1.3

X射線衍射晶體學(xué)基礎(chǔ)

一、晶體結(jié)構(gòu)及其表示法

晶體是由原子在三維空間中規(guī)則排列而成的。

晶體的基本性質(zhì)：（1）自范性：在適當(dāng)條件下晶體具有自發(fā)地形成封閉的幾何多面體外形的性質(zhì)；（2）均一性：同一晶體的各部分性質(zhì)相同；（3）異向性：同一晶體在不同方向上所測(cè)得的性質(zhì)表現(xiàn)出差異的特性；（4）對(duì)稱性：晶體中的相同晶面，晶棱和頂角以及晶體的物化性質(zhì)能夠在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)；（5）穩(wěn)定性：化學(xué)成分相同，但處于不同形態(tài)的物體（晶體、非晶體、氣體、液體），晶體是最穩(wěn)定的。晶體與非晶體的區(qū)別：晶體是周期性延展到整個(gè)晶體，長(zhǎng)程有序、短程有序；非晶體只有近程配位，長(zhǎng)程無序、短程有序。（一）14種布拉菲點(diǎn)陣1.3X射線衍射晶體學(xué)基礎(chǔ)

一、晶體結(jié)構(gòu)及其表示法晶1原子堆砌的模型復(fù)雜而煩瑣。研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，一般只抽象出其重復(fù)排列規(guī)律。這種抽象的圖形，稱為空間點(diǎn)陣。

空間點(diǎn)陣是代表晶體中原子、原子團(tuán)或分子分布規(guī)律（周期性）的幾何點(diǎn)的集合。其中的幾何點(diǎn)一般叫做結(jié)點(diǎn)（或陣點(diǎn)）。每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的環(huán)境都是相同的，即結(jié)點(diǎn)都是等同點(diǎn)。

空間點(diǎn)陣?yán)眠@些周期性排列的結(jié)點(diǎn)描述了晶體中原子的排布規(guī)律。用假想的直線將這些結(jié)點(diǎn)連接起來，所構(gòu)成的幾何框架稱為晶格。每個(gè)晶格的三條棱和三個(gè)夾角叫做晶格的晶格（點(diǎn)陣）常數(shù)，并以此刻畫晶胞（從而是晶格）的大小和形狀特點(diǎn)。如下圖1所示晶格的最小重復(fù)單元（平行六面體）稱為晶胞。第一章(13)晶體學(xué)基礎(chǔ)《現(xiàn)代分析測(cè)試方法》課件2選擇的依據(jù)：（1）最能反映出點(diǎn)陣對(duì)稱特性；（2）基本矢量長(zhǎng)度a、b、c相等的數(shù)目最多，三個(gè)方向的夾角α、β、γ應(yīng)盡可能為直角；（3）單胞體積盡可能小。

根據(jù)這些條件選擇出來的晶胞，其幾何關(guān)系、計(jì)算公式最簡(jiǎn)單，稱為布拉菲晶胞。圖1晶格常數(shù)點(diǎn)陣是由晶體的結(jié)構(gòu)基元抽象出來的，可以由下式來說明點(diǎn)陣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系：晶體結(jié)構(gòu)＝空間點(diǎn)陣＋結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元可以是原子、分子或其集團(tuán)。同一點(diǎn)陣，單位晶胞的選擇有多種可能性，只有一種是最理想的。圖1晶格常數(shù)點(diǎn)陣是由晶體的結(jié)構(gòu)基元抽象出來的，可以由下式來3根據(jù)以上選擇依據(jù)，可將自然界的晶體劃分為七個(gè)晶系（立方、六方、三方、四方、正交、單斜、三斜）。每個(gè)晶系最多可包括四種點(diǎn)陣。（1）只在晶胞角上有結(jié)點(diǎn)，為簡(jiǎn)單點(diǎn)陣（P）

。（2）晶胞面上或體中有結(jié)點(diǎn)，稱為復(fù)雜點(diǎn)陣。它包括底心點(diǎn)陣（C）

、面心點(diǎn)陣（F）和體心點(diǎn)陣（I）

。實(shí)際上，任何一種復(fù)雜點(diǎn)陣都可以用簡(jiǎn)單點(diǎn)陣來代替。例如，一個(gè)面心點(diǎn)陣可以用一個(gè)初基菱形點(diǎn)陣代替(見圖2(a))，而一個(gè)體心點(diǎn)陣可以用一個(gè)初基單斜點(diǎn)陣代替(圖2(b))。盡管如此，實(shí)際上，為了顯示對(duì)稱性，通常還是選用體心點(diǎn)陣、面心點(diǎn)陣更為方便一些。

根據(jù)以上選擇依據(jù)，可將自然界的晶體劃分為七個(gè)晶系（立方、六方4圖2圖25陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單點(diǎn)陣P◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，P一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣共有共有8個(gè)頂角陣點(diǎn)。但是每一個(gè)頂角陣點(diǎn)為相鄰的8個(gè)點(diǎn)陣胞所共有。因此每一頂角陣點(diǎn)的1／8才屬于這個(gè)點(diǎn)陣胞所有。最后可以計(jì)算出，每一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣只含有1個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)(8×(1／8)頂角陣點(diǎn))，陣點(diǎn)坐標(biāo)為000。把完全屬于一個(gè)點(diǎn)陣胞的陣點(diǎn)稱為基點(diǎn)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單點(diǎn)陣P◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，P把完全屬于一個(gè)點(diǎn)陣胞的6◆底心點(diǎn)陣，C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對(duì)的面心上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有2個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/21/20底心點(diǎn)陣C◆底心點(diǎn)陣，C底心點(diǎn)陣C7◆體心點(diǎn)陣，I除八個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣點(diǎn)，因此，每個(gè)陣胞含有2個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)，000，1/21/21/2體心點(diǎn)陣I◆體心點(diǎn)陣，I體心點(diǎn)陣I8◆面心點(diǎn)陣，F(xiàn)除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為000，1/21/20，1/201/2，01/21/2面心點(diǎn)陣F◆面心點(diǎn)陣，F(xiàn)面心點(diǎn)陣F9將7種晶系與四種陣胞組合起來，應(yīng)當(dāng)有28種組合。但是，由法國(guó)晶體學(xué)家布拉菲研究證明，它們中間只有14種組合是獨(dú)立存在的，這就是所謂的14種布拉菲點(diǎn)陣。將7種晶系與四種陣胞組合起來，應(yīng)當(dāng)有28種組合。但是，由法10(二)晶體學(xué)指數(shù)按照晶體點(diǎn)陣對(duì)稱性確定相應(yīng)的坐標(biāo)后，就可以求出晶體點(diǎn)陣中的點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程和平面方程。但在晶體學(xué)中通常不是用方程式來表示直線和平面，而是用與它們的方程式有關(guān)的三個(gè)按坐標(biāo)軸順序排列的數(shù)來表示。1．結(jié)點(diǎn)為了表示點(diǎn)陣的幾何關(guān)系，一般選擇布拉菲晶胞的基本矢量作為坐標(biāo)系統(tǒng)，任一結(jié)點(diǎn)的方向矢量可以由下式確定：

（1-23）式中a、b、c——晶胞基本矢量；m、n、p——結(jié)點(diǎn)指數(shù)。記為mnp，

則ma、nb、pc為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。(二)晶體學(xué)指數(shù)按照晶體點(diǎn)陣對(duì)稱性確定相應(yīng)的坐標(biāo)后，就可以11在點(diǎn)陣中的任意一條直線必定至少要通過二個(gè)陣點(diǎn)。如果指定此直線的方向是從第一個(gè)陣點(diǎn)指向第二個(gè)陣點(diǎn)，則此直線稱為點(diǎn)陣方向。通常是采用點(diǎn)陣晶向指數(shù)來表示和說明一個(gè)點(diǎn)陣方向。點(diǎn)陣晶向指數(shù)的求法有二：(1)通過坐標(biāo)原點(diǎn)，平行待定的點(diǎn)陣方向，并按其方向畫一條直線。在此直線上找出任一陣點(diǎn)坐標(biāo)，把它化成最小整數(shù)比，并加上方括號(hào)得[uvw]。[uvw]即所求的方向指數(shù)。當(dāng)其中有負(fù)值時(shí)，則在該指數(shù)數(shù)字上加一短橫表示。(2)方向指數(shù)[uvw]等于第二個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)減去第一個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)，即u＝u2-u1，v＝v2-v1，w＝w2-w1，在加方括號(hào)之前，應(yīng)把u、v、w化成最小整數(shù)比。2.晶向指數(shù)[uvw]

在點(diǎn)陣中的任意一條直線必定至少要通過二個(gè)陣點(diǎn)。如果指定此直線12右圖給出了立方點(diǎn)陣中幾個(gè)點(diǎn)陣方向示意圖。

由于晶體具有對(duì)稱性，則點(diǎn)陣方向之間也有對(duì)稱關(guān)系。由對(duì)稱性互相聯(lián)系的，并在此方向線上陣點(diǎn)分布完全相同的所有點(diǎn)陣方向叫做方向族。表示這一族方向時(shí)，在其中的某一方向指數(shù)外邊加上一個(gè)尖括號(hào)。例如，立方點(diǎn)陣的四個(gè)對(duì)角線，就可以用一個(gè)＜111＞來表示。點(diǎn)陣方向示意圖右圖給出了立方點(diǎn)陣中幾個(gè)點(diǎn)陣方向示意圖。點(diǎn)陣方向示意圖13由點(diǎn)陣中任意三個(gè)陣點(diǎn)(不包括原點(diǎn))可以構(gòu)成一個(gè)平面，稱為點(diǎn)陣平面(簡(jiǎn)稱點(diǎn)陣面)。常用所謂的密勒(晶面)指數(shù)來表示點(diǎn)陣面和它在點(diǎn)陣中的位置、取向等。點(diǎn)陣面密勒指數(shù)的求法是：將待求點(diǎn)陣面擴(kuò)大，使其與坐標(biāo)軸相交，量出此面的三個(gè)截距(以a、b、c為測(cè)距單位)，再取截距的倒數(shù)，并

化為最小整數(shù)比，用圓括號(hào)

括起(hkl)，即為所求的密勒指數(shù)。指數(shù)中有負(fù)值時(shí)，則在其數(shù)字上加一短橫來表示。3.晶面指數(shù)(hkl)由點(diǎn)陣中任意三個(gè)陣點(diǎn)(不包括原點(diǎn))可以構(gòu)成一個(gè)平面，稱為點(diǎn)陣14任何點(diǎn)陣中的任一點(diǎn)陣面，都有一組等距離分布的點(diǎn)陣面和它平行，并且其中之一將通過原點(diǎn)。根據(jù)密勒指數(shù)的定義可以看出，(hkl)所指的點(diǎn)陣面應(yīng)是這一組平行并等間距分布的點(diǎn)陣面中距原點(diǎn)最近的那個(gè)面。但是，密勒指數(shù)(hkl)實(shí)際上是代表了這一組平行的面。在任何晶系中，均可能有若干組依據(jù)對(duì)稱性相聯(lián)系的且有相同陣點(diǎn)分布規(guī)律的點(diǎn)陣面，稱為共族面，又稱晶面族。表示這些面族時(shí)，用大括號(hào)括起其中任一指數(shù)，如寫成例如，在立方晶系中，(100)、(010)、(001)、均屬于{100}面族。任何點(diǎn)陣中的任一點(diǎn)陣面，都有一組等距離分布的點(diǎn)陣面和它平行，15晶面間距是指兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常用dhkl或d來表示。如圖1—15所示，使坐標(biāo)原點(diǎn)O過面族(hkl)某一晶面，與之相鄰的晶面將交三坐標(biāo)軸于A、B、C。過原點(diǎn)作此面的法線ON，其長(zhǎng)度即為晶面間距d。

ON與x軸的夾角為α，與y軸及z軸的夾角分別為β和γ。從圖中可以看出：若x軸上單位矢量長(zhǎng)度為a，則截距OA可表示為ma，即：

(三)

簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的晶面間距圖1-15計(jì)算晶面間距晶面間距是指兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常(三)簡(jiǎn)單16同樣，若y軸、z軸上單位矢量長(zhǎng)度分別為b和c，則有:以上表達(dá)式中的m、n、p為晶面在三個(gè)軸上的分?jǐn)?shù)截距(用單位矢量長(zhǎng)度量度)，它們與h、k、l具有倒數(shù)關(guān)系，故：若晶體的三個(gè)基矢互相垂直，則有關(guān)系式亦即：所以：（1-24）這就是正交晶系（a≠b≠c，α=β=γ=90°）的晶面間距公式。同樣，若y軸、z軸上單位矢量長(zhǎng)度分別為b和c，則有:17對(duì)于四方晶系，因a=b≠c，α=β=γ=90°，所以：

（1-25）

對(duì)于立方晶系，因a=b=c，α=β=γ=90°，所以：

（1-26）同理，六方晶系a=b≠c，α=β=90°，γ=120°的晶面間距公式為：

（1-27）其他晶系晶面間距公式見附錄14。對(duì)于四方晶系，因a=b≠c，α=β=γ=90°，所以：18二、倒易點(diǎn)陣隨著晶體學(xué)的發(fā)展，為了更清楚地說明晶體衍射現(xiàn)象和晶體物理學(xué)方面的某些問題，厄瓦爾德（P.P.Ewald）在1920年首先引入了倒易點(diǎn)陣的概念。倒易點(diǎn)陣是一種虛點(diǎn)陣，它是由晶體點(diǎn)陣按一定規(guī)則變換而來。倒易點(diǎn)陣的概念對(duì)于解釋X射線和電子衍射問題極為有用，并能簡(jiǎn)化晶體學(xué)中一些重要參數(shù)的計(jì)算。若以a、b、c表示晶體點(diǎn)陣的基矢，則與之對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣基矢a*、b*、c*滿足以下規(guī)定的條件：（1-29）二、倒易點(diǎn)陣隨著晶體學(xué)的發(fā)展，為了更清楚地說明晶體衍射現(xiàn)象19（一）倒易點(diǎn)陣定義寫成矩陣形式為：則以初基矢量a*、b*、c*所繪出的點(diǎn)陣，就被稱為是以a、b、c為初基矢量繪出的真實(shí)點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。根據(jù)倒易點(diǎn)陣基矢a*、b*和c*作出倒易陣胞后，將倒易陣胞在空間平移便可繪出倒易空間點(diǎn)陣。倒易空間中的陣點(diǎn)稱為倒易結(jié)點(diǎn)。從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)到任一倒易結(jié)點(diǎn)的矢量稱倒易矢量，用符號(hào)r*表示。其中h、k、l為整數(shù)（一）倒易點(diǎn)陣定義寫成矩陣形式為：20倒易點(diǎn)陣與真實(shí)點(diǎn)陣一樣，也是許多點(diǎn)在三維空間中有規(guī)律地、周期地排列而成的。它的許多定義，如倒易點(diǎn)、倒易點(diǎn)陣方向(簡(jiǎn)稱倒易矢量)、倒易點(diǎn)陣面(簡(jiǎn)稱倒易面)、倒易點(diǎn)陣胞等，都與點(diǎn)陣中的定義相同，只須將點(diǎn)陣字樣換成倒易點(diǎn)陣字樣。根據(jù)式（1-29）可以計(jì)算出倒易初基矢量a*、b*、c*的方向和大小(為了與真實(shí)點(diǎn)陣中的符號(hào)相區(qū)別，凡是倒易點(diǎn)陣中的符號(hào)都加上*號(hào))。真實(shí)點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣與真實(shí)點(diǎn)陣一樣，也是許多點(diǎn)在三維空間中有規(guī)律地、周期21通過矢量運(yùn)算證明：正點(diǎn)陣的原胞體積和倒易點(diǎn)陣的原胞體積具有互為倒數(shù)的關(guān)系：（1-30）式中V

為真實(shí)晶胞體積，展開后得：

Va*、b*、c*可由下式子決定：

通過矢量運(yùn)算證明：正點(diǎn)陣的原胞體積和倒易點(diǎn)陣的原胞體積具有互22以倒易點(diǎn)陣的定義經(jīng)運(yùn)算后可得出倒易點(diǎn)陣晶胞參數(shù)a*、b*、c*、α*、β*、γ*和正點(diǎn)陣晶胞參數(shù)a、b、c、α、β、γ之間的關(guān)系：

（1-31）

（1-32）以倒易點(diǎn)陣的定義經(jīng)運(yùn)算后可得出倒易點(diǎn)陣晶胞參數(shù)a*、b*、c23晶體點(diǎn)陣中的晶面與倒易點(diǎn)陣中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的關(guān)系（二）倒易點(diǎn)陣矢量的重要性質(zhì)晶體正點(diǎn)陣基矢與倒易點(diǎn)陣基矢的關(guān)系晶體點(diǎn)陣中的晶面與倒易點(diǎn)陣中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的關(guān)系（二）倒易點(diǎn)陣矢量24在X射線衍射學(xué)中常用到倒易矢量概念，這是因?yàn)樗哂幸韵轮匾男再|(zhì)：1.倒易矢量r*和相應(yīng)正點(diǎn)陣中同指數(shù)晶面（hkl）相互垂直；2.r*的長(zhǎng)度等于該晶面族的面間距的倒數(shù)。

(1-33)

正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣的幾何對(duì)應(yīng)關(guān)系在X射線衍射學(xué)中常用到倒易矢量概念，這是因?yàn)樗哂幸韵轮匾?5圖1-17基本性質(zhì)證明：ABC為（hkl）晶面組中最靠近原點(diǎn)的晶面，它在坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，據(jù)矢量運(yùn)算法則，有:由此得：這說明r*垂直于，同理可得：即r*也垂直于，由于r*同時(shí)垂直于和，所以r*必定垂直于所在的（hkl）晶面，即：圖1-17基本性質(zhì)證明：ABC為（hkl）晶面組中最靠近原點(diǎn)26在圖1-17中，用n代表r*方向的單位矢量，n=r*/│r*│。為（hkl）晶面的面間距。由于為在r*上的投影，所以：即：從上可知，倒易點(diǎn)陣中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)代表了正點(diǎn)陣中一個(gè)同指數(shù)的晶面，該倒易點(diǎn)在倒易點(diǎn)陣中的坐標(biāo)即為hkl。倒易矢量r*的方向可以表征正點(diǎn)陣（hkl）晶面的法線方向，而r*的長(zhǎng)度就是（hkl）晶面間距的倒數(shù)。在圖1-17中，用n代表r*方向的單位矢量，n=r*/│r27晶面倒易結(jié)點(diǎn)圖1-18示意表明晶體中的晶面與其倒易點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)的關(guān)系。因?yàn)?200)晶面間距d200是d100的一半，故(200)相應(yīng)的倒易矢量長(zhǎng)度亦較(100)的大一倍。(100)(200)晶面28圖1-19a=0.4nm立方系晶面及其倒易點(diǎn)陣的關(guān)系可以看出，r*

矢量長(zhǎng)度等于其對(duì)應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，且其方向與晶面相垂直。因(220)與（110)平行，故r*

220亦平行于r*110

，但長(zhǎng)度不等。圖1-19a=0.4nm立方系晶面及其倒易點(diǎn)陣的關(guān)系可29總結(jié)關(guān)于倒易點(diǎn)陣1.要掌握倒易點(diǎn)陣的定義2.要掌握倒易矢量的性質(zhì)總結(jié)關(guān)于倒易點(diǎn)陣301.3

X射線衍射晶體學(xué)基礎(chǔ)

一、晶體結(jié)構(gòu)及其表示法

晶體是由原子在三維空間中規(guī)則排列而成的。

晶體的基本性質(zhì)：（1）自范性：在適當(dāng)條件下晶體具有自發(fā)地形成封閉的幾何多面體外形的性質(zhì)；（2）均一性：同一晶體的各部分性質(zhì)相同；（3）異向性：同一晶體在不同方向上所測(cè)得的性質(zhì)表現(xiàn)出差異的特性；（4）對(duì)稱性：晶體中的相同晶面，晶棱和頂角以及晶體的物化性質(zhì)能夠在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)；（5）穩(wěn)定性：化學(xué)成分相同，但處于不同形態(tài)的物體（晶體、非晶體、氣體、液體），晶體是最穩(wěn)定的。晶體與非晶體的區(qū)別：晶體是周期性延展到整個(gè)晶體，長(zhǎng)程有序、短程有序；非晶體只有近程配位，長(zhǎng)程無序、短程有序。（一）14種布拉菲點(diǎn)陣1.3X射線衍射晶體學(xué)基礎(chǔ)

一、晶體結(jié)構(gòu)及其表示法晶31原子堆砌的模型復(fù)雜而煩瑣。研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，一般只抽象出其重復(fù)排列規(guī)律。這種抽象的圖形，稱為空間點(diǎn)陣。

空間點(diǎn)陣是代表晶體中原子、原子團(tuán)或分子分布規(guī)律（周期性）的幾何點(diǎn)的集合。其中的幾何點(diǎn)一般叫做結(jié)點(diǎn)（或陣點(diǎn)）。每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的環(huán)境都是相同的，即結(jié)點(diǎn)都是等同點(diǎn)。

空間點(diǎn)陣?yán)眠@些周期性排列的結(jié)點(diǎn)描述了晶體中原子的排布規(guī)律。用假想的直線將這些結(jié)點(diǎn)連接起來，所構(gòu)成的幾何框架稱為晶格。每個(gè)晶格的三條棱和三個(gè)夾角叫做晶格的晶格（點(diǎn)陣）常數(shù)，并以此刻畫晶胞（從而是晶格）的大小和形狀特點(diǎn)。如下圖1所示晶格的最小重復(fù)單元（平行六面體）稱為晶胞。第一章(13)晶體學(xué)基礎(chǔ)《現(xiàn)代分析測(cè)試方法》課件32選擇的依據(jù)：（1）最能反映出點(diǎn)陣對(duì)稱特性；（2）基本矢量長(zhǎng)度a、b、c相等的數(shù)目最多，三個(gè)方向的夾角α、β、γ應(yīng)盡可能為直角；（3）單胞體積盡可能小。

根據(jù)這些條件選擇出來的晶胞，其幾何關(guān)系、計(jì)算公式最簡(jiǎn)單，稱為布拉菲晶胞。圖1晶格常數(shù)點(diǎn)陣是由晶體的結(jié)構(gòu)基元抽象出來的，可以由下式來說明點(diǎn)陣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系：晶體結(jié)構(gòu)＝空間點(diǎn)陣＋結(jié)構(gòu)基元結(jié)構(gòu)基元可以是原子、分子或其集團(tuán)。同一點(diǎn)陣，單位晶胞的選擇有多種可能性，只有一種是最理想的。圖1晶格常數(shù)點(diǎn)陣是由晶體的結(jié)構(gòu)基元抽象出來的，可以由下式來33根據(jù)以上選擇依據(jù)，可將自然界的晶體劃分為七個(gè)晶系（立方、六方、三方、四方、正交、單斜、三斜）。每個(gè)晶系最多可包括四種點(diǎn)陣。（1）只在晶胞角上有結(jié)點(diǎn)，為簡(jiǎn)單點(diǎn)陣（P）

。（2）晶胞面上或體中有結(jié)點(diǎn)，稱為復(fù)雜點(diǎn)陣。它包括底心點(diǎn)陣（C）

、面心點(diǎn)陣（F）和體心點(diǎn)陣（I）

。實(shí)際上，任何一種復(fù)雜點(diǎn)陣都可以用簡(jiǎn)單點(diǎn)陣來代替。例如，一個(gè)面心點(diǎn)陣可以用一個(gè)初基菱形點(diǎn)陣代替(見圖2(a))，而一個(gè)體心點(diǎn)陣可以用一個(gè)初基單斜點(diǎn)陣代替(圖2(b))。盡管如此，實(shí)際上，為了顯示對(duì)稱性，通常還是選用體心點(diǎn)陣、面心點(diǎn)陣更為方便一些。

根據(jù)以上選擇依據(jù)，可將自然界的晶體劃分為七個(gè)晶系（立方、六方34圖2圖235陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單點(diǎn)陣P◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，P一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣共有共有8個(gè)頂角陣點(diǎn)。但是每一個(gè)頂角陣點(diǎn)為相鄰的8個(gè)點(diǎn)陣胞所共有。因此每一頂角陣點(diǎn)的1／8才屬于這個(gè)點(diǎn)陣胞所有。最后可以計(jì)算出，每一個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣只含有1個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)(8×(1／8)頂角陣點(diǎn))，陣點(diǎn)坐標(biāo)為000。把完全屬于一個(gè)點(diǎn)陣胞的陣點(diǎn)稱為基點(diǎn)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單點(diǎn)陣P◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣，P把完全屬于一個(gè)點(diǎn)陣胞的36◆底心點(diǎn)陣，C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對(duì)的面心上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有2個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/21/20底心點(diǎn)陣C◆底心點(diǎn)陣，C底心點(diǎn)陣C37◆體心點(diǎn)陣，I除八個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣點(diǎn)，因此，每個(gè)陣胞含有2個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)，000，1/21/21/2體心點(diǎn)陣I◆體心點(diǎn)陣，I體心點(diǎn)陣I38◆面心點(diǎn)陣，F(xiàn)除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)基點(diǎn)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為000，1/21/20，1/201/2，01/21/2面心點(diǎn)陣F◆面心點(diǎn)陣，F(xiàn)面心點(diǎn)陣F39將7種晶系與四種陣胞組合起來，應(yīng)當(dāng)有28種組合。但是，由法國(guó)晶體學(xué)家布拉菲研究證明，它們中間只有14種組合是獨(dú)立存在的，這就是所謂的14種布拉菲點(diǎn)陣。將7種晶系與四種陣胞組合起來，應(yīng)當(dāng)有28種組合。但是，由法40(二)晶體學(xué)指數(shù)按照晶體點(diǎn)陣對(duì)稱性確定相應(yīng)的坐標(biāo)后，就可以求出晶體點(diǎn)陣中的點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程和平面方程。但在晶體學(xué)中通常不是用方程式來表示直線和平面，而是用與它們的方程式有關(guān)的三個(gè)按坐標(biāo)軸順序排列的數(shù)來表示。1．結(jié)點(diǎn)為了表示點(diǎn)陣的幾何關(guān)系，一般選擇布拉菲晶胞的基本矢量作為坐標(biāo)系統(tǒng)，任一結(jié)點(diǎn)的方向矢量可以由下式確定：

（1-23）式中a、b、c——晶胞基本矢量；m、n、p——結(jié)點(diǎn)指數(shù)。記為mnp，

則ma、nb、pc為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。(二)晶體學(xué)指數(shù)按照晶體點(diǎn)陣對(duì)稱性確定相應(yīng)的坐標(biāo)后，就可以41在點(diǎn)陣中的任意一條直線必定至少要通過二個(gè)陣點(diǎn)。如果指定此直線的方向是從第一個(gè)陣點(diǎn)指向第二個(gè)陣點(diǎn)，則此直線稱為點(diǎn)陣方向。通常是采用點(diǎn)陣晶向指數(shù)來表示和說明一個(gè)點(diǎn)陣方向。點(diǎn)陣晶向指數(shù)的求法有二：(1)通過坐標(biāo)原點(diǎn)，平行待定的點(diǎn)陣方向，并按其方向畫一條直線。在此直線上找出任一陣點(diǎn)坐標(biāo)，把它化成最小整數(shù)比，并加上方括號(hào)得[uvw]。[uvw]即所求的方向指數(shù)。當(dāng)其中有負(fù)值時(shí)，則在該指數(shù)數(shù)字上加一短橫表示。(2)方向指數(shù)[uvw]等于第二個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)減去第一個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)，即u＝u2-u1，v＝v2-v1，w＝w2-w1，在加方括號(hào)之前，應(yīng)把u、v、w化成最小整數(shù)比。2.晶向指數(shù)[uvw]

在點(diǎn)陣中的任意一條直線必定至少要通過二個(gè)陣點(diǎn)。如果指定此直線42右圖給出了立方點(diǎn)陣中幾個(gè)點(diǎn)陣方向示意圖。

由于晶體具有對(duì)稱性，則點(diǎn)陣方向之間也有對(duì)稱關(guān)系。由對(duì)稱性互相聯(lián)系的，并在此方向線上陣點(diǎn)分布完全相同的所有點(diǎn)陣方向叫做方向族。表示這一族方向時(shí)，在其中的某一方向指數(shù)外邊加上一個(gè)尖括號(hào)。例如，立方點(diǎn)陣的四個(gè)對(duì)角線，就可以用一個(gè)＜111＞來表示。點(diǎn)陣方向示意圖右圖給出了立方點(diǎn)陣中幾個(gè)點(diǎn)陣方向示意圖。點(diǎn)陣方向示意圖43由點(diǎn)陣中任意三個(gè)陣點(diǎn)(不包括原點(diǎn))可以構(gòu)成一個(gè)平面，稱為點(diǎn)陣平面(簡(jiǎn)稱點(diǎn)陣面)。常用所謂的密勒(晶面)指數(shù)來表示點(diǎn)陣面和它在點(diǎn)陣中的位置、取向等。點(diǎn)陣面密勒指數(shù)的求法是：將待求點(diǎn)陣面擴(kuò)大，使其與坐標(biāo)軸相交，量出此面的三個(gè)截距(以a、b、c為測(cè)距單位)，再取截距的倒數(shù)，并

化為最小整數(shù)比，用圓括號(hào)

括起(hkl)，即為所求的密勒指數(shù)。指數(shù)中有負(fù)值時(shí)，則在其數(shù)字上加一短橫來表示。3.晶面指數(shù)(hkl)由點(diǎn)陣中任意三個(gè)陣點(diǎn)(不包括原點(diǎn))可以構(gòu)成一個(gè)平面，稱為點(diǎn)陣44任何點(diǎn)陣中的任一點(diǎn)陣面，都有一組等距離分布的點(diǎn)陣面和它平行，并且其中之一將通過原點(diǎn)。根據(jù)密勒指數(shù)的定義可以看出，(hkl)所指的點(diǎn)陣面應(yīng)是這一組平行并等間距分布的點(diǎn)陣面中距原點(diǎn)最近的那個(gè)面。但是，密勒指數(shù)(hkl)實(shí)際上是代表了這一組平行的面。在任何晶系中，均可能有若干組依據(jù)對(duì)稱性相聯(lián)系的且有相同陣點(diǎn)分布規(guī)律的點(diǎn)陣面，稱為共族面，又稱晶面族。表示這些面族時(shí)，用大括號(hào)括起其中任一指數(shù)，如寫成例如，在立方晶系中，(100)、(010)、(001)、均屬于{100}面族。任何點(diǎn)陣中的任一點(diǎn)陣面，都有一組等距離分布的點(diǎn)陣面和它平行，45晶面間距是指兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常用dhkl或d來表示。如圖1—15所示，使坐標(biāo)原點(diǎn)O過面族(hkl)某一晶面，與之相鄰的晶面將交三坐標(biāo)軸于A、B、C。過原點(diǎn)作此面的法線ON，其長(zhǎng)度即為晶面間距d。

ON與x軸的夾角為α，與y軸及z軸的夾角分別為β和γ。從圖中可以看出：若x軸上單位矢量長(zhǎng)度為a，則截距OA可表示為ma，即：

(三)

簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的晶面間距圖1-15計(jì)算晶面間距晶面間距是指兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離，通常(三)簡(jiǎn)單46同樣，若y軸、z軸上單位矢量長(zhǎng)度分別為b和c，則有:以上表達(dá)式中的m、n、p為晶面在三個(gè)軸上的分?jǐn)?shù)截距(用單位矢量長(zhǎng)度量度)，它們與h、k、l具有倒數(shù)關(guān)系，故：若晶體的三個(gè)基矢互相垂直，則有關(guān)系式亦即：所以：（1-24）這就是正交晶系（a≠b≠c，α=β=γ=90°）的晶面間距公式。同樣，若y軸、z軸上單位矢量長(zhǎng)度分別為b和c，則有:47對(duì)于四方晶系，因a=b≠c，α=β=γ=90°，所以：

（1-25）

對(duì)于立方晶系，因a=b=c，α=β=γ=90°，所以：

（1-26）同理，六方晶系a=b≠c，α=β=90°，γ=120°的晶面間距公式為：

（1-27）其他晶系晶面間距公式見附錄14。對(duì)于四方晶系，因a=b≠c，α=β=γ=90°，所以：48二、倒易點(diǎn)陣隨著晶體學(xué)的發(fā)展，為了更清楚地說明晶體衍射現(xiàn)象和晶體物理學(xué)方面的某些問題，厄瓦爾德（P.P.Ewald）在1920年首先引入了倒易點(diǎn)陣的概念。倒易點(diǎn)陣是一種虛點(diǎn)陣，它是由晶體點(diǎn)陣按一定規(guī)則變換而來。倒易點(diǎn)陣的概念對(duì)于解釋X射線和電子衍射問題極為有用，并能簡(jiǎn)化晶體學(xué)中一些重要參數(shù)的計(jì)算。若以a、b、c表示晶體點(diǎn)陣的基矢，則與之對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣基矢a*、b*、c*滿足以下規(guī)定的條件：（1-29）二、倒易點(diǎn)陣隨著晶體學(xué)的發(fā)展，為了更清楚地說明晶體衍射現(xiàn)象49（一）倒易點(diǎn)陣定義寫成矩陣形式為：則以初基矢量a*、b*、c*所繪出的點(diǎn)陣，就被稱為是以a、b、c為初基矢量繪出的真實(shí)點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣。根據(jù)倒易點(diǎn)陣基矢a*、b*和c*作出倒易陣胞后，將倒易陣胞在空間平移便可繪出倒易空間點(diǎn)陣。倒易空間中的陣點(diǎn)稱為倒易結(jié)點(diǎn)。從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)到任一倒易結(jié)點(diǎn)的矢量稱倒易矢量，用符號(hào)r*表示。其中h、k、l為整數(shù)（一）倒易點(diǎn)陣定義寫成矩陣形式為：50倒易點(diǎn)陣與真實(shí)點(diǎn)陣一樣，也是許多點(diǎn)在三維空間中有規(guī)律地、周期地排列而成的。它的許多定義，如倒易點(diǎn)、倒易點(diǎn)陣方向(簡(jiǎn)稱倒易矢量)、倒易點(diǎn)陣面(簡(jiǎn)稱倒易面)、倒易點(diǎn)陣胞等，都與點(diǎn)陣中的定義相同，只須將點(diǎn)陣字樣換成倒易點(diǎn)陣字樣。根據(jù)式（1-29）可以計(jì)算出倒易初基矢量a*、b*、c*的方向和大小(為了與真實(shí)點(diǎn)陣中的符號(hào)相區(qū)別，凡是倒易點(diǎn)陣中的符號(hào)都加上*號(hào))。真實(shí)點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣與真實(shí)點(diǎn)陣一樣，也是許多點(diǎn)在三維空間中有規(guī)律地、周期51通過矢量運(yùn)算證明：正點(diǎn)陣的原胞體積和倒易點(diǎn)陣的原胞體積具有互為倒數(shù)的關(guān)系：（1-30）式中V

為真實(shí)晶胞體積，展開后得：

Va*、b*、c*可由下式子決定：

通過矢量運(yùn)算證明：正點(diǎn)陣的原胞體積和倒易點(diǎn)陣的原胞體積具有互52以倒易點(diǎn)陣的定義經(jīng)運(yùn)算后可得出倒易點(diǎn)陣晶胞參數(shù)a*、b*、c*、α*、β*、γ*和正點(diǎn)陣晶胞參數(shù)a、b、c、α、β、γ之間的關(guān)系：

（1-31）

（1-32）以倒易點(diǎn)陣的