微分方程模型1

傳染病模型2

藥物在體內(nèi)的分布與排除3人口的預(yù)測和控制動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程.

分析對象特征的變化規(guī)律.

預(yù)報(bào)對象特征的未來性態(tài).

研究控制對象特征的手段.

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè).

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.5.1傳染病模型

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時刻.

預(yù)防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本方法

已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病.建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1>1Oti>11-1/iOt1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲線增長接觸數(shù)

(感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計(jì)算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長到最大;t,i0.s(t)單調(diào)減;t,s0.04.設(shè)=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計(jì)算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11siOD在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si1O1D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫忽略i0模型4預(yù)防傳染病蔓延的手段

降低日接觸率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最終未感染比例s和病人比例最大值im為度量指標(biāo).1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0

)s

,ims

,im模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0iOP1i00,s01小,s01提高閾值1/s0-1/=降低被傳染人數(shù)比例x傳染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型3,4:描述傳播過程,分析變化規(guī)律,

預(yù)報(bào)高潮時刻,預(yù)防蔓延手段.模型4:數(shù)值計(jì)算與理論分析相結(jié)合.2

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量).

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì).

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué).

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟.

房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移.

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等).模型假設(shè)

中心室(1)和周邊室(2),容積不變.

藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比.

藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外.模型建立

中心室周邊室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉(zhuǎn)移線性常系數(shù)非齊次方程對應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零0tT

藥物以速率k0進(jìn)入中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室.吸收室藥量x0(t)吸收室中心室D0參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法確定A,由較小的用最小二乘法確定B,參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除

建立房室模型,研究體內(nèi)血藥濃度變化過程,確定轉(zhuǎn)移速率、排除速率等參數(shù),為制訂給藥方案提供依據(jù).

機(jī)理分析確定模型形式，測試分析估計(jì)模型參數(shù).藥物在體內(nèi)的分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性(一室)模型c1較小時近似于線性~一級排除過程如c1較大時近似于常數(shù)~零級排除過程背景

年份1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年份19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長3人口的預(yù)測和控制做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)建立人口數(shù)學(xué)模型指數(shù)增長模型——馬爾薩斯1798年提出常用的計(jì)算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.與常用公式的一致rtextx0)(=?指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預(yù)測.

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預(yù)測較長期的人口增長過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數(shù)增長模型Logistic模型的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長規(guī)律(耐用消費(fèi)品的售量).

種群數(shù)量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).S形曲線參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm.模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)

指數(shù)增長模型阻滯增長模型由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用線性最小二乘法作參數(shù)估計(jì)例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2022/10年，x0=6.0450模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)

指數(shù)增長模型阻滯增長模型r=0.2557/10年，xm=392.0886年實(shí)際人口計(jì)算人口(指數(shù)增長模型)計(jì)算人口

(阻滯增長模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指數(shù)增長模型阻滯增長模型用模型計(jì)算2000年美國人口誤差約2.5%與實(shí)際數(shù)據(jù)比較(2000年281.4)=274.5模型的參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)報(bào)

為作模型檢驗(yàn)在參數(shù)估計(jì)時未用2000年實(shí)際數(shù)據(jù)加入2000年數(shù)據(jù)重估模型參數(shù)r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

預(yù)報(bào)美國2010年人口美國人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美國總?cè)丝跒?.087億.預(yù)報(bào)誤差不到1%！考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型

年齡分布對于人口預(yù)測的重要性.

只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移.人口發(fā)展方程F(r,t)~人口分布函數(shù)(年齡<r的人口)p(r,t)~人口密度函數(shù)N(t)~人口總數(shù)rm()~最高年齡人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程Otr定解條件已知函數(shù)(人口調(diào)查)生育率(控制手段)生育率f(t)

的分解~總和生育率h~生育模式Ok(r,t)~(女性)性別比函數(shù)b(r,t)~(女性)生育數(shù)[r1,r2]~(女性)育齡區(qū)間人口控制系統(tǒng)~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大輸入輸入輸出反饋人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高5.7

煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象和問題

炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域.

不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失.

建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系.問題分析

無窮空間由瞬時點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化.

觀察到的煙霧消失與煙霧對光線的吸收、以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān).模型假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從擴(kuò)散定律.2）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的相對減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng).3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定.模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律擴(kuò)散定律：單位時間通過單位法向面積的流量q與濃度C的梯度成正比.

曲面積分奧-高公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律的微分形式，并利用積分中值定理

初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量

~單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù)

對任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2，RC

僅當(dāng)t,對任意點(diǎn)(x,y,z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律2）光強(qiáng)穿過煙霧時的變化規(guī)律假設(shè)2）光強(qiáng)的相對減少與煙霧濃度成正比.I(l)~沿l方向的光強(qiáng)，C(l)~沿l方向的煙霧強(qiáng)度記未進(jìn)入煙霧(ll0)時光強(qiáng)為I(l0)