向量組等價(jià)。42在中,能表示所有的3維向量而且個(gè)數(shù)是最少的.因?yàn)?如果有也能表示所有的向量,那么也能表示,這與線性無關(guān)矛盾(Steinitz).這樣就可以作為的坐標(biāo)系.極大無關(guān)組，向量組的秩43假設(shè)向量組A的部分組A0是所找的,即A0是A中所含向量個(gè)數(shù)最少的又能表示A中所有向量的向量組.

首先

A0要是線性無關(guān)的.否則,A0中至少有一個(gè)向量可由其余的向量表示,說明A0中向量個(gè)數(shù)不是最少的;

其次

A0中無關(guān)向量個(gè)數(shù)還要是最多的.否則,如果還有無關(guān)的部分組B0所含向量個(gè)數(shù)比A0多,那么因B0可由A0表示,B0必相關(guān),這就矛盾了.我們把A中滿足上面兩個(gè)條件的向量組叫做A的一個(gè)最大無關(guān)組，容易證明(稍后)最大無關(guān)組一定可以表示A中所有向量且表法是唯一的。44(1)線性無關(guān),

(2)A中任意r+1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān).定義2如果在向量組A中找到r個(gè)向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.(2)A中任一向量都可由A0表示.定義(1)線性無關(guān),

如果在向量組A中找到r個(gè)向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.P106P10745向量組A的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r(顯然是唯一的)稱為向量組A的秩.仍記為r(A).只含零向量的向量組無最大無關(guān)組,規(guī)定其秩為0.定義346例1求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組和該向量組的秩.

同理,等也是最大無關(guān)組.易求得說明A中有一個(gè)2階子式不為零.如取前兩列前兩行:那么,從而線性無關(guān).再看A的任意三列,因?yàn)樗匀我馊卸际蔷€性相關(guān)的.根據(jù)定義就是一個(gè)最大無關(guān)組47閱讀極大無關(guān)組秩的基本性質(zhì)P107-108，回答(以下向量組可無限)

(1)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)不會超過多少？最大無關(guān)組一定存在嗎？(2)最大無關(guān)組唯一嗎?它含向量個(gè)數(shù)唯一嗎？(3)如果向量組的秩為r,則其任一r個(gè)線性無關(guān)的向量都是其最大無關(guān)組嗎?(4)向量組與其任一最大無關(guān)組等價(jià)嗎?(5)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組等價(jià)嗎?(6)等價(jià)向量組的秩相等嗎?(7)相互等價(jià)的向量組中所含向量個(gè)數(shù)最少的是哪個(gè)向量組？48極大無關(guān)組的求法例2求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組并把其余向量用該最大無關(guān)組表出.接例1,已求得一個(gè)最大無關(guān)組為要求用表出,這相當(dāng)于要解方程組解49你能將求最大無關(guān)組和把其余向量用該最大無關(guān)組表出一步完成嗎?類似可求用表出.解50例3求向量一個(gè)最大無關(guān)組,并把其余向量用該最大無關(guān)組表出.矩陣的秩=?線性無關(guān)嗎?是最大無關(guān)組嗎?閱讀書P109例35152是右邊的最大無關(guān)組是左邊的最大無關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系。引理253定理3.3.2

注:以前我們把向量組與它們排成矩陣的符號混用，而且把它們的秩的符號也混用正是由于三秩相等這個(gè)原因。但對于無限向量組符號就不能混用了。向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系三秩相等定理54

第三章向量組的線性相關(guān)性§3.5歐氏空間§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間55§3.4向量空間集合對于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義維向量的全體是一個(gè)向量空間,記作只含零向量的集合是一個(gè)向量空間(稱為零空間)向量空間如果不是零空間必含有無窮多個(gè)向量56證明下列集合是向量空間證例1所以構(gòu)成了向量空間.57證(以前證過)例2證明齊次方程組的解集是一個(gè)向量空間.以后稱為齊次方程組的解空間.58例3證明非齊次方程組的解集不是向量空間.證設(shè),而S對加法運(yùn)算不封閉.或S對數(shù)乘運(yùn)算不封閉.59是向量空間.例4證60定義設(shè)是一向量組,稱為由該向量組生成的(或張成的)向量空間.記為特別地,由矩陣A的列向量生成的向量空間稱為A的列空間(或稱像空間或稱值域).記為R(A)61例5設(shè)向量組與向量組等價(jià),證明同理證62向量空間V的一個(gè)最大無關(guān)組,又稱V的一個(gè)基(或坐標(biāo)系).基所含向量的個(gè)數(shù)r又稱為V的維數(shù).記為dim(V)=r.此時(shí)稱V是r維的向量空間.設(shè)有向量空間及，若，就稱是的子空間．設(shè)是由維向量所組成的向量空間，則定義定義齊次方程組的基礎(chǔ)解系就是解空間的一個(gè)基.解空間的維數(shù)是dim(N(A))=n-r(A).63設(shè)向量空間V的一個(gè)基為,則對V中的任一向量

可唯一地表示為定義數(shù)組或向量稱為向量在基下的坐標(biāo).的一個(gè)基顯然就是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，其維數(shù)就是該向量組的秩。64例6證明都是V的基.dim(V)=?,并求向量在這兩個(gè)基下的坐標(biāo).證顯然線性無關(guān),又V中的任一向量所以是V的一個(gè)基.dim(V)=2.V中任意兩個(gè)線性無關(guān)的向量都是V的一個(gè)基,也是V的一個(gè)基所以65所以在基下的坐標(biāo)為(3,5)為求在基下的坐標(biāo),需解方程組求得坐標(biāo)為(1,2).66

第三章向量組的線性相關(guān)性§3.5歐氏空間§3.3向量組的秩§3.2一個(gè)n元向量組的線性相關(guān)性§3.1向量及其線性組合§3.4向量空間67n維向量空間是三維向量空間的直接推廣,但是只定義了線性運(yùn)算,而三維空間中有向量夾角和長度的概念,它們構(gòu)成了三維空間豐富的內(nèi)容.§3.5歐氏空間我們希望把這兩個(gè)概念推廣到n維向量空間中.

在解析幾何中,我們曾定義了向量的內(nèi)積(數(shù)量積)建立標(biāo)準(zhǔn)的直角坐標(biāo)系后,可用向量的坐標(biāo)來計(jì)算內(nèi)積設(shè)則68內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義令69性質(zhì)著名的Cauchy-Schwarz不等式即這由的判別式易知.70長度范數(shù)二、向量的長度及性質(zhì)定義性質(zhì)(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易證)71單位向量夾角.三、單位向量和n維向量間的夾角正交72四、正交向量組若一個(gè)不含零向量的向量組中的向量兩兩正交:,則稱該向量組為正交向量組.又如果這些向量都是單位向量:,則稱該向量組為規(guī)范正交向量組.若該向量組是一個(gè)向量空間V的基,又分別稱為向量空間V的正交基和規(guī)范正交基.73例如:是向量空間R3的一個(gè)規(guī)范正交基(通常稱為自然基).再如:是下面向量空間V的一個(gè)規(guī)范正交基.74性質(zhì)(P121定理3.5.1)證設(shè)是正交向量組正交向量組必線性無關(guān).75例1解這相當(dāng)于要求下面齊次方程組的非零解求得基礎(chǔ)解系(即為所求)為已知中兩個(gè)正交向量試求使構(gòu)成的一個(gè)正交基.76例2(例1的一般化)設(shè)是中的一個(gè)正交向量組,,證明必可找到個(gè)向量使構(gòu)成的正交基.都正交.證只需證必可找到使與記必有非零解.其任一非零解即為所求的77五、施密特正交化過程設(shè)是向量空間V的一個(gè)基(坐標(biāo)系),如何在向量空間V中建