第8章扭轉(zhuǎn)(niǔzhuǎn)第一頁，共101頁。?#?

工程力學(xué)教程(jiàochéng)電子教案第8章

扭

轉(zhuǎn)

我們在第章講扭矩與扭矩圖的時候(shíhou)，涉及到這樣的問題：桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生(fāshēng)扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角bO'b'(B截面相對于A截面），受扭桿之內(nèi)力如右圖。用分離體分析扭矩T。第二頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

本章主要(zhǔyào)研究以下內(nèi)容：(1)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力(yìnglì)和應(yīng)變；(2)等直圓截面桿受扭時的應(yīng)力和變形；（等直圓桿受扭時其橫截面仍為平面，求解較簡單。）(3)簡要介紹非圓截面桿受扭時的一些彈性力學(xué)中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時，橫截面不再保持平面，要發(fā)生翹曲求解復(fù)雜。）第三頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)(duìyìng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是切應(yīng)力？為什么？思考題8-1

答：切應(yīng)力，因為與正應(yīng)力相應(yīng)的分布(fēnbù)內(nèi)力之合力不可能是個作用在橫截面上的力偶。第四頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

受扭后，圓周線與縱向直線(zhíxiàn)之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時，直角的這種改變量（以弧度計）稱之為切應(yīng)變?！?-1薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)(niǔzhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變平均半徑為R0、厚度為δ，且δ?R0。Me

A

D

B

C

Me

fg第五頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶(lìǒu)的極對稱性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個假設(shè)條件下，圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，是沿外圓周的切向。Me

A

D

B

C

Me

fg第六頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

上述內(nèi)容主要說明：(1)薄壁圓筒圓周(yuánzhōu)上各點處的切應(yīng)變相同；(2)薄壁圓筒圓周上各點處的切應(yīng)力(yìnglì)相等；(3)薄壁圓筒圓周上各點處切應(yīng)力的方向沿外周線的切線。第七頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

對于薄壁圓筒（d很?。?，橫截面上其它各點處的切應(yīng)力可以認為與外圓周處相同，即不沿徑向變化(biànhuà)。于是可以認為薄壁圓筒受扭時，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。即如圖中所示。第八頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

這樣，知道了切應(yīng)力(yìnglì)t的分布規(guī)律后，便可以利用靜力學(xué)關(guān)系r——切向力相對圓心(yuánxīn)的力臂,可用平均半徑R0代替

上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。當(dāng)d

/R0=10％

，其誤差為％。則從而有第九頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

由上圖得

式中

R為圓筒的外半徑。

則Me

A

D

B

C

Me

fgl第十頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實驗(shíyàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時，扭轉(zhuǎn)角f與外力偶矩M(此時T=M)之間成正比。TO

O剪切比例極限ttp第十一頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

圖中的線性關(guān)系為

t=Gg上式稱之為材料(cáiliào)的剪切胡克定律。式中G—切變(qiēbiàn)模量，單位為MPa。各種鋼的切變(qiēbiàn)模量約為×104MPa，至于剪切比例極限，則隨鋼種而異；Q235鋼，tp≈120MPa。

O剪切比例極限ttp

理論分析和實驗都表明，對于各向同性材料，切變模量與其它兩個彈性參數(shù)E和n

之間存在下列關(guān)系：泊松比

第十二頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

實心圓截面桿和非薄壁空心圓截面桿受扭時，我們沒有理由認為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣(nàyàng)是均勻的分布的?！?-2圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力(yìnglì)與變形8.2.1橫截面上的切應(yīng)力

現(xiàn)在的關(guān)鍵在于：

確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑r的一點處切應(yīng)力tr與r的關(guān)系。第十三頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

首先觀察受扭時，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)(jiǎshè)，最后還要利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系。(1)幾何(jǐhé)方面(2)物理方面(3)靜力學(xué)方面第十四頁，共101頁。?#?

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扭轉(zhuǎn)變形(biànxíng)演示第十五頁，共101頁。?#?

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1.幾何(jǐhé)方面(1)等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時，圓周線間的相對縱向(zònɡxiànɡ)距離也不變。

如下圖，實驗表明：第十六頁，共101頁。?#?

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(2)平截面假設(shè)等直圓桿受扭時，它的橫截面如同剛性的圓盤那樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。同樣，等直圓桿受扭時，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是(zhǐshì)繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個角度。第十七頁，共101頁。?#?

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取微段dx分析：得半徑(bànjìng)為r的任意圓桿面上的切應(yīng)變。式中：df/dx是長度方向的變化率，按平面假設(shè)(jiǎshè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時，gr與r成線性關(guān)系。(1)第十八頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

2.物理(wùlǐ)方面由剪切胡克定律(húkèdìnɡlǜ)：tr=Ggr，在t<tp時，可把(1)式代入，得：

上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑r的圓周上各點處大小相同，但它們隨r

作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上，方向垂直于各自的半徑。

(2)第十九頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

3.靜力學(xué)方面(fāngmiàn)式中的積分是整個橫截面面積(miànjī)A范圍內(nèi)每個微面積(miànjī)dA乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是橫截面的幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來表示，即：（單位：mm4或m4）故第二十頁，共101頁。?#?

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等直圓桿受扭時橫截面上任一點(yīdiǎn)處切應(yīng)力的計算公式：若求tmax，則令r

=R，有上述公式只適用于實心或空心(kōngxīn)圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭的情況。改寫成其中抗扭截面系數(shù)

，常用單位：mm3或m3。第二十一頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

.OABT

思考題8-2下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面(jiémiàn)，該截面(jiémiàn)上的扭矩T亦如圖所示，試繪出水平直經(jīng)AB上各點處切應(yīng)力的變化圖。第二十二頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

T

ABO思考題8-2參考答案:第二十三頁，共101頁。?#?

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一受扭圓軸,由實心(shíxīn)桿1和空心桿2緊配合而成。整個桿受扭時兩部分無相對滑動,試繪出切應(yīng)力沿水平直徑的變化圖，若(1)兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2)兩材料不同，G1=2G2。T

12思考題8-3第二十四頁，共101頁。?#?

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思考題8-3(1)答案(dáàn)：T

G1=G2=G21第二十五頁，共101頁。?#?

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思考題8-3(2)答案(dáàn)：T

G1=2G221第二十六頁，共101頁。?#?

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主要計算實心(shíxīn)圓截面和空心圓截面。如圖有8.2.2極慣性矩和抗扭截面(jiémiàn)系數(shù)Ip和Wp對于實心圓截面

第二十七頁，共101頁。?#?

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對于空心圓截面（外徑(wàijìnɡ)D，內(nèi)徑d）式中：a=d/D第二十八頁，共101頁。?#?

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千萬不要出錯！應(yīng)當(dāng)(yīngdāng)注意：第二十九頁，共101頁。?#?

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8.2.3扭轉(zhuǎn)(niǔzhuǎn)角第三十頁，共101頁。?#?

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若l范圍(fànwéi)內(nèi)，T是常量，GIp也為常量，則上式為GIp越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為(chēnɡwéi)抗扭剛度。比較：第三十一頁，共101頁。?#?

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一水輪機的功率為P=7350kW，其豎軸是直徑為d=650mm，而長度為l=6000mm的等截面(jiémiàn)實心鋼軸，材料的剪切彈性模量為G×105MPa。求當(dāng)水輪機以轉(zhuǎn)速n=57.7r/min勻速旋轉(zhuǎn)時，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角f。例題(lìtí)8-1第三十二頁，共101頁。?#?

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解：軸傳遞(chuándì)功率P(kW)，相當(dāng)于每分鐘傳遞(chuándì)功W=1000×P×60(N·m)(1)令(1)、(2)相等(xiāngděng)，得外力偶作功

(2)

即例題8-1第三十三頁，共101頁。?#?

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因此(yīncǐ)作用在軸上的外力偶矩M為極慣性矩例題(lìtí)8-1第三十四頁，共101頁。?#?

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圖示傳動軸系鋼制實心(shíxīn)圓截面軸。已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m截面A與截面B、C之間的距離分別為lAB=300mm和lAC=500mm。軸的直徑d=70mm,鋼的剪切彈性模量(tánxìnɡm(xù)óliànɡ)G=8×104MPa。試求截面C對B的扭轉(zhuǎn)角例題8-2M3M1

dABCM2第三十五頁，共101頁。?#?

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解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ兩段內(nèi)扭矩分別為TⅠ=955N·m,TⅡ=637N·m。先分別計算(jìsuàn)B，C截面對A之扭轉(zhuǎn)角fAB，fAC,則可以假想此時A不動。例題(lìtí)8-2M3M1

dABCM2第三十六頁，共101頁。?#?

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由于假想截面A固定不動，故截面B、C相對于截面A的相對轉(zhuǎn)動應(yīng)分別(fēnbié)與扭轉(zhuǎn)力偶矩M2、M3的轉(zhuǎn)向相同，從而fAB和fAC的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面C對B的扭轉(zhuǎn)角fBC應(yīng)是：上兩式中的Ip可以利用例題(lìtí)8-2M3M1

dABCM2其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩M3相同。第三十七頁，共101頁。?#?

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直徑(zhíjìng)50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩T=1.5kN·m，求橫截面上的最大切應(yīng)力。思考題8-4第三十八頁，共101頁。?#?

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思考題8-5實心圓軸的直徑d=100mm，長l=1m，作用在兩個端面上的外力偶(lìǒu)之矩均為Me=14kN·m，轉(zhuǎn)向相反。材料的切變模量G=8×104MPa。求：(1)橫截面上的切應(yīng)力，以及兩個端面(duānmiàn)的相對扭轉(zhuǎn)角。(2)圖示橫截面上ABC三點處切應(yīng)力的大小及方向。第三十九頁，共101頁。?#?

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(1)tmax=71.3MPa

f=0.01784rad(2)tA=tB=tmax=71.3MPa

tC=35.7MPa思考題8-5答案(dáàn)：第四十頁，共101頁。?#?

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下圖所示的扭轉(zhuǎn)超靜定問題，若假想地解除B端的約束，而利用B截面的扭轉(zhuǎn)角為零作為位移條件(tiáojiàn)求解,試列出其求解過程。AablCBM思考題8-6第四十一頁，共101頁。?#?

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AMBMB思考題8-6答案(dáàn)：先考慮(kǎolǜ)M作用，則只考慮MB的作用，則第四十二頁，共101頁。?#?

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相容(xiānɡrónɡ)條件：則MA=Mb/l上述結(jié)果(jiēguǒ)可與書例題8-3進行比較。得AMBMB第四十三頁，共101頁。?#?

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8.2.4斜截面(jiémiàn)上的應(yīng)力通過扭轉(zhuǎn)實驗發(fā)現(xiàn)(fāxiàn)：(1)低碳鋼試件系橫截面剪斷；(2)鑄鐵試件則沿著與軸線成45o的螺旋線剪斷；(3)木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。研究類似鑄鐵試件破壞原因考慮斜截面上的應(yīng)力。第四十四頁，共101頁。?#?

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方法：扭桿假想(jiǎxiǎng)切開斜截面扭桿，應(yīng)力分布(fēnbù)不均勻，不能切開斜截面圍繞需研究的點上切一個單元體第四十五頁，共101頁。?#?

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(1)左、右橫截面(jiémiàn)(2)頂、底面，徑向截面(jiémiàn)(3)前、后面，切向截面(jiémiàn)xxadcb第四十六頁，共101頁。?#?

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思考題8-7如圖所示為從受扭實心(shíxīn)圓截面桿中，以徑向截面ABEF取出的分離體（半個圓柱體）。試繪出（1）橫截面AGB上應(yīng)力(yìnglì)沿直徑AB的分布；（2）徑截面ABEF上應(yīng)力分別沿直徑AB、CD、EF的分布。ECFDBAGMeMe第四十七頁，共101頁。?#?

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思考題8-7答案(dáàn):ECFDBAGMeMe第四十八頁，共101頁。?#?

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現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體,它處于(chǔyú)純剪切應(yīng)力狀態(tài),現(xiàn)改其為平面圖表示：yabcdenx第四十九頁，共101頁。?#?

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yabcdenx(a)研究垂直于前后(qiánhòu)兩個面的任意斜截面de上的應(yīng)力,如圖(a)、(b)。de斜面作用著未知的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta。detnxc(b)設(shè)de的面積(miànjī)為dA，則第五十頁，共101頁。?#?

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detnxc簡化后：同理得：第五十一頁，共101頁。?#?

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detnxc當(dāng)a＝0o與a＝90o時：ta有最大值，即為ta=±45o的情況(qíngkuàng)下：sa有極值，即為t。a=+45o，sa=smin=-ta=-45o，sa=smax=+tabcd第五十二頁，共101頁。?#?

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由此看來，鑄鐵圓桿的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實質(zhì)上是沿45o方向拉伸引起的斷裂。也因此，在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下直接引起斷裂的最大拉應(yīng)力smax總是等于橫截面上相應(yīng)的切應(yīng)力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強度的計算中也就以橫截面上的t作為依據(jù)(yījù)。如下圖所示。MM斷裂線smin第五十三頁，共101頁。?#?

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1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力(yìnglì)和變形。小結(jié)(xiǎojié)：2.圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。(1)橫截面上的應(yīng)力——材料的剪切胡克定律——Ｅ、Ｇ、n三者之間的關(guān)系第五十四頁，共101頁。?#?

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(a)幾何(jǐhé)方面(b)物理(wùlǐ)方面(c)靜力學(xué)方面代入Ip得第五十五頁，共101頁。?#?

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(d)極慣性矩和抗扭截面(jiémiàn)模量實心(shíxīn)圓截面空心圓截面第五十六頁，共101頁。?#?

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扭轉(zhuǎn)(niǔzhuǎn)角斜截面(jiémiàn)上的應(yīng)力第五十七頁，共101頁。?#?

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思考題8-8直徑d=25mm的鋼圓桿，受軸向拉力60kN作用(zuòyòng)時，在標(biāo)距為200mm的長度內(nèi)伸長了0.113mm；當(dāng)它受一對矩為0.2kN·m的外力偶作用(zuòyòng)而扭轉(zhuǎn)時，相距200mm的兩個橫截面相對轉(zhuǎn)動了的角度。試求此圓桿所用鋼材的彈性常數(shù)E、G和n。第五十八頁，共101頁。?#?

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思考題8-8答案(dáàn)第五十九頁，共101頁。?#?

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實心或空心圓截面(jiémiàn)桿受扭時,桿內(nèi)所有的點均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài),而整個桿的危險點在橫截面(jiémiàn)的邊緣處?！?-3強度條件(tiáojiàn)及剛度條件(tiáojiàn)1.強度條件受扭圓桿的強度條件：

對于等截面桿：危險點必在Tmax

所在截面邊緣處,即由以上兩式得到第六十頁，共101頁。?#?

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轉(zhuǎn)

根據(jù)上述公式，可對空心(kōngxīn)或?qū)嵭膱A截面受扭桿件進行(1)校核(xiàohé)強度(2)選擇截面尺寸(3)計算容許荷載2.剛度條件

滿足了強度條件，但若變形過大，必將對正常工作產(chǎn)生影響。剛度條件通常是以扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率q(=df/dx),其最大值qmax不超過某一規(guī)定的容許值[q]來表達，即第六十一頁，共101頁。?#?

工程力學(xué)教程電子(diànzǐ)教案第8章

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式中[q]為單位長度桿的容許(róngxǔ)扭轉(zhuǎn)角，單位(/m)來計算(jìsuàn)?；癁榻嵌让棵讋t為對于等直的圓桿，其qmax按式：式中，Tmax—N·m，G—Pa，Ip—m4第六十二頁，共101頁。?#?

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容許扭轉(zhuǎn)角[q]，對于(duìyú)精密儀器的軸，常常取～0.30/m。至于一般的軸則取2/m。書例[8-4]校核強度和剛度書例[8-5]選擇截面尺寸

書例[8-6]

建立強度條件第六十三頁，共101頁。?#?

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階梯形圓柱直徑分別為d1=4cm,d2=7cm,軸上裝有3個皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為P3=30kW,輪1輸出的功率為P1=13kW,軸作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速n=200轉(zhuǎn)/分,材料的剪切許用應(yīng)力[t]=60MPa,G=80109Pa,許用扭轉(zhuǎn)角[q]=2o/m。試校核(xiàohé)軸的強度和剛度。0.5m0.3m1mACDB123d1d2例題(lìtí)8-7第六十四頁，共101頁。?#?

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解:計算(jìsuàn)扭矩的絕對值：強度(qiángdù)校核：例題8-70.5m0.3m1mACDB123d1d2第六十五頁，共101頁。?#?

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故強度(qiángdù)滿足。剛度(ɡānɡdù)校核：AC段：例題8-70.5m0.3m1mACDB123d1d2第六十六頁，共101頁。?#?

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故剛度(ɡānɡdù)滿足。DB段：例題(lìtí)8-70.5m0.3m1mACDB123d1d2第六十七頁，共101頁。?#?

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實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100轉(zhuǎn)/分，傳輸(chuánshū)功率P=7.5kW,材料的容許切應(yīng)力[t]=40MPa,試選擇實心軸直徑d1和內(nèi)外徑比值為的空心軸的外徑。例題(lìtí)8-8第六十八頁，共101頁。?#?

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解:計算(jìsuàn)扭矩：計算(jìsuàn)實心軸直徑,由強度條件例題8-8第六十九頁，共101頁。?#?

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計算空心軸直徑(zhíjìng),由強度條件:例題(lìtí)8-8第七十頁，共101頁。?#?

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如同(rútóng)拉伸和壓縮時一樣，桿件在受扭時桿內(nèi)也積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，f與Me成線性關(guān)系?！?-4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)(niǔzhuǎn)時的應(yīng)變能MeMe第七十一頁，共101頁。?#?

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MeMe又

則或第七十二頁，共101頁。?#?

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對于(duìyú)桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。例如(lìrú)：從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：第七十三頁，共101頁。?#?

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整個桿內(nèi)積蓄(jīxù)的應(yīng)變能為：右段桿內(nèi)：第七十四頁，共101頁。?#?

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思考題8-9(1)求圖示同一(tóngyī)桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)第七十五頁，共101頁。?#?

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(2)桿在第三種受力情況(qíngkuàng)下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況(qíngkuàng)下的疊加？應(yīng)變能呢？l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)第七十六頁，共101頁。?#?

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思考題8-9答案(dáàn)：(1)l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6m0.4mMe2=10kN·m(b)第七十七頁，共101頁。?#?

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(2)0.6m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)第七十八頁，共101頁。?#?

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思考題8-10求下列(xiàliè)各圖桿的應(yīng)變能。Fp=F/ll(a)(b)CBCBAAlM(c)dABlt(d)dAB第七十九頁，共101頁。?#?

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思考題8-10答案(dáàn)：Fl(a)CBAp=F/llCBAxdxFN(x)px(b)(b)取微段分析(fēnxī)(a)第八十頁，共101頁。?#?

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思考題8-10答案(dáàn)：lM(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中(d)取微段分析第八十一頁，共101頁。?#?

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ltdABdxtxT(x)(d)思考題8-10答案(dáàn)：第八十二頁，共101頁。?#?

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思考題8-11有一壁厚25mm、內(nèi)直徑為250mm的空心圓管,其長度為1m；作用在兩個端面上的反向外力偶之矩均為180kN·m。試確定管壁中的最大切應(yīng)力(yìnglì)，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。已知材料的切變彈性模量G=8×104MPa。第八十三頁，共101頁。?#?

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D=250+2×25=300mmMe=T=180kN·m思考題8-11參考答案第八十四頁，共101頁。?#?

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圖示AC桿為等截面圓軸，在B截面處受外扭矩M=7kN·m作用。該圓軸A端固定(gùdìng)，C端在上、下兩點處分別與直徑均為d2的兩圓桿相連。已知圓軸和圓桿的材料相同，且材料的兩個彈性常數(shù)E與G之間有如下關(guān)系：GE。試求圓軸AC中的最大切應(yīng)力。思考題8-122m2md1=0.6mM=7kN.m1m1md2ABC第八十五頁，共101頁。?#?

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則協(xié)調(diào)(xiétiáo)關(guān)系為：思考題8-12參考答案:Dl=FNl/EA(1)TC=FN·d1(2)(3)(4)第八十六頁，共101頁。?#?

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由(1)、(4)式得FN=64.1N則TC=38.46N·mAC中的最大切應(yīng)力(yìnglì)在AB段內(nèi)的橫截面上思考題8-12參考答案:2m2md1=0.6mM=7kN.m1m1md2ABC第八十七頁，共101頁。?#?

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§8-5矩形截面(jiémiàn)桿的扭轉(zhuǎn)1.幾個(jǐɡè)概念

非圓截面桿受扭時,橫截面會發(fā)生翹曲。因此其變形、應(yīng)力不能用由平面假設(shè)所得的圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形的計算公式。(1)約束扭轉(zhuǎn)

非圓截面桿受扭時,既然橫截面要發(fā)生翹曲,因此，如果翹曲受到牽制,例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。第八十八頁，共101頁。?#?

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(2)自由(zìyóu)扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲不受牽制(qiānzhì)的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。

要使非圓截面桿受扭時橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，那么桿件必須是等截面的，而且只在兩端受外力偶作用，同時端面還能自由翹曲。本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。第八十九頁，共101頁。?#?

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2.矩形(jǔxíng)截面桿的扭轉(zhuǎn)主要對矩形截面(jiémiàn)桿進行強度和剛度計算。根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時橫截面上最大的切應(yīng)力在長邊的中點，其計算式為單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角：其中：WT——抗扭截面系數(shù)IT——相當(dāng)極慣性矩GIT——桿的抗扭剛度第九十頁，共101頁。?#?

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IT和WT除了在量綱上與圓截面的Ip和Wp相同外，在幾何意義(yìyì)上則是不同的。其中a和b由教材(jiàocái)表8-1查得，此系數(shù)隨m=h/b的比值而變。其中h為長邊尺寸，b為短邊尺寸。矩形截面：則強度條件剛度條件第九十一頁，共101頁。?#?

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由彈性力學(xué)(lìxué)分析結(jié)果表明：橫截面上