《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱第一部分大綱說(shuō)明一、總則本課程的目的和要求：近世代數(shù)不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、計(jì)算機(jī)學(xué)科等。其研究的方法和觀點(diǎn)，對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生了越來(lái)越大的影響。群、環(huán)、域、模是本課程的基本內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握群、環(huán)、域的基本理論和方法，并對(duì) 的概念有所理解。本課程的主要內(nèi)容：本課程講授代數(shù)中典型的代數(shù)系統(tǒng)：群、環(huán)、域。要求學(xué)生能了解群的各種定義，循環(huán)群，n階對(duì)稱元素階，環(huán)中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange分解環(huán)的方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：群、正規(guī)子群、環(huán)、理想、同態(tài)基本原理.難點(diǎn)：商群、商環(huán)。本課程的知識(shí)范圍及與相關(guān)課程的關(guān)系集合論初步與高等代數(shù)（線性代數(shù)）是學(xué)習(xí)本課程的準(zhǔn)備知識(shí)。本課程學(xué)習(xí)以后可以繼續(xù)研讀：群論、環(huán)論、模論、李群、李代數(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。二、課程說(shuō)明課程基本情況（中文）近世代數(shù)（英文）AbstractAlgebra專業(yè)必修課適用對(duì)象：本科首選教材：《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，張禾瑞，人民教育出版社，1978二選教材：《近世代數(shù)》，吳品三，高等教育出版社，1978年修訂本?？己诵问剑嚎荚嚕ㄩ]卷）教學(xué)環(huán)境：課堂。章節(jié)內(nèi)容章節(jié)內(nèi)容教學(xué)時(shí)數(shù)第一章基本概念講授10習(xí)題課2第二章第二章第三章第四章群論環(huán)與域整環(huán)里的因子分解201812442《近世代數(shù)》課程的講授為一個(gè)學(xué)期，共72學(xué)時(shí)，內(nèi)容包括第1章到第4四、教學(xué)環(huán)節(jié)該課程是理論性較強(qiáng)的學(xué)科，由于教學(xué)時(shí)數(shù)所限，本課程的理論推證較少，因此必須通過(guò)做練習(xí)題來(lái)加深對(duì)概念的理解和掌握，熟悉各種公式的運(yùn)用，從而達(dá)到消化、掌握所學(xué)知識(shí)的目的。由此可知，獨(dú)立完成作業(yè)是學(xué)好本課程的重要手段。第二部分教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求一、基本概念（一） 、教學(xué)內(nèi)容集合：子集與真子集，并集、交集。映射：映射的定義，以及象與逆象的概念。結(jié)合律：結(jié)合律的定義。一一映射：滿射、單射、一一映射；變換、單射變換、滿射變換及一一變換。同態(tài)：同態(tài)映射、同態(tài)滿射。同構(gòu)、自同構(gòu)：同構(gòu)映射、自同構(gòu)。等價(jià)關(guān)系與集合：關(guān)系、等價(jià)關(guān)系，分類、全體代表團(tuán)、剩余類。重點(diǎn)：一一映射、同態(tài)、同構(gòu)、自同構(gòu)、分類。難點(diǎn)：建立映射關(guān)系與同構(gòu)關(guān)系，等價(jià)關(guān)系與分類之間的相互轉(zhuǎn)換。（二） 教學(xué)基本要求1、理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系，以及集合之間的運(yùn)算。2、理解映射的概念，能在集合之間建立映射關(guān)系，并能判斷兩個(gè)映射是否相同。3、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能建立有限集合之間的運(yùn)算表。4、掌握將結(jié)合律、交換律、第一、第二分配律推廣到n元的定理，并能判斷給定的運(yùn)算能否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。5、掌握一一映射的定義，并能建立兩個(gè)集合之間的滿射、單射、一一映射，能判定給定的映射是否是---映射。6、掌握同態(tài)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關(guān)系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射，掌握具有同態(tài)滿射的集合之間的聯(lián)系。7、掌握同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，能區(qū)分同態(tài)與同構(gòu)的差別，理解兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的集合之間的關(guān)系，并能判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個(gè)集合之間的同構(gòu)映射。8否是等價(jià)關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環(huán)提供典型的范例，能建立整數(shù)間給定的模的剩余類。二、群論（一）、教學(xué)內(nèi)容群的定義：群的第一定義、群的第二定義，左、右單位元，左、右逆元的，群的階，有限群和交 群的定義。群的同態(tài)：和一個(gè)群同態(tài)的非空集合也是一個(gè)群。在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元 a群的同態(tài)：和一個(gè)群同態(tài)的非空集合也是一個(gè)群。在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元 a逆元的象是a的象的逆。循環(huán)群：循環(huán)群、生成元。整數(shù)加群，剩余類加群，生成元的階。變換群：恒等變換，集合的若干個(gè)變換（包含恒等變換）構(gòu)成的集合作成群，變換群的定義與基 定理。置換群：置換、置換群，對(duì)稱群，k-循環(huán)置換，循環(huán)置換的乘積，有限群與置換群的關(guān)系。子群：子群的定義，子集成群的充分必要條件，有限子集成群的充分必要條件，S生成的子群。子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集個(gè)數(shù)的關(guān)系。指數(shù)，Lagrange定理，有限群中群的階和兀的階的關(guān)系。不變子群、商群：不變子群、商群。難點(diǎn)：變換群、子群的陪集、商群。（二）、教學(xué)基本要求1、了解群的第一、第二定義，并掌握兩者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無(wú)限群、群的階和交換群的概念。2、充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關(guān)系，會(huì)計(jì)算群元素的周期。3、了解有限群的定義，并理解該定義不適用無(wú)限群的原因。4并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元aa的象的逆。5循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。6、熟練掌握變換的符號(hào)的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。7、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個(gè) n元置換都可以寫(xiě)成若干個(gè)互相沒(méi)有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。8、了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。9、掌握陪集的定義，以及與等價(jià)關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群的證明。10、了解不變子群的定義，能掌握一個(gè)群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的吧，=G/N定義，了解N的階 的意義及其應(yīng)用。11、能證明一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個(gè)具有同態(tài)關(guān)系的群之 子群或不變子群的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等中。三、環(huán)與域（一）、教學(xué)內(nèi)容加群、環(huán)的定義：加群、負(fù)元、零元，環(huán)。交換律、單位元、零因子、整環(huán)：交換律、交換環(huán)，單位元、零因子、整環(huán)。除環(huán)、域：除環(huán)、域，除環(huán)的乘群，四元數(shù)除環(huán)。無(wú)零因子環(huán)的特征：沒(méi)有零因子的環(huán)的性質(zhì)，特征的定義，整環(huán)、除環(huán)以及域的特征的性質(zhì)。子環(huán)、環(huán)的同態(tài)：子環(huán)、子除環(huán)，子整域、子域，同態(tài)環(huán)或子環(huán)的性質(zhì)，同構(gòu)環(huán)的性質(zhì)。多項(xiàng)式環(huán)：多項(xiàng)式、系數(shù)，多項(xiàng)式環(huán)，未定元，次數(shù)，多項(xiàng)式的系數(shù)、無(wú)關(guān)未定兀。理想：理想子環(huán)，零理想，單位理想，主理想。剩余類環(huán)、同態(tài)與理想：模U最大理想：最大理想。重點(diǎn)：環(huán)、域，理想。難點(diǎn)：環(huán)的同態(tài)，最大理想，商域。（二）、教學(xué)基本要求1、掌握加群的定義，熟悉環(huán)的定義，環(huán)中的計(jì)算規(guī)則。2、理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用。掌握消去律與零因子的關(guān)系。3、了解除環(huán)的定義，與能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系，理順環(huán)一交換環(huán)、有單位元 和無(wú)零因子環(huán)一整環(huán)、除環(huán)——域的關(guān)系。4、熟悉無(wú)零因子環(huán)中的計(jì)算規(guī)則，掌握無(wú)零因子環(huán)中特征的性質(zhì)5、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫(xiě)出子整環(huán)、子域的概念，熟悉子除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，并對(duì)環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。6、了解多項(xiàng)式成環(huán)，熟悉多項(xiàng)式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無(wú)關(guān)未定元的作用。7、理解理想子環(huán)的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個(gè)環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。8、理解一個(gè)環(huán)的所有模H的剩余類作成的集合也是環(huán)，且與原來(lái)的環(huán)同態(tài)。了解在同態(tài)映射下的兩個(gè)環(huán)相互之間的關(guān)系、性質(zhì)。9、了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。10、 掌握沒(méi)有零因子的交換環(huán)一定是一個(gè)域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也 構(gòu)的定理。四、整環(huán)里的因子分解（一）、教學(xué)內(nèi)容素元、唯一分解：整除，單位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。唯一分解環(huán)：唯一分解環(huán)，唯一分解環(huán)的性質(zhì)。公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。主理想環(huán)：主理想環(huán)，主理想和最大理想、分解環(huán)的關(guān)系。重點(diǎn)：唯一分解，主理想環(huán)，多項(xiàng)式和多項(xiàng)式的根。難點(diǎn)：唯一分解環(huán)，主理想、最大理想，歐氏環(huán)。（二）、教學(xué)基本要求1、了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。2、知道唯一分解環(huán)的定義和性質(zhì)，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。3、理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。4是一個(gè)歐氏環(huán)。5進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。6、了解多項(xiàng)式的根和性質(zhì)，掌握重根和導(dǎo)數(shù)的定理和推論。第三部分幾點(diǎn)說(shuō)明1、近世代數(shù)是一門(mén)十分活躍又發(fā)展迅速的學(xué)科，它的概念眾多、內(nèi)容豐富，作為一門(mén)基礎(chǔ)課，又限于教學(xué)時(shí)數(shù)，只能擇其最基礎(chǔ)的概念和基本的內(nèi)容。因此，有的課本就名曰《近世代數(shù)基礎(chǔ)》。本大綱也是著眼這一基礎(chǔ)。2、 高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點(diǎn)，它的基本概念：群、環(huán)、域，對(duì)初學(xué)者也是很抽象的概念，因此，本課程的講授中，應(yīng)多講實(shí)例以仕解高度的抽象，并舉一些適當(dāng)?shù)姆蠢?，以加深?duì)概念的正確理解。3、 近世代數(shù)的習(xí)題，因抽象也都有一定的難度，但習(xí)題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié)，因此 ,適當(dāng)布置習(xí)題是必要的，但為克服做習(xí)題的困難，也應(yīng)適當(dāng)?shù)纳宵c(diǎn)習(xí)題課。4、 伽羅華(Galois)理論，是近世代數(shù)發(fā)展的源泉之一，代數(shù)方程能否用根式解，就是伽羅華理論徹底解決的，因此了解伽羅華理論才顯示出近世代數(shù)抽象的巨大作