第 十五章機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：

諧振動(dòng)的特征諧振動(dòng)的描述諧振動(dòng)的合成

機(jī)械振動(dòng)：

物體在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。

機(jī)械振動(dòng)可分為周期性振動(dòng)和非周期性振動(dòng)，最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是周期性的直線振動(dòng)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。第 十五章機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：諧振動(dòng)的特征1§15.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)

A位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒有，小球只受彈性回復(fù)力，振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一、諧振動(dòng)中的理想模型—彈簧振子§15.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)A位置A：小球所受合力為零的2

如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。mkX0以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關(guān)系：二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：1、動(dòng)力學(xué)特征：如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所3

從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。K是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反?；貜?fù)力2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：令從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振4積分得：從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。3、能量特征：其中積分得：從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位5能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)（平衡位置）的動(dòng)能。振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能守恒。一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能：能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)6例6.諧振子在相位為,其動(dòng)能為,求其機(jī)械能。

解：例6.諧振子在相位為,其動(dòng)能為,求其機(jī)械能。71、方程中各參量的物理意義x:表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移。A:質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移最大值的絕對(duì)值——振幅?！?5.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法：又1、方程中各參量的物理意義x:表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開8比較知稱為圓頻率僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。t+:稱位相或相位或周相，是表示任意t時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)狀態(tài)的參量。

:稱為初位相，是表示t=0時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/2比較知稱為圓頻率僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。t+:9其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv0其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv010問題：是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)（t=0時(shí)的位置及速度：x0v0)，如何求解相對(duì)應(yīng)的？（1）、已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0),v(0)求可得：A與由系統(tǒng)的初始條件[x(0),v(0)]決定

問題：是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)11（2）已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求最終確定初位相的值（2）已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求最終12mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知k,，以小球運(yùn)動(dòng)至A/2處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的振動(dòng)方程。解：?jiǎn)栴}歸結(jié)于求t=0小球向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而v0=+600

mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果13例2如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v例2如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方14

[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b。求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出振動(dòng)方程。b自然長(zhǎng)度mg平衡位置F取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜平衡受力分析如圖kb-mg=0證明：則有：x任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作諧振動(dòng)[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧15ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由題知：t=0時(shí)，x0=-b，v0=0則可得：所以運(yùn)動(dòng)方程為：ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得16二、諧振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線2、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程二、諧振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動(dòng)方17三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

1、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度：振幅A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度：旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x的夾角：振動(dòng)周相圓頻率

M點(diǎn)在x軸上投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為振動(dòng)方程：三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法1、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0ωP（18MPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPAMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxA19則稱振動(dòng)2

超前振動(dòng)1，振動(dòng)1

滯后振動(dòng)2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系若周相差ΔΦ=0，則稱兩振動(dòng)同步若周相差ΔΦ=π，則稱兩振動(dòng)反相則稱振動(dòng)2超前振動(dòng)1，振動(dòng)1滯后振動(dòng)2若周相差20πA2xxAA21.00t{t=1時(shí)x1=0d1＜0v=dxt[例4]一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求ω、φ以及振動(dòng)方程。πxA3{t=

0時(shí)0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56ππA2xxAA21.00t{t=1時(shí)x1=0d1＜0v=d21x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56πx=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π22§15.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成1、利用三角函數(shù)公式合成§15.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)23令則可得：其中：令則可得：其中：242、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。2、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧25討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)振幅在A1+A2與|A1-A2|

之間。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱AA226二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。一種特殊情況——拍現(xiàn)象νν12拍頻=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+2二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)27tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==216181tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s=28利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成[例5]已知求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫出合振動(dòng)的表達(dá)式。解：利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同29[例6]一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）t=0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度；（3）從x=-0.06m且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間解:（1）由于物體此時(shí)向x正向運(yùn)動(dòng)，故（2）[例6]一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s30（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，x=-0.06m.故質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為，設(shè)該時(shí)刻為。所以（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，設(shè)31第十六章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳播的過程。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過程。電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過程?；緝?nèi)容：機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的幾個(gè)特征量波動(dòng)方程波的疊加原理—（特例）波的干涉。

各類波的本質(zhì)不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。第十六章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳32

§16.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源2、彈性媒質(zhì)橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行二、機(jī)械波的分類一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件特點(diǎn)：具有波峰和波谷（如繩子上的波）特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）§16.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源2、彈性媒質(zhì)33橫波的波動(dòng)波的傳播方向xy振動(dòng)方向特點(diǎn)：具有波峰和波谷橫波的波動(dòng)波的傳播方向xy振特點(diǎn)：具有波峰和波谷34縱波的波動(dòng)波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏密疏密疏特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域縱波的波動(dòng)波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏密疏密疏特點(diǎn)：具有疏密相35三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力，故當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶動(dòng)其周圍其它的質(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來………如此依次帶動(dòng)，振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開去形成機(jī)械波。（靜止）1234567891011121312345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至4）12345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至7）三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)36（振動(dòng)狀態(tài)傳至10)（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）12345678910111213123456789101112132.結(jié)論（1）各質(zhì)點(diǎn)僅在自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不隨波前進(jìn)。（2）振動(dòng)狀態(tài)以一定的速度傳播—波速。（注意波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）（振動(dòng)狀態(tài)傳至10)（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）1237（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。（4）波形在空間移動(dòng)—行波。四、波的幾何描述同相面（波面）：由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。波陣面（波前)：某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介質(zhì)中與波面法線相同。在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。（4）波形在空間移動(dòng)—行38平面波波線波陣面球面波波陣面波線平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一平面。平面波波波球面波波陣波平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面39橫波波速φsFFG

切變彈性模量ρ密度（單位體積質(zhì)量）波長(zhǎng)

在同一條波線上,周相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。周期

傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。頻率

在單位時(shí)間內(nèi)通過某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。波速

波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。

§16.2機(jī)械波的幾個(gè)特征量頻率和周期只決定于波源，和媒質(zhì)無關(guān)。橫波波速φsFFG切變彈性模量波長(zhǎng)在同一條波線上,周相40縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:容變彈性模量波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:41任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyxxoBy表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為x處）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移,也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。

§16.3波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyxx42質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:其中減號(hào)表示波向x軸正向傳播，加號(hào)表示波向x軸負(fù)向傳播質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:其中減號(hào)表示波向x軸43表示在t1時(shí)刻的波形yto3、t與x都發(fā)生變化t=t1時(shí)yxo表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程二、波動(dòng)方程的物理意義1、x=x1（常數(shù)）2、t=t1（常數(shù)）t=t1+Δt時(shí)表示在t1時(shí)刻的波形yto3、t與x都發(fā)生變化t=44yy1xutxytx表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過Δt時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在x′處，波向前傳播了uΔt的距離，即某一固定周相傳播了uΔt的距離。y1=令yxx=+uΔt得：yy1xutxytx表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過Δt45可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中ξ為質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)方程：三、波動(dòng)方程的一般形式可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中ξ為質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)46例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C為正值恒量。試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；（3）任何時(shí)刻，在波傳播方向上相距為D的兩點(diǎn)的周相差。（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；解：（1）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C為正值47波的振幅為A,波速頻率波長(zhǎng)（2）（3）波的振幅為A,波速頻率波長(zhǎng)（2）（3）48

[例2]以P點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ[例2]以P點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫49[例3]波速

u=400m/s,t=0s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動(dòng)方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o點(diǎn))22＞0{=yv00t0(p點(diǎn))=0＜0{得：得：[例3]波速u=400m/s,t=0s時(shí)50φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)dφφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()51yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一橫波在弦上傳播，其方程是式中x、y以米計(jì)，t與秒計(jì)。（1）求波長(zhǎng)、周期、波速；（2）畫出t=0,0.0025s,0.005s時(shí)弦的形狀。yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos52解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較波長(zhǎng)周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意義求解解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較波長(zhǎng)周期T=0.01S,53（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。0.40.2yxo（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫54例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u傳播，已知p點(diǎn)的振就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫出各自的波函數(shù)。動(dòng)方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u傳播，已知p點(diǎn)的振就下面四55例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.5m/s求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由圖知t=0原點(diǎn)0:例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，56例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為u，設(shè)t=0時(shí)的波形曲線如圖。（1）寫出該波的波函數(shù)；（2）求距0點(diǎn)為（3）求距0點(diǎn)為處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度。yx0u例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為57解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位故波函數(shù)（2）（3）解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位故波函數(shù)（2）（358§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以證明：kdmdV取體積元dV，體元內(nèi)質(zhì)量為ρdVdm=§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=59dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：60能流P:單位時(shí)間通過某一面積的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。uuS能流P:單位時(shí)間通過某一面積的波能。P=Swu二61波的強(qiáng)度

I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。wρω1222uI=u=A總結(jié)：波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。波的強(qiáng)度I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單62t+tΔuΔtΔutt+Δtt時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。t+tΔuΔtΔutt+Δtt時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面63用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的應(yīng)用用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=64沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加兩水波的疊加

§16.6波的疊加原理一、波的疊加原理1、波的獨(dú)立傳播原理:有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。2、波的疊加原理:在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi),媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這幾列波所引起振動(dòng)，其位移為各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起振動(dòng)的合振動(dòng)。沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加兩水波的疊加§16.6波65二、波的干涉

相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱這兩波源為相干波源。波源ωcos=+ty222φA)(Sωt=y111φAcos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P點(diǎn)rr=222πλφ11(φΔΦ)λωyt2+r=2222cos)Aπ(φω+t=y211λφAcos)(1π1r二、波的干涉相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振66干涉加強(qiáng)(A最大)條件：干涉減弱(A最小)條件：Δ=πΦ2kk=0,1,2,+Δ++Φ2k=(1)k=0,1,2,ππ111Acoscossinsinφφφ=+2ππrr()))(((211tg222AAA221rrφ)+2π22φλλλλ2AAAAcosΦΔ=2++22211A)φ2221φΦΔ=πrr(1λ干涉加強(qiáng)(A最大)條件：干涉減弱(A最小)條件：Δ=πΦ2k672λ波程差rr1=+k干涉加強(qiáng)rλ2()波程差r1+2k2=+1干涉減弱=12若：φφ則有：λ++2k(1)π==πrr)(Φ21Δ2λrrΔ=π)(Φ21π2k+=2rr)φ2221φΦΔ=π(1λ問題：對(duì)于相干光波，干涉條件如何？2λ波程差rr1=+k干涉加強(qiáng)rλ2()波程差r1+2k2=68兩波的波動(dòng)方程分別為：yy22AA+xxttTTcoscos21λλππ==))((

駐波：一對(duì)振幅相同的相干波，在同一條直線上，沿相反方向傳播時(shí)，疊加而成的波。AAxcos=振幅22πλy22A+tTcos21ππ=yy=xcos2λ三、駐波兩波的波動(dòng)方程分別為：yy22AA+xxttTTcoscos69xAAcosλ=振幅：22π波腹位置：波節(jié)位置：2k+12k+1λπ=())(xx=22π4λ22kλππxx==2k2λ4相鄰兩波節(jié)（或波腹）的距離:xxk+1k=λ2xAAcosλ=振幅：22π波腹位置：波節(jié)位置：2k+12k70駐波的特點(diǎn)：

1.有波節(jié)、波腹；2.波節(jié)兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周相相反，相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周相相同。3.波的強(qiáng)度為零，不發(fā)生能量由近及遠(yuǎn)的傳播。是一種特殊的振動(dòng)狀態(tài)。波節(jié)波腹駐波的特點(diǎn)：波節(jié)波腹71四、半波損失ρρuu2211＞若媒質(zhì)1媒質(zhì)1ρu11ρu22媒質(zhì)2稱媒質(zhì)1為波疏媒質(zhì)；

媒質(zhì)2為波密媒質(zhì)。四、半波損失ρρuu2211＞若媒質(zhì)1媒質(zhì)1ρu11ρu721.繩子波在固定端反射入射波反射波疊加后的波形墻體)波密媒質(zhì)(yy在反射端形成波節(jié)。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到達(dá)兩種媒質(zhì)分界面時(shí)發(fā)生相位突變，稱為半波損失。1.繩子波在固定端反射入射波反射波疊加后的波形墻體)73入射波反射波疊加后的波形yy自由端2.繩子波在自由端反射在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同無半波損失。入射波反射波疊加后的波形yy自2.繩子波在自由端反射74y=Acosωt它向墻面方向傳播經(jīng)反射后形成駐波。求：駐波方程、波節(jié)及波腹的位置?？紤]到半波損失后P點(diǎn)的振動(dòng)方程：ydcos=+p()uωtA[π]yycoscos==dp(())uuωωtt入射波入AAxdy墻面p入射波ox

[例8

]設(shè)波源（在原點(diǎn)O）的振動(dòng)方程為：y=Acosωt它向墻面方向傳播經(jīng)反射后形成駐波。求：駐波方75墻面dyxp(疊加點(diǎn))m入射波反射波o考慮到半波損失后P點(diǎn)的振動(dòng)方程：ducosy=+p()ωtA[π]反射波在疊加點(diǎn)(m點(diǎn))的振動(dòng)方程：cos2dutA=+()[]πωxycosdduutA=+)([]πω反x墻dyxp(疊加點(diǎn))m入射波反射波o考慮到半波損失后P點(diǎn)的振76第 十五章機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：

諧振動(dòng)的特征諧振動(dòng)的描述諧振動(dòng)的合成

機(jī)械振動(dòng)：

物體在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。

機(jī)械振動(dòng)可分為周期性振動(dòng)和非周期性振動(dòng)，最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是周期性的直線振動(dòng)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。第 十五章機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：諧振動(dòng)的特征77§15.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)

A位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒有，小球只受彈性回復(fù)力，振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一、諧振動(dòng)中的理想模型—彈簧振子§15.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)A位置A：小球所受合力為零的78

如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。mkX0以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關(guān)系：二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：1、動(dòng)力學(xué)特征：如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所79

從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。K是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反?；貜?fù)力2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：令從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振80積分得：從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。3、能量特征：其中積分得：從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位81能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)（平衡位置）的動(dòng)能。振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能守恒。一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能：能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)82例6.諧振子在相位為,其動(dòng)能為,求其機(jī)械能。

解：例6.諧振子在相位為,其動(dòng)能為,求其機(jī)械能。831、方程中各參量的物理意義x:表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移。A:質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移最大值的絕對(duì)值——振幅。§15.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法：又1、方程中各參量的物理意義x:表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開84比較知稱為圓頻率僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。t+:稱位相或相位或周相，是表示任意t時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)狀態(tài)的參量。

:稱為初位相，是表示t=0時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/2比較知稱為圓頻率僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。t+:85其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv0其中是加速度的幅值a與x的位相相反atvxaxv086問題：是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)（t=0時(shí)的位置及速度：x0v0)，如何求解相對(duì)應(yīng)的？（1）、已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0),v(0)求可得：A與由系統(tǒng)的初始條件[x(0),v(0)]決定

問題：是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)87（2）已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求最終確定初位相的值（2）已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求最終88mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知k,，以小球運(yùn)動(dòng)至A/2處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的振動(dòng)方程。解：?jiǎn)栴}歸結(jié)于求t=0小球向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而v0=+600

mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果89例2如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v例2如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方90

[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b。求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出振動(dòng)方程。b自然長(zhǎng)度mg平衡位置F取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜平衡受力分析如圖kb-mg=0證明：則有：x任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作諧振動(dòng)[例3]垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧91ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由題知：t=0時(shí)，x0=-b，v0=0則可得：所以運(yùn)動(dòng)方程為：ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得92二、諧振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線2、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程二、諧振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動(dòng)方93三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

1、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度：振幅A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度：旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x的夾角：振動(dòng)周相圓頻率

M點(diǎn)在x軸上投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為振動(dòng)方程：三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法1、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0ωP（94MPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPAMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxA95則稱振動(dòng)2

超前振動(dòng)1，振動(dòng)1

滯后振動(dòng)2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系若周相差ΔΦ=0，則稱兩振動(dòng)同步若周相差ΔΦ=π，則稱兩振動(dòng)反相則稱振動(dòng)2超前振動(dòng)1，振動(dòng)1滯后振動(dòng)2若周相差96πA2xxAA21.00t{t=1時(shí)x1=0d1＜0v=dxt[例4]一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求ω、φ以及振動(dòng)方程。πxA3{t=

0時(shí)0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56ππA2xxAA21.00t{t=1時(shí)x1=0d1＜0v=d97x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56πx=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π98§15.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成1、利用三角函數(shù)公式合成§15.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)99令則可得：其中：令則可得：其中：1002、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。2、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧101討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)振幅在A1+A2與|A1-A2|

之間。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱AA2102二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。一種特殊情況——拍現(xiàn)象νν12拍頻=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+2二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)103tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==216181tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s=104利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成[例5]已知求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫出合振動(dòng)的表達(dá)式。解：利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同105[例6]一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）t=0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度；（3）從x=-0.06m且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間解:（1）由于物體此時(shí)向x正向運(yùn)動(dòng)，故（2）[例6]一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s106（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，x=-0.06m.故質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為，設(shè)該時(shí)刻為。所以（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，設(shè)107第十六章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳播的過程。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過程。電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過程。基本內(nèi)容：機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的幾個(gè)特征量波動(dòng)方程波的疊加原理—（特例）波的干涉。

各類波的本質(zhì)不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。第十六章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳108

§16.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源2、彈性媒質(zhì)橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行二、機(jī)械波的分類一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件特點(diǎn)：具有波峰和波谷（如繩子上的波）特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）§16.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源2、彈性媒質(zhì)109橫波的波動(dòng)波的傳播方向xy振動(dòng)方向特點(diǎn)：具有波峰和波谷橫波的波動(dòng)波的傳播方向xy振特點(diǎn)：具有波峰和波谷110縱波的波動(dòng)波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏密疏密疏特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域縱波的波動(dòng)波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏密疏密疏特點(diǎn)：具有疏密相111三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力，故當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶動(dòng)其周圍其它的質(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來………如此依次帶動(dòng)，振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開去形成機(jī)械波。（靜止）1234567891011121312345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至4）12345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至7）三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)112（振動(dòng)狀態(tài)傳至10)（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）12345678910111213123456789101112132.結(jié)論（1）各質(zhì)點(diǎn)僅在自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不隨波前進(jìn)。（2）振動(dòng)狀態(tài)以一定的速度傳播—波速。（注意波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）（振動(dòng)狀態(tài)傳至10)（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）12113（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。（4）波形在空間移動(dòng)—行波。四、波的幾何描述同相面（波面）：由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。波陣面（波前)：某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介質(zhì)中與波面法線相同。在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。（4）波形在空間移動(dòng)—行114平面波波線波陣面球面波波陣面波線平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一平面。平面波波波球面波波陣波平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面115橫波波速φsFFG

切變彈性模量ρ密度（單位體積質(zhì)量）波長(zhǎng)

在同一條波線上,周相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。周期

傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。頻率

在單位時(shí)間內(nèi)通過某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。波速

波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。

§16.2機(jī)械波的幾個(gè)特征量頻率和周期只決定于波源，和媒質(zhì)無關(guān)。橫波波速φsFFG切變彈性模量波長(zhǎng)在同一條波線上,周相116縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:容變彈性模量波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:117任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyxxoBy表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為x處）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移,也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。

§16.3波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyxx118質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:其中減號(hào)表示波向x軸正向傳播，加號(hào)表示波向x軸負(fù)向傳播質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:其中減號(hào)表示波向x軸119表示在t1時(shí)刻的波形yto3、t與x都發(fā)生變化t=t1時(shí)yxo表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程二、波動(dòng)方程的物理意義1、x=x1（常數(shù)）2、t=t1（常數(shù)）t=t1+Δt時(shí)表示在t1時(shí)刻的波形yto3、t與x都發(fā)生變化t=120yy1xutxytx表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過Δt時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在x′處，波向前傳播了uΔt的距離，即某一固定周相傳播了uΔt的距離。y1=令yxx=+uΔt得：yy1xutxytx表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過Δt121可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中ξ為質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)方程：三、波動(dòng)方程的一般形式可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中ξ為質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)122例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C為正值恒量。試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；（3）任何時(shí)刻，在波傳播方向上相距為D的兩點(diǎn)的周相差。（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；解：（1）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C為正值123波的振幅為A,波速頻率波長(zhǎng)（2）（3）波的振幅為A,波速頻率波長(zhǎng)（2）（3）124

[例2]以P點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ[例2]以P點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫125[例3]波速

u=400m/s,t=0s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動(dòng)方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o點(diǎn))22＞0{=yv00t0(p點(diǎn))=0＜0{得：得：[例3]波速u=400m/s,t=0s時(shí)126φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)dφφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()127yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一橫波在弦上傳播，其方程是式中x、y以米計(jì)，t與秒計(jì)。（1）求波長(zhǎng)、周期、波速；（2）畫出t=0,0.0025s,0.005s時(shí)弦的形狀。yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos128解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較波長(zhǎng)周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意義求解解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較波長(zhǎng)周期T=0.01S,129（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。0.40.2yxo（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫130例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u傳播，已知p點(diǎn)的振就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫出各自的波函數(shù)。動(dòng)方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u傳播，已知p點(diǎn)的振就下面四131例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.5m/s求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由圖知t=0原點(diǎn)0:例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，132例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為u，設(shè)t=0時(shí)的波形曲線如圖。（1）寫出該波的波函數(shù)；（2）求距0點(diǎn)為（3）求距0點(diǎn)為處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度。yx0u例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為133解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位故波函數(shù)（2）（3）解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位故波函數(shù)（2）（3134§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以證明：kdmdV取體積元dV，體元內(nèi)質(zhì)量為ρdVdm=§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=135dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：136能流P:單位時(shí)間通過某一面積的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。uuS能流P:單位時(shí)間通過某一面積的波能。P=Swu二137波的強(qiáng)度

I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。wρω1222uI=u=A總結(jié)：波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。波的強(qiáng)度I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單138t+tΔuΔtΔutt+Δtt時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。t+tΔuΔtΔutt+Δtt時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面139用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的應(yīng)用用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=140沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加兩水波的