第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2冪級(jí)數(shù)3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開及其應(yīng)用1第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2冪級(jí)數(shù)3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)3正項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判別法4任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂5交錯(cuò)級(jí)數(shù)2第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)3正一.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念中學(xué):無(wú)窮等比級(jí)數(shù)定義將其各項(xiàng)依次累加所得的式子稱為數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)設(shè)有數(shù)列問(wèn)題:如何理解無(wú)窮個(gè)數(shù)相加?3一.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念中學(xué):無(wú)窮等比級(jí)數(shù)定義將其各項(xiàng)依次1.部分和:2.部分和數(shù)列:3.收斂:稱級(jí)數(shù)收斂稱為級(jí)數(shù)余項(xiàng)極限不存在,稱級(jí)數(shù)發(fā)散41.部分和:2.部分和數(shù)列:3.收斂:稱級(jí)數(shù)收斂例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1).1+2+3+…+n+…級(jí)數(shù)發(fā)散(2).5例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1).1+2+3+…+n+…級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂(3).級(jí)數(shù)發(fā)散6級(jí)數(shù)收斂(3).級(jí)數(shù)發(fā)散6(4).q=1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散q=-1時(shí)極限不存在,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散總之:級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散7(4).q=1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散q=-1時(shí)極限不存在,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)二.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)收斂于和S,k為常數(shù),則證推論:

級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后,斂散性不變8二.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)性質(zhì)2.兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減例:級(jí)數(shù)收斂因?yàn)楹投际諗?性質(zhì)2.兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減例:級(jí)數(shù)收斂因性質(zhì)3.改變前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性證不妨設(shè)去掉前k項(xiàng),得級(jí)數(shù)常數(shù)原級(jí)數(shù)部分和時(shí),同時(shí)斂散因此,不影響級(jí)數(shù)的斂散性.10性質(zhì)3.改變前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性證不妨設(shè)去掉前k項(xiàng)性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂且和不變證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)新級(jí)數(shù)注意:(1).加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2).加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定收斂.例如:(1－1)+(1－1)+(1－1)+......收斂而1－1+1－1+1－1+......發(fā)散.11性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂且和不變證:性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂必要條件)若級(jí)數(shù)收斂,則證:注意:(1).若,則級(jí)數(shù)發(fā)散(2).時(shí),級(jí)數(shù)不一定收斂判斷級(jí)數(shù)發(fā)散12性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂必要條件)若級(jí)數(shù)收斂但可以證明級(jí)數(shù)發(fā)散假若級(jí)數(shù)收斂,則但是,矛盾例如:調(diào)和級(jí)數(shù)13但可以證明級(jí)數(shù)發(fā)散假若級(jí)數(shù)收斂,則但是,矛盾例如:調(diào)和級(jí)數(shù)1(2)不存在級(jí)數(shù)發(fā)散例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1)級(jí)數(shù)發(fā)散14(2)不存在級(jí)數(shù)發(fā)散例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1)級(jí)數(shù)發(fā)散1三.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法其部分和數(shù)列有界定理14(基本定理)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是證(充分性)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),因此單調(diào)增加單調(diào)有界數(shù)列必有極限,則級(jí)數(shù)收斂.(必要性)由收斂數(shù)列必有界的性質(zhì)可知15三.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法其部分和數(shù)列有界定理14(基本定理)正定理15(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且若收斂,則收斂;若發(fā)散則發(fā)散.證:設(shè)收斂于σ,則部分和由定理1,收斂.反之,若發(fā)散則必發(fā)散.16定理15(比較審斂法)設(shè)和例:p-級(jí)數(shù)的斂散性解時(shí),級(jí)數(shù)顯然發(fā)散.因?yàn)?而發(fā)散,則p-級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),它的各項(xiàng)不大于下面的等比級(jí)數(shù)各項(xiàng)收斂收斂因此p-級(jí)數(shù)的部分和有界,故收斂.

發(fā)散收斂時(shí),17例:p-級(jí)數(shù)的斂散性解時(shí),級(jí)數(shù)顯然發(fā)散.因?yàn)槔?判斷級(jí)數(shù)斂散性:而收斂收斂發(fā)散發(fā)散而收斂收斂18例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:而收斂收斂定理15’(比較審斂法極限形式)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)如果則和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.(2)如果則收斂時(shí)，也收斂.則發(fā)散,也發(fā)散(3)如果19定理15’(比較審斂法極限形式)設(shè)和例如前面例(3),由也可以得出結(jié)論例發(fā)散而發(fā)散20例如前面例(3),由也可以得出結(jié)論例發(fā)散而定理16.(比值審斂法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則:收斂;發(fā)散;無(wú)法確定.21定理16.(比值審斂法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:收斂收斂發(fā)散發(fā)散22例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:收斂收斂發(fā)散發(fā)散22定理17.(根值審斂法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則:收斂;發(fā)散;無(wú)法確定.例證明收斂23定理17.(根值審斂法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如定理18.(積分判別法)24定理18.(積分判別法)242525任意項(xiàng)級(jí)數(shù)考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則絕對(duì)收斂收斂,而發(fā)散,則條件收斂例如絕對(duì)收斂1.絕對(duì)收斂與條件收斂四.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)26任意項(xiàng)級(jí)數(shù)考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則絕對(duì)收斂收斂,而定理19.如果絕對(duì)收斂,則必收斂證設(shè)則由收斂知收斂而則收斂27定理19.如果絕對(duì)收斂,則注意:(1)逆命題不成立

(2)

如果用比值或根值審斂法判定

發(fā)散則發(fā)散上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)28注意:(1)逆命題不成立(2)如果用比值或根值審斂法判解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.29解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.29例2解30例2解30313132323333定理20

對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若保留其非負(fù)項(xiàng)，將其負(fù)項(xiàng)改寫成零，可得一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)；若保留其非正項(xiàng)并改變其符號(hào)，而將其正項(xiàng)改寫成零，又可得另一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中34定理20對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若保留其非2.交錯(cuò)級(jí)數(shù):或定理23(萊布尼茲定理)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足:則級(jí)數(shù)收斂,且其和,其證單調(diào)有界352.交錯(cuò)級(jí)數(shù):或定理23(萊布尼茲定理)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足:則同理交錯(cuò)級(jí)數(shù)例如收斂且S<1如果則36則同理交錯(cuò)級(jí)數(shù)例如收斂且S<1如果則36例對(duì)發(fā)散而發(fā)散對(duì)收斂條件收斂37例對(duì)發(fā)散而發(fā)散對(duì)收斂條件收斂37解原級(jí)數(shù)收斂.38解原級(jí)數(shù)收斂.38定理25（黎曼定理）對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)?shù)亟粨Q其項(xiàng)的先后次序，使得到的更序級(jí)數(shù)發(fā)散或收斂于任何預(yù)先給定的常數(shù)L.39定理25（黎曼定理）對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)?shù)亟粨Q其項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂40無(wú)窮級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.第一步：先用收斂的必要條件判斷級(jí)數(shù)是否發(fā)散。第二步：若，再看是否為幾何級(jí)數(shù)或p-級(jí)數(shù)第三步：若不是，但為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的方法進(jìn)行判斷。第四步：若為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可以考查的斂散性或

萊布尼茲判別法。41第一步：先用收斂的必要條件判斷級(jí)數(shù)是否發(fā)散。第二步：若第三節(jié)冪級(jí)數(shù)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2.冪級(jí)數(shù)及其收斂域4.冪級(jí)數(shù)的求和3.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)42第三節(jié)冪級(jí)數(shù)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2.冪級(jí)數(shù)及其收斂域4一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:43一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:432.收斂點(diǎn)與收斂域:442.收斂點(diǎn)與收斂域:44函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.3.和函數(shù):(定義域是?)45函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:46二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:46幾何說(shuō)明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域47幾何說(shuō)明：收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域47推論48推論48定義:

正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?冪級(jí)數(shù)的收斂域49定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.5050例

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散51例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散5152525353發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].54發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].54解缺少偶次冪的項(xiàng)55解缺少偶次冪的項(xiàng)55級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為級(jí)數(shù)收斂,56級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為級(jí)數(shù)收斂,5三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(1)加減法57三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(1)加減法57(2)乘法(其中柯西乘積58(2)乘法(其中柯西乘積58即冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)求極限59即冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)求極限59(收斂半徑不變)60(收斂半徑不變)60思考：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？不一定.它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是61思考：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，不一定.它們(收斂半徑不變)62(收斂半徑不變)62常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)63常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)63解兩邊積分得64解兩邊積分得6465656666解收斂域(-1,1),67解收斂域(-1,1),67常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)68常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)68第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開及應(yīng)用函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林展開式函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用69第四節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開及應(yīng)用函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)幾個(gè)常用函數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問(wèn)題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?70一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)7171問(wèn)題定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.72問(wèn)題定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.72在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),73在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),737474二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)主要研究函數(shù)如何展開成x的冪級(jí)數(shù).

麥克勞林級(jí)數(shù)(1)求出如果某階導(dǎo)數(shù)不存在,說(shuō)明不能展開(2)求出(3)求出收斂半徑R(4)在(-R,R)內(nèi),如果則f(x)75二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)主要研究函數(shù)如何例1解有限趨于零,因?yàn)槭諗渴諗堪霃?6例1解有限趨于零,因?yàn)槭绽?解77例2解77例3解牛頓二項(xiàng)式展開式注意:78例3解牛頓二項(xiàng)式展開式注意:78雙階乘79雙階乘792.間接法例如利用已知的基本展開式和冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1).逐項(xiàng)積分,逐項(xiàng)求導(dǎo)法802.間接法例如利用已知的基本展開