Econometrics王維國東北財經(jīng)大學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)Econometrics王維國東北財經(jīng)大學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)1第五講回歸方程的函數(shù)形式第一節(jié)雙對數(shù)模型第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型第四節(jié)半對數(shù)模型第五節(jié)雙曲函數(shù)模型第六節(jié)多項式回歸模型第五講回歸方程的函數(shù)形式第一節(jié)雙對數(shù)模型2第一節(jié)雙對數(shù)模型（1）

回憶前面學(xué)過的widget教科書需求量模型，當(dāng)時我們通過觀察散點圖，認(rèn)為需求量和價格之間是近似的線性關(guān)系，因此建立兩變量線性回歸模型來研究需求量和價格之間的關(guān)系。若需求量和價格之間的關(guān)系不是線性關(guān)系而是指數(shù)形式，則我們就需要建立下面的模型來描述需求量和價格之間的關(guān)系，即：第一節(jié)雙對數(shù)模型（1）回憶前面學(xué)過的widget教3

公式(1)為非線性模型，我們可以通過對數(shù)變換，把非線性模型變?yōu)榫€性模型。公式(2)兩邊的變量都是對數(shù)形式，而參數(shù)是線性形式，所以模型(2)稱為對數(shù)(線性)模型（雙對數(shù)模型）。第一節(jié)雙對數(shù)模型（2）公式(1)為非線性模型，我們可以通過對數(shù)變換，把非線4一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（1）我們?nèi)匀皇褂闷胀ㄗ钚《朔ǖ玫降腂i估計值bi，i=1,2

。注意此時所估計模型的解釋變量是lnX，被解釋變量是lnY?？紤]模型(2)的隨機(jī)模型，若其隨機(jī)模型滿足古典假定，可以證明b1、b2是B1、B2的線性無偏最小方差（有效）估計量。對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型的假設(shè)檢驗完全相同。一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（1）我們?nèi)匀皇褂闷胀ㄗ钚《?Widget教科書對數(shù)回歸模型的估計結(jié)果：一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（2）Widget教科書對數(shù)回歸模型的估計結(jié)果：一、對數(shù)模型的參數(shù)6二、彈性的定義

對于一個一般的函數(shù)Y=f(X)，根據(jù)彈性的定義，Y對X的彈性可以表示為：二、彈性的定義對于一個一般的函數(shù)Y=f(X)，根據(jù)7三、B2的含義

由于回歸系數(shù)B2表示解釋變量變化一個單位引起被解釋變量變化B2個單位。則在對數(shù)模型中，我們可以得到：

在對數(shù)回歸模型中解釋變量的系數(shù)表示彈性，且彈性為常數(shù)。通常情況下，我們又稱對數(shù)模型為不變彈性模型。三、B2的含義由于回歸系數(shù)B2表示解釋變量變化一個8第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（1）

根據(jù)彈性定義公式，我們可以得出這樣的結(jié)論：對于線性模型，其斜率為一常量，而彈性系數(shù)卻是一個變量。對于對數(shù)模型，其彈性系數(shù)為一常量，而斜率卻是一個變量。第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（1）根據(jù)彈性定義公9第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（2）

對于線性模型，Y對X的彈性可以表示為:可見線性模型給出的是點彈性，我們可以通過計算平均彈性系數(shù)來給出線性模型的區(qū)間彈性：第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（2）對于線性模型，10第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（1）柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中，L表示勞動力投入量，K表示資本投入量，Y表示產(chǎn)出量。第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（1）柯布—道格拉11第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（2）

在實際經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，除了勞動力和資本影響產(chǎn)出水平之外，還有其他因素也影響產(chǎn)出水平，我們把這些因素歸結(jié)為隨機(jī)誤差項。于是可以寫出生產(chǎn)函數(shù)的隨機(jī)總體模型：第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（2）在實際經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，12第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（3）

經(jīng)對數(shù)變換得到如下對數(shù)線性模型：這就是一個多元對數(shù)回歸模型。B2和B3稱為偏彈性系數(shù)，含義為當(dāng)其他條件不變時，勞動力或資本的產(chǎn)出彈性。如果誤差項ui

服從正態(tài)分布，則稱誤差項i

服從對數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)模型滿足古典假定條件時，我們就可以對模型進(jìn)行參數(shù)估計及參數(shù)顯著性檢驗和回歸方程的顯著性檢驗。第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（3）經(jīng)對數(shù)變換13例：根據(jù)墨西哥1955年到1974年的數(shù)據(jù)估計多元對數(shù)模型的結(jié)果如下：第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（4）例：根據(jù)墨西哥1955年到1974年的數(shù)據(jù)估計多元對數(shù)模型的14第四節(jié)半對數(shù)模型（1）下述模型稱為半對數(shù)模型或?qū)?shù)—線性模型：B2表示X增加一個單位，Y的平均增長率；即表示的是因變量的相對增量。第四節(jié)半對數(shù)模型（1）下述模型稱為半對數(shù)模15第四節(jié)半對數(shù)模型（2）

在線性模型中，B2表示X增加一個單位，Y的絕對量的平均增量，即Y增加B2個單位。在半對數(shù)模型中，B2表示X增加一個單位，Y的相對量的平均增量，即Y增加100*B2%。第四節(jié)半對數(shù)模型（2）在線性模型中，B2表16第四節(jié)半對數(shù)模型（3）例：以時間t作為解釋變量模型—增長模型我們來研究一下在貨幣、銀行及金融等課程中介紹過的復(fù)利計算公式：等式兩端取對數(shù)：第四節(jié)半對數(shù)模型（3）例：以時間t作為解釋變量模型—增長模17第四節(jié)半對數(shù)模型（4）根據(jù)前面的式子，我們可以建立下面的半對數(shù)回歸模型：利用美國1973年到1987年間未償還消費(fèi)者信貸的數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)果：B2表示的就是Y的年增長率。第四節(jié)半對數(shù)模型（4）根據(jù)前面的式子，我們可以建立下面的半18下面的半對數(shù)模型稱為線性—對數(shù)模型：

B2的含義為：X的相對變化引起的Y的絕對量變化量；即表示自變量的一個單位相對增量引起因變量平均的絕對增量。第四節(jié)半對數(shù)模型（5）下面的半對數(shù)模型稱為線性—對數(shù)模型：第四節(jié)半對數(shù)模型（5）19第五節(jié)雙曲函數(shù)模型下述模型稱為雙曲函數(shù)模型：雙曲函數(shù)模型的一個顯著特征是，當(dāng)X無限增大時，Y將逐漸接近于B1(漸進(jìn)值或極值)?？梢杂秒p曲函數(shù)模型來描述平均成本曲線、恩格爾消費(fèi)曲線和菲利普斯曲線等領(lǐng)域的情況。第五節(jié)雙曲函數(shù)模型下述模型稱為雙曲函數(shù)模型：20第六節(jié)多項式回歸模型下述模型稱為多項式回歸模型：多項式回歸模型在生產(chǎn)與成本函數(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。在多項式回歸模型中，等式右邊雖然只有一個解釋變量，但卻以不同的次冪出現(xiàn)，因此可以把它們看做是多元回歸模型中的不同解釋變量。第六節(jié)多項式回歸模型下述模型稱為多項式回歸模型：21Econometrics王維國東北財經(jīng)大學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)Econometrics王維國東北財經(jīng)大學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)22第五講回歸方程的函數(shù)形式第一節(jié)雙對數(shù)模型第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型第四節(jié)半對數(shù)模型第五節(jié)雙曲函數(shù)模型第六節(jié)多項式回歸模型第五講回歸方程的函數(shù)形式第一節(jié)雙對數(shù)模型23第一節(jié)雙對數(shù)模型（1）

回憶前面學(xué)過的widget教科書需求量模型，當(dāng)時我們通過觀察散點圖，認(rèn)為需求量和價格之間是近似的線性關(guān)系，因此建立兩變量線性回歸模型來研究需求量和價格之間的關(guān)系。若需求量和價格之間的關(guān)系不是線性關(guān)系而是指數(shù)形式，則我們就需要建立下面的模型來描述需求量和價格之間的關(guān)系，即：第一節(jié)雙對數(shù)模型（1）回憶前面學(xué)過的widget教24

公式(1)為非線性模型，我們可以通過對數(shù)變換，把非線性模型變?yōu)榫€性模型。公式(2)兩邊的變量都是對數(shù)形式，而參數(shù)是線性形式，所以模型(2)稱為對數(shù)(線性)模型（雙對數(shù)模型）。第一節(jié)雙對數(shù)模型（2）公式(1)為非線性模型，我們可以通過對數(shù)變換，把非線25一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（1）我們?nèi)匀皇褂闷胀ㄗ钚《朔ǖ玫降腂i估計值bi，i=1,2

。注意此時所估計模型的解釋變量是lnX，被解釋變量是lnY?？紤]模型(2)的隨機(jī)模型，若其隨機(jī)模型滿足古典假定，可以證明b1、b2是B1、B2的線性無偏最小方差（有效）估計量。對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型的假設(shè)檢驗完全相同。一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（1）我們?nèi)匀皇褂闷胀ㄗ钚《?6Widget教科書對數(shù)回歸模型的估計結(jié)果：一、對數(shù)模型的參數(shù)估計與假設(shè)檢驗（2）Widget教科書對數(shù)回歸模型的估計結(jié)果：一、對數(shù)模型的參數(shù)27二、彈性的定義

對于一個一般的函數(shù)Y=f(X)，根據(jù)彈性的定義，Y對X的彈性可以表示為：二、彈性的定義對于一個一般的函數(shù)Y=f(X)，根據(jù)28三、B2的含義

由于回歸系數(shù)B2表示解釋變量變化一個單位引起被解釋變量變化B2個單位。則在對數(shù)模型中，我們可以得到：

在對數(shù)回歸模型中解釋變量的系數(shù)表示彈性，且彈性為常數(shù)。通常情況下，我們又稱對數(shù)模型為不變彈性模型。三、B2的含義由于回歸系數(shù)B2表示解釋變量變化一個29第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（1）

根據(jù)彈性定義公式，我們可以得出這樣的結(jié)論：對于線性模型，其斜率為一常量，而彈性系數(shù)卻是一個變量。對于對數(shù)模型，其彈性系數(shù)為一常量，而斜率卻是一個變量。第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（1）根據(jù)彈性定義公30第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（2）

對于線性模型，Y對X的彈性可以表示為:可見線性模型給出的是點彈性，我們可以通過計算平均彈性系數(shù)來給出線性模型的區(qū)間彈性：第二節(jié)線性模型與對數(shù)模型的比較（2）對于線性模型，31第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（1）柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中，L表示勞動力投入量，K表示資本投入量，Y表示產(chǎn)出量。第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（1）柯布—道格拉32第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（2）

在實際經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，除了勞動力和資本影響產(chǎn)出水平之外，還有其他因素也影響產(chǎn)出水平，我們把這些因素歸結(jié)為隨機(jī)誤差項。于是可以寫出生產(chǎn)函數(shù)的隨機(jī)總體模型：第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（2）在實際經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，33第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（3）

經(jīng)對數(shù)變換得到如下對數(shù)線性模型：這就是一個多元對數(shù)回歸模型。B2和B3稱為偏彈性系數(shù)，含義為當(dāng)其他條件不變時，勞動力或資本的產(chǎn)出彈性。如果誤差項ui

服從正態(tài)分布，則稱誤差項i

服從對數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)模型滿足古典假定條件時，我們就可以對模型進(jìn)行參數(shù)估計及參數(shù)顯著性檢驗和回歸方程的顯著性檢驗。第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（3）經(jīng)對數(shù)變換34例：根據(jù)墨西哥1955年到1974年的數(shù)據(jù)估計多元對數(shù)模型的結(jié)果如下：第三節(jié)多元對數(shù)線性回歸模型（4）例：根據(jù)墨西哥1955年到1974年的數(shù)據(jù)估計多元對數(shù)模型的35第四節(jié)半對數(shù)模型（1）下述模型稱為半對數(shù)模型或?qū)?shù)—線性模型：B2表示X增加一個單位，Y的平均增長率；即表示的是因變量的相對增量。第四節(jié)半對數(shù)模型（1）下述模型稱為半對數(shù)模36第四節(jié)半對數(shù)模型（2）

在線性模型中，B2表示X增加一個單位，Y的絕對量的平均增量，即Y增加B2個單位。在半對數(shù)模型中，B2表示X增加一個單位，Y的相對量的平均增量，即Y增加100*B2%。第四節(jié)半對數(shù)模型（2）在線性模型中，B2表37第四節(jié)半對數(shù)模型（3）例：以時間t作為解釋變量模型—增長模型我們來研究一下在貨幣、銀行及金融等課程中介紹過的復(fù)利計算公式：等式兩端取對數(shù)：第四節(jié)半對數(shù)模型（3）例：以時間t作為解釋變量模型—增長模38第四節(jié)半對數(shù)模型（4）根據(jù)前面的式子，我們可以建立下面的半對數(shù)回歸模型：利用美國1973年到1987年間未償還消費(fèi)者信貸的數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)果：B2表示的就是Y的年增長率。第四節(jié)半對數(shù)模型（4）根據(jù)前面的式子，我們可以建立下面的半39下面的半對數(shù)模型稱為線性—對數(shù)模型：

B2的含義為：X的相對變化引起的Y的絕對量變化量；即表示自變量的一個單位相對增量引起因變量平均的絕對增量。第四節(jié)半對數(shù)模型（5）下面的半對數(shù)模型稱為線性—對數(shù)模型：第四節(jié)半對數(shù)模型（5）40第五節(jié)雙曲函數(shù)模型