第三節(jié)平面及其方程一、曲面方程及空間曲線方程的概念二、平面的點法式方程三、平面的一般方程四、兩平面的夾角五、小結(jié)一（1）、曲面方程的概念曲面的實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡．曲面方程的定義：如果曲面S

與三元方程F

(x,y,z)

0有下述關(guān)系：曲面S

上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；不在曲面S

上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；

那么，方程F

(x,y,z)

0就叫做曲面S

的方程，而曲面S

就叫做方程的圖形．

已知一曲面作為點的幾何軌跡時,求曲面方程.已知方程時

, 研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).F

(

x,

y,

z)

0zSyx

O兩個基本問題:G(

x,

y,

z)

0ozyS1S2C空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.F

(

x,

y,

z)

0稱為空間曲線的一般方程特點：曲線上的點都同時

滿足兩個方程，同時滿足

兩個方程的點都在曲線上，x不在曲線上的點不能同時

滿足兩個方程.一（2）、空間曲線的一般方程xyzo如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：（1）垂直于平面內(nèi)的任一向量．設(shè)n

{

A,

B,

C

},

M0

(

x0

,

y0

,

z0

),又設(shè)平面上的任一點為M

(x,y,z)必有M0

M

n

M0

M

n

0二、平面的點法式方程n與一已知法向量平行的任何非零向量均可作為平面的法向量。過空間一點能且只能作一個平面垂直于一已知向量M0M設(shè)n

{

A,

B,

C

},

M0

(

x0

,

y0

,

z0

),設(shè)平面上的任一點為M

(x,y,z)必有M0

M

n

M0

M

n

0

M0

M

{

x

x0

,

y

y0

,

z

z0

}

A(

x

x0

)

B(

y

y0

)

C(z

z0

)

0其中法向量n

{A,B,C},已知點M0

(x0

,y0

,z0

).平面上的點都滿足上述方程，不在平面上的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的點法式方程，平面稱為方程的圖形．結(jié)論：（1）已知平面的一個法向量

n

{A,B,C},及平面內(nèi)的一個點M0

(x0

,y0

,z0

).則該平面的點法式方程為

A(

x

x0

)

B(

y

y0

)

C(z

z0

)

0

0

(

Ax0

By0

Cz0

)Ax

By

Cz

D則

Ax

By

Cz

D

0,（2）反之,若已知平面方程為Ax

B

y

Cz

D

0則

n

{

A,

B,C}

就是該平面的一個法向量解AB

{AC

{取n

AB

AC

{14,

9,1},所求平面方程為

14(x

2)

9(y

1)

(z

4)

0,化簡得14x

9

y

z

15

0.i

j

k

3

4

6

2

3

1例1

求過三點A(2,1,4)、B(1,3,2)和C

(0,2,3)的平面方程.例2

求過點(1,1,1)，且垂直于平面x

y

z

7和故可取n

n1

n2n1

{1,1,1},

n2

{3,

2,12}1nL解：L

n1

,

L

n2

,則n

//L,n設(shè)所求平面的法向量為nn

n1

,

n

n2

,n1

n2

1i

j

k

1

13

2

12

{10,15,5}

5{2,

3,1}3

x

2

y

12z

5

0的交線的平面方程.n2化簡得2x

3

y

z

6

0.所求平面方程為2(

x

1)

3(

y

1)

1(z

1)

0,1n例2

求過點(1,1,1)，且垂直于平面x

y

z

7

和3

x

2

y

12z

5

0的交線的平面方程.n2Ln

{10n1

n2

1i

j

k

1

13

2

12

5{221解：故可取

n

n

n由平面的點法式方程A(

x

x0

)

B(

y

y0

)

C(z

z0

)

0

Ax

By

Cz

(

Ax0

By0

Cz0

)

0

DAx

By

Cz

D

0

平面的一般方程其中法向量為n

{A三、平面的一般方程幾種特殊情況：(1)

D

0,平面通過x軸；類似地可A

C

0,

B

C

0

情形.類似地可

B=0,C=0

的情形.A

B

0,

平面平行于xoy

坐標(biāo)面；Ax

By

Cz

D

0

平面的一般方程Ax

By

Cz

0,平面通過坐標(biāo)原點；(2)

A

0,

D

0,

n

{平面平行于x軸；

x軸,特別若A

0,D

0,Ax

By

Cz

D

0,由平面過原點知D

0,由平面過點(6,3,2)知6A

3B

2C

0

n

{4,1,2},4A

B

2C

03

A

B

2

C

,2x

2

y

3z

0.所求平面方程為解設(shè)平面方程為n

{

A,

B,C},

2

C

x

2

Cy

Cz

03

3例3

設(shè)平面過原點及點(6,3,2)，且與平面4

x

y

2z

8垂直，求此平面方程.設(shè)平面方程為Ax

By

Cz

D

0,cC

D

0,將三點坐標(biāo)代入得bB

D

0,aA

D

0,a

A

D

,b

cB

D

,

C

D

.解

D

x

D

y

D

z

D

0,a

b

cx

y

z

1.a

b

c平面的截距式方程例

4

設(shè)平面與x,

y,

z

三軸分別交于P(a,0,0)、Q(0,

b,0)、R(0,0,

c)（其中a

0，b

0，c

0），求此平面方程.x軸上截距y

軸上截距z

軸上截距平面的截距式方程x

y

z

1a

b

cxoP(a,0,0)yQ(0,b,0)zR(0,0,c)設(shè)平面方程為a

b

cx

y

z

1,xoV

1,

1

1

abc

1,3

2由所求平面與已知平面平行得6

1

61

1

1a

b

c

,（向量平行的充要條件）解P(a,0,0)yQ(0,b,0)R(0,0,c)1

1

1

,6a

b

6c化簡得令

1

1

1

t6a

b

6c例5

求平行于平面6

x

y

6z

5

0而與三個坐標(biāo)面在第一掛限內(nèi)所圍四面體體積為

1

的平面方程.za

b

c設(shè)平面為

x

y

z

1,x例5

求平行于平面6

x

y

6z

5

0而與三個坐標(biāo)面在第一掛限內(nèi)所圍四面體體積為

1

的平面方程.zo3

2V

1,

1

1

abc

1,解P(a,0,0)yQ(0,b,0)R(0,0,c)1

1

1

,6a

b

6c

t令

1

1

16a

b

6c6t

a

1

,tb

1,

c

1

,

1

1

1

1

16

t

1

,6t

6

6t

t

6tb

6,a

1,c

1,6x

y

6z

6.所求平面方程為定義1n1

22n兩平面法向量之間的夾角（通常取銳角）1

:

A1

x

B1

y

C1

z

D1

0,2

:

A2

x

B2

y

C2

z

D2

0,n1

{

A1

,

B1

,C1

},n2

{

A2

,

B2

,C2

},四、兩平面的夾角2A

2

B

2

C

2

A

2

B

2

C1

1

1

2

2

2|

A1

A2

B1

B2

C1C2

|cos

2

11

21

2

|

n

|

n

|n

ncos(n

,

n

)

兩平面夾角余弦公式21(2)

212121A

B

CA

B

C

.//

2A

2

B

2

C

2

A

2

B

2

C1

1

1

2

2

2|

A1

A2

B1

B2

C1C2

|cos

兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：(1)

12

A1

A2

B1

B2

C1C2

0;1

:

A1

x

B1

y

C1

z

D1

0,2

:

A2

x

B2

y

C2

z

D2

0,例6

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(1)

x

2

y

z

1

0,y

3z

1

0

4x

2

y

2z

1

02x

y

z

1

0,2x

y

z

1

0解(1)cos

601.601兩平面相交，夾角

arccosn1

{1,2,1},

n2

{0,1,3},|

1

0

2

1

1

3

|(1)2

22

(1)2

12

32例6

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(1)

x

2

y

z

1

0,y

3z

1

0

4x

2

y

2z

1

02x

y

z

1

0,2x

y

z

1

0(2)解

n1

{2,1,1},

n2

{4,2,2},2

1

1

,

4

2

2兩平面平行

M

(1,1,0)

1

,

但M

(1,1,0)

2兩平面平行但不重合．例6

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(1)

x

2

y

z

1

0,y

3z

1

0

4x

2

y

2z

1

02x

y

z

1

0,2x

y

z

1

0(3)解

n1

{2,1,1},

n2

{4,2,2},

2

1

1,

4

2

2兩平面平行

M

(1,1,0)

1

,

且M

(1,1,0)

2兩平面重合．例

7

設(shè)P0

(

x0

,

y0

,

z0

)是平面Ax

By

Cz

D

0d

|

P0

N

|,

P1

(

x1

,

y1

,

z1

)

P1

NnP0n

1

0P1

P0

n

|

n

|

Pr

j

P

PP1P0

{

x0

x1

,

y0

y1

,

z0

z1

}解n

1

0d

|

Pr

j

P

P

||

n

|nn

1

0

1

0Pr

j

P

P

P

P

P

P

e1

0

n2

B2

C

A2,

B2

C

2A2,

B2

C

2A2en

A

Bn

{

AC外一點，求P0

到平面的距離.例7設(shè)P0

(x0

,y0

,z0

)是平面Ax

By

Cz

D

0外一點，求P0

到平面的距離.1P

NnP0解C(z0

z1

)A2

B2

C

2

A2

B2

C

2

A2

B2

C

2A(

x0

x1

)

B(

y0

y1

)

P1P0

{

x0

x1

,

y0

y1

,

z0

z1

}n

1

0d

|

Pr

j

P

P

||

n

|nn

1

0

1

0P

P

P

P

Pr

j

P1

P0

en2

B2

C

A2C,

B2

C

2A2,

B2

C

2A2en

A

Bn

{

Ad

|

Pr

jn

P1

P0

|

|

P1

P0

en

|例7設(shè)P0

(x0

,y0

,z0

)是平面Ax

By

Cz

D

01P

NnP0外一點，求P0

到平面的距離.解d

Ax0

By0

Cz0

(

Ax1

By1

Cz1

)d

|

Ax0

By0

Cz0

D

|

.A2

B2

C

2點到平面距離公式A2

B2

C

2P1

(

x1

,

y1

,

z1

)

,

Ax1

By1

Cz1

D

03則n

ABn

A

3A

C

0又xoy面的一個法向量為

e

{0,0,1},

(n,

e

)

|

n

|

|

e

|,2|

C

|A2

B2

Ccos

|

n

e

|

312222A

B

C|

C

|即A2

B2

3C

2

0例8：求通過點A(3,0,0)和B(0,0,1)且與xoy面成的平面方程。解：AB

{設(shè)所求平面的一個法向量為n

{A,B,C}3例8：求通過點A(3,0,0)和B(0,0,1)且與xoy面成的平面方程。解：AB

{設(shè)所求平面的一個法向量為

3A

C

0A2

B2

3C

2

0B

26An

{

A,

B,C}C

3

An1

{

A,

26A,3A}

A{1,n2

A{1,

26,3}由點法式得所求平面方程為26y

3z

0,26y

3z

0,1

:

(

x

3)

2

:

(

x

3)

x

26y

3z

3

0,x

26y

3z

3

0,平面的方程點法式方程.一般方程.

截距式方程.（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.（注意兩平面的位置特征）點到平面的距離公式.五、小結(jié)作業(yè)習(xí)題83:1,3,4,6,9思考題4若平面x

ky

2z

0與平面2

x

3

y

z

0的夾角為

，求k

?解答,4|

1

2

k

(3)

2

1

|12

k

2

(2)2

22

(3)2

12cos

,25

k

2

141

|

3k

|270

.

k

思考題4若平面x

ky

2z

0與平面2

x

3

y

z

0的夾角為

，求k

?練習(xí)題一、填空題：1、平面Ax

By