特殊四邊形專(zhuān)題復(fù)習(xí)特殊四邊形專(zhuān)題復(fù)習(xí)1項(xiàng)目四邊形邊角對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等兩底平行兩腰相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角同一底上的角相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角相等互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角中心對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形二、幾種特殊四邊形的性質(zhì)：項(xiàng)目邊角對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性平行四邊形矩形菱形正方形等2

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1、定義：兩組對(duì)邊分別平行2、兩組對(duì)邊分別相等3、一組對(duì)邊平行且相等4、對(duì)角線互相平分1、定義：有一角是直角的平行四邊形2、三個(gè)角是直角的四邊形3、對(duì)角線相等的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2、四條邊都相等的四邊形3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形2、有一組鄰邊相等的矩形3、有一個(gè)角是直角的菱形1、兩腰相等的梯形2、在同一底上的兩角相等的梯形3、對(duì)角線相等的梯形條件平行矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊31、一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形。（）

2、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的的四邊形是平行四邊形。（）3、兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形。（）

4、一組鄰邊相等的的矩形是正方形。（

）

5、對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。（）

6、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（）√x√判斷題xxx1、一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形。（）

2、一組對(duì)邊平行42.若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充條件_________________使得四邊形ABCD為菱形.AB=BC

ADBCADBC或AC⊥BD2.若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充條件________55.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B65.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

矩形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC⊥BD我想到：三角形中位線定理5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B75.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

正方形

，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理且AC⊥BD5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B86.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是

.2.5我想到：平行四邊形被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形面積相等.6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線A97.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.ABDCOP

解:四邊形CODP是菱形∵DP∥OC,DP=OC∴四邊形CODP是平行四邊形

∵四邊形ABCD是矩形∴CO=DO∴四邊形CODP是菱形7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作D10如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？圖一AODPBCPCDOBA圖二如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.ABDCOP如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗咳绻}118.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，四邊形ADFE是平行四邊形.（1）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，四邊形ADFE是矩形；（2）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；（3）當(dāng)△ABC分別滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形.BCAEFD解:（3)AB=AC時(shí)，平行四邊形ADFE時(shí)菱形。AB=AC且∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是正方形。150°60°60°60°8.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角12如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F（1）求證OE=OF（2）如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由ABCDOFEMABCDFEMO如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC131.已知△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E是AC上的點(diǎn),且∠ABE=∠BAC,EF∥AB,DF∥BE,請(qǐng)猜想DF與AE有怎樣的特殊關(guān)系,并說(shuō)明理由.猜想:DF與AE相等且互相平分.若要使AE⊥DF,點(diǎn)E還應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?1.已知△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E是AC上的點(diǎn),且∠AB142.已知BE、CF分別為△ABC中∠B、∠C的平分線，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求證：MN∥BC.AMNEFCBQR提示:證明△ABQ和△CAR是等腰三角形2.已知BE、CF分別為△ABC中∠B、∠C的平分線，AM⊥153.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，試問(wèn)：當(dāng)BE、DF滿(mǎn)足什么條件時(shí)，EF與BD互相平分？并說(shuō)明理由．FBACDE3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，點(diǎn)E16例題選講已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD為平行四邊形.

你還有其他方法嗎？比較哪種方法更簡(jiǎn)單？例題選講已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是邊AB、17已知：如圖，DC//EF//AB，DA//GH//CB，圖中有多少平行四邊形？

我能行1已知：如圖，DC//EF//AB，DA//GH//CB，圖中18已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CB的中點(diǎn).求證：EF=AB

我能行2已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CB的19已知：如圖，ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

我能行3已知：如圖，ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、C20已知：如圖，

ABCD中，E,F分別是對(duì)角線上兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．已知：如圖，ABCD中，E,F分別是21［例題］一張四邊形紙板ＡＢＣＤ形狀如圖，（１）若要從這張紙板中剪出一個(gè)平行四邊形，并且使它的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形ＡＢＣＤ的四條邊上，可怎樣剪？ＥＦＧＨ⑵四邊形ＡＢＣＤ滿(mǎn)足什么情況下中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ為矩形？并說(shuō)明理由．解：分別?。粒?，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ為平行四邊形．兩條對(duì)角線互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ［例題］一張四邊形紙板ＡＢＣＤ形狀如圖，ＥＦＧＨ⑵四邊形ＡＢ22解：一張四邊形紙板ＡＢＣＤ滿(mǎn)足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿時(shí)分別?。粒?，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，就能剪出中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ是矩形，ＥＦＧＨ理由如下：∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位線∴ＧＨ∥ＡＣ１２３∵ＡＣ⊥ＢＤ∴∠１＝９０°（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）∴∠２＝∠１＝９０°∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位線∴ＥＨ∥ＢＤ∴∠３＝∠２＝９０°，４５（三角形的中位線平行于第三邊）同理可得：∠４＝９０°，∠５＝９０°∴四邊形ＥＦＧＨ是矩形．（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）兩條對(duì)角線互相垂直解：一張四邊形紙板ＡＢＣＤ滿(mǎn)足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿時(shí)ＥＦ23練習(xí)：已知:如圖,AC與BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，ＡＥ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＤＨ．求證：四邊形EFGH是矩形練習(xí)：已知:如圖,AC與BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，Ａ24例1：已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，ABCD且∠1=∠2

。

求證：四邊形ABCD是矩形例1：已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，ABCD25自我診斷1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）A對(duì)角線相等B對(duì)角線垂直C對(duì)角線互相平分且相等D對(duì)角線垂直且相等2、如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分線，則四邊形ABCD是（）A菱形B平行四邊形C矩形D不能確定

ＣC自我診斷1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）ＣC26合作交流、共同提高1.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，盡可能多地畫(huà)出平行四邊形．（課本P105練習(xí)第一題）合作交流、共同提高1.如圖，在平行四邊形ABCD中27

2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E、F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF,BG=DH.求證：GF=HE.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OCOB=OD∵AE=CF,BG=DH∴OE=OFOG=OH∴四邊形是GFHE平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∴GF=HE(平行四邊形的對(duì)邊相等）2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)28思考：證明兩條線段相等常用哪些方法？

如圖，已知平行四邊形ABCD中，DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求證：BE=DF綜合應(yīng)用、鞏固提高思考：證明兩條線段相等常用哪些方法？如圖，已知平行四邊29方法一：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴DE∥BF,∠DEA=∠BFC=90?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形∴DA=BC,DA∥BC∴∠DAE=∠BCF在AED和CBF中∵∠DEA=∠BFC=90,∠DAE=∠BCF,DA=BC∴△AED≌△CBF(A.A.S.)∴DE=BF∵DE∥BF∴四邊形DEBF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）方法二：連接BD，交AC于O點(diǎn)∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OD=OB，OA=OC∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC=90。∵DA∥BC∴∠DAE=∠BCF∵DA=BC∴△AED≌△CFB(A.A.S.)∴AE=CF∴OE=OF∴四邊形DEBF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）O方法一：方法二：O301、四邊形的四條邊分別為a,b,c,d,其中a,c為對(duì)邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么這個(gè)四邊形一定是（）A.兩組對(duì)角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直得四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形B1、四邊形的四條邊分別為a,b,c,d,其中a,c為對(duì)邊，且313。如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rｔ∠，E是AC的中點(diǎn)，EF⊥BD于F，求證：DF＝BF。ABCDEF注意：在已知條件中有直角三角形及斜邊的中點(diǎn)時(shí)，常利用斜邊的中線是斜邊的一半這條性質(zhì)。3。如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rｔ∠，E是321.如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABC是等邊三角形.求:∠θ的度數(shù).DBCAEθ1.如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABC是等邊三角形.DB332.已知:如圖,四邊形ABCD是一個(gè)正方形,E是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)點(diǎn),且AC=EC.求:∠DAE的度數(shù).BDEAC2.已知:如圖,四邊形ABCD是一個(gè)正方形,E是BC延長(zhǎng)線上343.已知:如圖,△ABC的兩條高為BE，CF，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).求證:ME＝MF.ACBEFM3.已知:如圖,△ABC的兩條高為BE，CF，點(diǎn)M為BC的353：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。BADCE注：四邊形的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解，轉(zhuǎn)化的方法是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如連結(jié)對(duì)角線、延長(zhǎng)兩邊等。解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√332213：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60362）將一個(gè)平行四邊形的紙片沿一條對(duì)角線裁開(kāi)，能拼成（）種凸四邊形？3c

baabcccbbcc2）將一個(gè)平行四邊形的紙片沿一條對(duì)角線裁開(kāi)，能拼成（37專(zhuān)題二折疊問(wèn)題1)將菱形ABCD按圖折疊，使A與B重合，折痕為MN，∠A與∠1之間數(shù)量關(guān)系為（）。DC

M1ANB∠1＝2∠A專(zhuān)題二折疊問(wèn)題1)將菱形ABCD按圖折疊，使A與B重合38①四邊形ABCD是平行四邊形證明：∵ΔBCE、ΔACF是等邊三角形∴∠BCE＝∠ACF=60°即∠1＋∠3=∠2＋∠3=60°∴∠1=∠2又∵CB＝CE、CA＝CF∴ΔBAC≌ΔFEC（SAS）∴AB＝EF又∵AB＝AD∴AD＝EF同理可證：ΔBAC≌ΔBDE∴DE＝AF∴四邊形ABCD是EF

D

BC2312）已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四邊形ADEF是什么四邊形？說(shuō)明理由。A①四邊形ABCD是平行四邊形39（2）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？當(dāng)∠BAC等于150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形。（3）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？當(dāng)∠BAC等于60°時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在。2）已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四邊形ADEF是什么四邊形？說(shuō)明理由。

EFDA

BC（2）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？40

ADMPNBC1）梯形ABCD中，AD∥BC，中位線MN與對(duì)角線BD交于點(diǎn)P①試判斷BP與DP的大小關(guān)系（BP=DP）專(zhuān)題四幾何變通題AD1）41

AD

MNBC②若連接AC，交MN于Q，是否可以得出PQ=－(BC-AD)？12證明：∵M(jìn)P是ΔABD的中位線MQ是ΔABC的中位線∴MP=－AD

MQ=－BC

∴PQ=MQ-MP

即PQ=－(BC-AD)121212QPOAD②若42DAOPQBCQE∥AD，PE∥BC∴PE=－BC、QE=－AD又∵在ΔPQE中PQ<（PE+QE）∴PQ<－（BC+AD）121212E證明：取CD中點(diǎn)E③若四邊形ABCD既不是梯形，也不是平行四邊形，P、Q分別為BD、AC的中點(diǎn)，那么是否可得出PQ<－（BC+AD）。12連接PE和QEDQE∥AD，PE∥BC1143AD

OF

BC證明：1）∵四邊形ABCD是正方形對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O∴∠BOE＝∠AOF、BO＝AO又∵AG⊥BE∴∠1+∠3＝90°又∵AC⊥BD∴∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠2∴ΔAFO≌ΔBEO∴OE=OFEG2）已知：正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F。求證：OE=OF123AD證明：EG2）44針對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE＝OF還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明。如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。2）已知：正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F。求證：OE=OFADO

GCB

FEAD

OF

BCEG123針對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB交EB的延長(zhǎng)452、如圖，正方形ABCD，菱形AEFC，則∠FAB=

.FABCDE？22.50反思:例題1中翻折得到等腰三角形,利用旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形,由等底等高去求三角形面積.例題2要注意平行線在轉(zhuǎn)化角的方面的作用.2、如圖，正方形ABCD，菱形AEFC，則∠FAB=46ABCDOE3.如圖，在矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于E，連結(jié)OE，已知∠CAE=15°，求∠BOE的度數(shù)。反思:1.說(shuō)明ΔAOB是等邊三角形;2.說(shuō)明ΔABE是等腰直角三角形;3.說(shuō)明ΔBOE是等腰三角形;4.求出∠CBO的度數(shù);5.得出結(jié)論.ABCDOE3.如圖，在矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，474、如圖,已知點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且AE平分∠FAD，試說(shuō)明BF+DE=AF成立。M反思:1.旋轉(zhuǎn)作圖,AMB與ADE是成旋轉(zhuǎn)圖形;2.說(shuō)明∠MAF=∠M=∠E=900-∠FAE3.得到結(jié)論.4、如圖,已知點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上48ＥＡＢＣＤＦ┐5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求CF和腰DC的長(zhǎng)。反思:利用輔助線,將梯形轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形ＥＡＢＣＤＦ┐5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC491、在四邊形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),下列條件能判斷這個(gè)四邊形是正方形的是（）A、AB=CD,AB∥CD,AC=BDB、AD∥BC,∠B=∠DC、AO=C0,BO=DO，AB=BCD、AO=BO=CO=D0，AC⊥BDD第四部分.基礎(chǔ)訓(xùn)練D第四部分.基礎(chǔ)訓(xùn)練502、把一張長(zhǎng)方形的紙條按圖那樣折疊，若得到∠AME＝70o，則∠EMN＝（）A、45oB、50o

C、55oD、60o

C2、把一張長(zhǎng)方形的紙條按圖那樣折疊，若得到∠AME51

3、菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍，則其最大內(nèi)角等于（）A、60°B、90°C、120°D、150°DEADCB∟3、菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍，則其最大內(nèi)角等于（525．(1)如圖，周長(zhǎng)為68的矩形ABCD被分成7個(gè)全等的矩形，則矩形ABCD的面積為（）（A）98（B）196（C）280（D）284

C5．(1)如圖，周長(zhǎng)為68的矩形ABCD被分成7個(gè)全等的矩形534、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分點(diǎn)，則△BEF的面積是（）A、8B、12C、16D、24DACBEFA4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分54(2)如圖，E為矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，AB＝AE＝4，BC＝2，則∠BEC是（）（A）15（B）30°（C）60°（D）75°D(2)如圖，E為矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，AB＝AE＝4556.如圖所示一種可活動(dòng)的菱形衣帽架。若墻上釘子的距離AB=BC=12㎝，且∠AMB=∠BNC=60°，那么做這樣的衣帽架至少需要

㎝長(zhǎng)的材料。（不計(jì)制作過(guò)程中的損耗）144MNCBA6.如圖所示一種可活動(dòng)的菱形衣帽架。若墻上釘子的距離AB=B56第五部分:復(fù)習(xí)小結(jié)1、請(qǐng)相互之間議一議，本課復(fù)習(xí)的內(nèi)容；2、相互之間提問(wèn)討論還存在的問(wèn)題。第五部分:復(fù)習(xí)小結(jié)1、請(qǐng)相互之間議一議，本課復(fù)習(xí)的內(nèi)容；571、已知正方形ABCD，延長(zhǎng)AB到E，連結(jié)EC，在BC上取BF=BE,連接AF并延長(zhǎng)交EC于G.試說(shuō)明AF與CE的關(guān)系.第六部分.課外作業(yè)1、已知正方形ABCD，延長(zhǎng)AB到E，連結(jié)EC，在BC上取B58ABCDEFG2、如圖，在Rt△ABC中,∠C=Rt∠，AD平分∠CAB，DF⊥AB，CE⊥AB，垂足分別為F、E，試說(shuō)明四邊形CDFG為菱形。ABCDEFG2、如圖，在Rt△ABC中,∠C=Rt∠，AD593.已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周長(zhǎng)是20cm，求梯形的各邊的長(zhǎng)．3.已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，6061一、判斷題：例題╳╳√1.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形（）2.兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.()3.兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.()例題61一、判斷題：例題╳╳√1.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形（61624.兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.()√√5.兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形.()6.兩條對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形.()╳7.矩形的四個(gè)角都相等；（）9.有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；（）8.有一個(gè)角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形；（）√√╳624.兩條對(duì)角線互相垂直的矩形√√5.兩條對(duì)角線相等的菱形6263二.填空題：相等2.兩條對(duì)角線

的四邊形是矩形?；ハ嗥椒智蚁嗟?.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是菱形。

互相垂直4.兩條對(duì)角線

的四邊形是菱形?；ハ啻怪逼椒?.兩條對(duì)角線

的矩形是正方形?；ハ啻怪?.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是矩形。6.兩條對(duì)角線

的菱形是正方形。相等63二.填空題：相等2.兩條對(duì)角線的63647.兩條對(duì)角線

的平行四邊形是正方形。8.兩條對(duì)角線

的四邊形是正方形。9.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角

，對(duì)角線

?；ハ啻怪辈⑾嗟然ハ啻怪逼椒植⑾嗟认嗟认嗟?0.已知平行四邊形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶2，則∠C＝

°，∠D＝

°。60120647.兩條對(duì)角線的646511.如圖(1),ABCD中，∠1=∠B=50°,則∠2=

。ABCD12(1)80°12.菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，∠BAD＝120°,則對(duì)角線AC等于__________.ABCDO(2)56511.如圖(1),ABCD中，∠1=∠B=50°,A656613.矩形ABCD中，AE⊥BD,垂足為E，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，且BE：ED＝1：3，若AB=4,則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________。8AEBOCDABDCE14.已知梯形的上、下底分別為3，5，一條腰長(zhǎng)為4，則另一腰的取值范圍______。343242<BC<66613.矩形ABCD中，AE⊥BD,垂足為E，對(duì)角線66671.ABCD，P為AC上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，作MN∥AB。問(wèn)圖中有幾個(gè)平行四邊形？有幾對(duì)全等三角形？有幾對(duì)等積的平行四邊形？AEDCBMFPN9個(gè)平行四邊形3對(duì)全等三角形3對(duì)等積的平行四邊形三、解答題671.ABCD，P為AC上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥A672、已知：如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且BE：ED=1：3，AD=6cm，求AE的長(zhǎng).ABDCOE2、已知：如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，對(duì)角線AC683、已知：如圖，若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與∠BAD的平分線相交于E，求證：AC=CE.ABDCEONABDCEONF3、已知：如圖，若從矩形ABCD的頂點(diǎn)CABDCEONABD694、已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)且BE=ED，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G，求證：PF+PG=AB.ABDCGEFPABDCGEFPH4、已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)且BE=ED，706、如圖,邊長(zhǎng)為6cm的菱形ABCD中,∠DAB=600,E為AB的中點(diǎn),F是AC上一動(dòng)點(diǎn),求EF+BF的最小值.6、如圖,邊長(zhǎng)為6cm的菱形ABCD中,717、在矩形ABCD中，Ｐ為ＡＤ邊上，或矩形內(nèi)部，或矩形外部任一點(diǎn)，分別畫(huà)出這三種情況，然后證明ＰＡ２＋ＰＣ２＝ＰＢ２＋ＰＤ２.8、兩條寬度均為４０米的國(guó)際公路相交成３０度角，那么這兩條公路相交處的公共部分的面積是多少？7、在矩形ABCD中，Ｐ為ＡＤ邊上，或矩形內(nèi)部，或矩形外部任729、把邊長(zhǎng)為１的正方形ＡＢＣＤ的四個(gè)角剪掉，得一個(gè)四邊形ＥＦＧＨ，怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且面積為原來(lái)的九分之五？證明并計(jì)算。9、把邊長(zhǎng)為１的正方形ＡＢＣＤ的四個(gè)角剪掉，得一個(gè)四邊形ＥＦ7310、菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｅ為ＢＣ中點(diǎn)，ＡＥ垂直BC，ＡＦ垂直ＣＤ，ＣＧ／／ＡＥ，（１）求菱形面積；（２）求角CHA的度數(shù)。10、菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｅ為ＢＣ中點(diǎn)，ＡＥ垂直BC，7411、三角形ABC中，角ＡＣＢ為９０度，ＢＣ的垂直平分線ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，交ＡＢ于Ｅ，Ｆ在ＤＥ上，并且ＡＦ＝ＣＥ，求證：四邊形ＡＣＥＦ是平行四邊形；當(dāng)角Ｂ多少度時(shí)，四邊形ＡＣＥＦ是菱形？11、三角形ABC中，角ＡＣＢ為９０度，ＢＣ的垂直平分線ＤＥ7512、正方形ＡＢＣＤ邊長(zhǎng)為１，一個(gè)直角頂點(diǎn)Ｐ在ＡＣ上滑動(dòng)，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｂ，另一邊與射線ＤＣ相交于點(diǎn)Ｑ，設(shè)Ａ，Ｐ之間距離為ｘ，三角形ＰＣＱ是否可能為等腰三角形？求出此時(shí)點(diǎn)Ｑ的位置和ｘ的值，若不能，說(shuō)明理由。12、正方形ＡＢＣＤ邊長(zhǎng)為１，一個(gè)直角頂點(diǎn)Ｐ在ＡＣ上滑動(dòng)，一76一、選擇：1、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）A、四邊都相等B、對(duì)角線互相垂直且平分C、對(duì)角線相等D、對(duì)角線平分一組對(duì)角2、下列命題中（）是假命題.A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.B、兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形.C、兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.D、兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形.CB試一試一、選擇：CB試一試77

二、填空：

1、菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為6和8，則菱形的邊長(zhǎng)＿＿＿，面積是＿＿＿.2、矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8，兩對(duì)角線的夾角為60o，則矩形的兩鄰邊分別長(zhǎng)＿＿＿和＿＿＿.5244ABCDAOOBCD你準(zhǔn)行1題2題二、填空：5244ABCDAOOBCD你準(zhǔn)行1題2題78如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？圖一AODPBCPCDOBA圖二7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.ABDCOP如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗咳绻}798.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，四邊形ADFE是平行四邊形.（1）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；（2）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，四邊形ADFE是矩形；（3）當(dāng)△ABC分別滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形.BCAEFD解:（3)AB=AC時(shí)，平行四邊形ADFE時(shí)菱形。AB=AC且∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是正方形。60°150°60°60°8.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角80如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F（1）求證OE=OF（2）如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由ABCDOFEMABCDFEMO如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC81自主探究一ABCPMQ已知：△ABC中AB=AC=a，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.（1）線段QM、PM、AB之間有什么關(guān)系？（2）圖中的三角形之間有什么關(guān)系？自主探究一ABCPMQ已知：△ABC中AB=AC=a，M為底82自主探究二ABCPMQ已知：△ABC中AB=AC=a，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.探究:當(dāng)M位于BC的什么位置時(shí),四邊形AQMP是菱形？并說(shuō)明你的理由.當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件菱形AQMP是正方形？自主探究二ABCPMQ已知：△ABC中AB=AC=a，M為底831、檢查一個(gè)門(mén)框是矩形的方法是（）

A、測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等.B、測(cè)量有三個(gè)角是直角.C、測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相平分.D、測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相垂直.2、順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（）A、矩形B、菱形C、梯形D、正方形BB考考你BB考考你843、菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍，則其最大內(nèi)角等于（）A、60°B、90°C、120°D、150°4、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分點(diǎn)，則△BEF的面積是（）A、8B、12C、16D、24DDACBEFAEADCB∟3、菱形的周長(zhǎng)等于高的8倍，則其最大內(nèi)角等于（855、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，則PE和PC的長(zhǎng)度之和最小可達(dá)到_____________ABCDEFGP5、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在86

如何設(shè)計(jì)花壇？在一塊正方形花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成全等的四部分（不考慮道路寬度），你有幾種方法？（至少說(shuō)出三種）

我是一名優(yōu)秀設(shè)計(jì)師如何設(shè)計(jì)花壇？87在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且CE交AB于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng).CEFDAB思考

點(diǎn)撥：對(duì)于折疊問(wèn)題，可以從折疊前后的兩個(gè)圖形是全等圖形入手進(jìn)行分析.CEFDAB思考點(diǎn)撥：對(duì)于折疊問(wèn)題，可以從折疊前88李大爺有一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形魚(yú)塘，魚(yú)塘四個(gè)角的頂點(diǎn)A、B、C、D上各有一棵大樹(shù)，現(xiàn)在李大爺想把魚(yú)塘擴(kuò)建成一個(gè)圓形或正方形魚(yú)塘（原魚(yú)塘周?chē)拿娣e足夠大）.又不想把樹(shù)挖掉（四棵大樹(shù)要在新建魚(yú)塘的邊沿上）.(1)若按圓形設(shè)計(jì),請(qǐng)畫(huà)出你設(shè)計(jì)的示意圖,并求出圓形魚(yú)塘的面積;(2)若按正方形設(shè)計(jì),請(qǐng)畫(huà)出你設(shè)計(jì)的示意圖.合作探究DBCA李大爺有一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形魚(yú)塘，魚(yú)塘四個(gè)角的頂89DCBAO(1)若按圓形設(shè)計(jì),請(qǐng)畫(huà)出你設(shè)計(jì)的示意圖,并求出圓形魚(yú)塘的面積;DCBAO(1)若按圓形設(shè)計(jì),請(qǐng)畫(huà)出你設(shè)計(jì)的示意圖,并求出圓90D∟AOCB當(dāng)直角三角形的斜邊一定時(shí),兩直角邊滿(mǎn)足什么條件時(shí)直角三角形的面積最大？你知道嗎？ED∟AOCB當(dāng)直角三角形的斜邊一定時(shí),兩直角邊滿(mǎn)足什91特殊四邊形專(zhuān)題復(fù)習(xí)課件925．如圖3，已知長(zhǎng)方形ABCD，過(guò)點(diǎn)C引∠A的平分線AM的垂線，垂足為M，AM交BC于E，連接MB、MD．（1）求證：BE=DC；（2）求證：∠MBE=∠MDC．5．如圖3，已知長(zhǎng)方形ABCD，過(guò)點(diǎn)C引∠A的平分線AM的垂936．如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC=120°．（1）求證：BD⊥DC；（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面積．6．如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，947．閱讀下面問(wèn)題和分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．

已知：四邊形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC．求證：四邊形ABCD是等腰梯形．分析：要證四邊形ABCD是等腰梯形，因?yàn)锳B＝DC，所以只要證四邊形ABCD是梯形即可；又因?yàn)锳D≠BC，故只需證AD∥BC即可；要證AD∥BC，現(xiàn)有如圖13①～④所示四種添作輔助線的方法，請(qǐng)任意選擇其中兩種圖形，對(duì)原題進(jìn)行證明．7．閱讀下面問(wèn)題和分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．95類(lèi)型之二平行四邊形的判定［2010·中山］如圖31-3，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說(shuō)明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．類(lèi)型之二平行四邊形的判定96【解析】（1）證明△ABC≌△EBF（理由AAS）；（2）證AD∥EF，就要證∠DAF=∠AFE=90°,再證AD=EF即可.證明：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°.在等邊△ABE中，∠ABE=60°，且AB=BE.∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴Rt△ABC≌Rt△EBF，∴AC=EF.（2）等邊△ACD中，∠DAC=60°，AD=AC，又∵∠BAC=30°,∴∠DAF=90°,∴AD∥EF.又∵AC=EF,∴AD=EF,∴四邊形ADFE是平行四邊形．【點(diǎn)悟】證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，有多種證明思路，我們必須注意分析，通過(guò)比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明思路.如本題中若證明兩組對(duì)邊分別平行（或分別相等），則證明過(guò)程顯然比證明一組對(duì)邊平行且相等復(fù)雜得多.【解析】（1）證明△ABC≌△EBF（理由AAS）；（2）證97類(lèi)型之三平行四邊形的綜合探究［2010·晉江］如圖31-4，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，并予以證明．（寫(xiě)出一種即可）關(guān)系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.已知：在四邊形ABCD中，，.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．類(lèi)型之三平行四邊形的綜合探究98例2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC+AD，H是CD中點(diǎn)，試說(shuō)明：BH⊥AHHE延長(zhǎng)AH，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E例2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC+AD，99特殊四邊形專(zhuān)題復(fù)習(xí)特殊四邊形專(zhuān)題復(fù)習(xí)100項(xiàng)目四邊形邊角對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等兩底平行兩腰相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角同一底上的角相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角相等互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角中心對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形二、幾種特殊四邊形的性質(zhì)：項(xiàng)目邊角對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性平行四邊形矩形菱形正方形等101

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1、定義：兩組對(duì)邊分別平行2、兩組對(duì)邊分別相等3、一組對(duì)邊平行且相等4、對(duì)角線互相平分1、定義：有一角是直角的平行四邊形2、三個(gè)角是直角的四邊形3、對(duì)角線相等的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2、四條邊都相等的四邊形3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形2、有一組鄰邊相等的矩形3、有一個(gè)角是直角的菱形1、兩腰相等的梯形2、在同一底上的兩角相等的梯形3、對(duì)角線相等的梯形條件平行矩形菱形正方形等腰梯形三、幾種特殊四邊1021、一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形。（）

2、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的的四邊形是平行四邊形。（）3、兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形。（）

4、一組鄰邊相等的的矩形是正方形。（

）

5、對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。（）

6、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（）√x√判斷題xxx1、一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形。（）

2、一組對(duì)邊平行1032.若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充條件_________________使得四邊形ABCD為菱形.AB=BC

ADBCADBC或AC⊥BD2.若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充條件________1045.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B1055.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

矩形，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC⊥BD我想到：三角形中位線定理5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B1065.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為

正方形

，并說(shuō)明理由。解：添加的條件__________AC＝BD我想到：三角形中位線定理且AC⊥BD5.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、B1076.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是

.2.5我想到：平行四邊形被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形面積相等.6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線A1087.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.ABDCOP

解:四邊形CODP是菱形∵DP∥OC,DP=OC∴四邊形CODP是平行四邊形

∵四邊形ABCD是矩形∴CO=DO∴四邊形CODP是菱形7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作D109如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗咳绻}目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？圖一AODPBCPCDOBA圖二如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀.ABDCOP如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？如果題1108.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，四邊形ADFE是平行四邊形.（1）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，四邊形ADFE是矩形；（2）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；（3）當(dāng)△ABC分別滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形.BCAEFD解:（3)AB=AC時(shí)，平行四邊形ADFE時(shí)菱形。AB=AC且∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是正方形。150°60°60°60°8.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角111如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于點(diǎn)F（1）求證OE=OF（2）如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由ABCDOFEMABCDFEMO如圖1:正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC1121.已知△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E是AC上的點(diǎn),且∠ABE=∠BAC,EF∥AB,DF∥BE,請(qǐng)猜想DF與AE有怎樣的特殊關(guān)系,并說(shuō)明理由.猜想:DF與AE相等且互相平分.若要使AE⊥DF,點(diǎn)E還應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?1.已知△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E是AC上的點(diǎn),且∠AB1132.已知BE、CF分別為△ABC中∠B、∠C的平分線，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求證：MN∥BC.AMNEFCBQR提示:證明△ABQ和△CAR是等腰三角形2.已知BE、CF分別為△ABC中∠B、∠C的平分線，AM⊥1143.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，試問(wèn)：當(dāng)BE、DF滿(mǎn)足什么條件時(shí)，EF與BD互相平分？并說(shuō)明理由．FBACDE3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，點(diǎn)E115例題選講已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD為平行四邊形.

你還有其他方法嗎？比較哪種方法更簡(jiǎn)單？例題選講已知：如圖，□ABCD中，E、F分別是邊AB、116已知：如圖，DC//EF//AB，DA//GH//CB，圖中有多少平行四邊形？

我能行1已知：如圖，DC//EF//AB，DA//GH//CB，圖中117已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CB的中點(diǎn).求證：EF=AB

我能行2已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD和CB的118已知：如圖，ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

我能行3已知：如圖，ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、C119已知：如圖，

ABCD中，E,F分別是對(duì)角線上兩點(diǎn)，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．已知：如圖，ABCD中，E,F分別是120［例題］一張四邊形紙板ＡＢＣＤ形狀如圖，（１）若要從這張紙板中剪出一個(gè)平行四邊形，并且使它的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形ＡＢＣＤ的四條邊上，可怎樣剪？ＥＦＧＨ⑵四邊形ＡＢＣＤ滿(mǎn)足什么情況下中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ為矩形？并說(shuō)明理由．解：分別取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ為平行四邊形．兩條對(duì)角線互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ［例題］一張四邊形紙板ＡＢＣＤ形狀如圖，ＥＦＧＨ⑵四邊形ＡＢ121解：一張四邊形紙板ＡＢＣＤ滿(mǎn)足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿時(shí)分別取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，就能剪出中點(diǎn)四邊形ＥＦＧＨ是矩形，ＥＦＧＨ理由如下：∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位線∴ＧＨ∥ＡＣ１２３∵ＡＣ⊥ＢＤ∴∠１＝９０°（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）∴∠２＝∠１＝９０°∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位線∴ＥＨ∥ＢＤ∴∠３＝∠２＝９０°，４５（三角形的中位線平行于第三邊）同理可得：∠４＝９０°，∠５＝９０°∴四邊形ＥＦＧＨ是矩形．（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）兩條對(duì)角線互相垂直解：一張四邊形紙板ＡＢＣＤ滿(mǎn)足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿時(shí)ＥＦ122練習(xí)：已知:如圖,AC與BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，ＡＥ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＤＨ．求證：四邊形EFGH是矩形練習(xí)：已知:如圖,AC與BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線，Ａ123例1：已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，ABCD且∠1=∠2

。

求證：四邊形ABCD是矩形例1：已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，ABCD124自我診斷1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）A對(duì)角線相等B對(duì)角線垂直C對(duì)角線互相平分且相等D對(duì)角線垂直且相等2、如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分線，則四邊形ABCD是（）A菱形B平行四邊形C矩形D不能確定

ＣC自我診斷1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）ＣC125合作交流、共同提高1.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，盡可能多地畫(huà)出平行四邊形．（課本P105練習(xí)第一題）合作交流、共同提高1.如圖，在平行四邊形ABCD中126

2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E、F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF,BG=DH.求證：GF=HE.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OCOB=OD∵AE=CF,BG=DH∴OE=OFOG=OH∴四邊形是GFHE平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．∴GF=HE(平行四邊形的對(duì)邊相等）2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)127思考：證明兩條線段相等常用哪些方法？

如圖，已知平行四邊形ABCD中，DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求證：BE=DF綜合應(yīng)用、鞏固提高思考：證明兩條線段相等常用哪些方法？如圖，已知平行四邊128方法一：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴DE∥BF,∠DEA=∠BFC=90。∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DA=BC,DA∥BC∴∠DAE=∠BCF在AED和CBF中∵∠DEA=∠BFC=90,∠DAE=∠BCF,DA=BC∴△AED≌△CBF(A.A.S.)∴DE=BF∵DE∥BF∴四邊形DEBF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）方法二：連接BD，交AC于O點(diǎn)∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OD=OB，OA=OC∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC=90?！逥A∥BC∴∠DAE=∠BCF∵DA=BC∴△AED≌△CFB(A.A.S.)∴AE=CF∴OE=OF∴四邊形DEBF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∴BE=DF(平行四邊形的對(duì)邊相等）O方法一：方法二：O1291、四邊形的四條邊分別為a,b,c,d,其中a,c為對(duì)邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么這個(gè)四邊形一定是（）A.兩組對(duì)角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直得四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形B1、四邊形的四條邊分別為a,b,c,d,其中a,c為對(duì)邊，且1303。如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rｔ∠，E是AC的中點(diǎn)，EF⊥BD于F，求證：DF＝BF。ABCDEF注意：在已知條件中有直角三角形及斜邊的中點(diǎn)時(shí)，常利用斜邊的中線是斜邊的一半這條性質(zhì)。3。如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rｔ∠，E是1311.如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABC是等邊三角形.求:∠θ的度數(shù).DBCAEθ1.如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABC是等邊三角形.DB1322.已知:如圖,四邊形ABCD是一個(gè)正方形,E是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)點(diǎn),且AC=EC.求:∠DAE的度數(shù).BDEAC2.已知:如圖,四邊形ABCD是一個(gè)正方形,E是BC延長(zhǎng)線上1333.已知:如圖,△ABC的兩條高為BE，CF，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).求證:ME＝MF.ACBEFM3.已知:如圖,△ABC的兩條高為BE，CF，點(diǎn)M為BC的1343：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。BADCE注：四邊形的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解，轉(zhuǎn)化的方法是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如連結(jié)對(duì)角線、延長(zhǎng)兩邊等。解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四邊形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√332213：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=601352）將一個(gè)平行四邊形的紙片沿一條對(duì)角線裁開(kāi)，能拼成（）種凸四邊形？3c

baabcccbbcc2）將一個(gè)平行四邊形的紙片沿一條對(duì)角線裁開(kāi)，能拼成（136專(zhuān)題二折疊問(wèn)題1)將菱形ABCD按圖折疊，使A與B重合，折痕為MN，∠A與∠1之間數(shù)量關(guān)系為（）。DC

M1ANB∠1＝2∠A專(zhuān)題二折疊問(wèn)題1)將菱形ABCD按圖折疊，使A與B重合137①四邊形ABCD是平行四邊形證明：∵ΔBCE、ΔACF是等邊三角形∴∠BCE＝∠ACF=60°即∠1＋∠3=∠2＋∠3=60°∴∠1=∠2又∵CB＝CE、CA＝CF∴ΔBAC≌ΔFEC（SAS）∴AB＝EF又∵AB＝AD∴AD＝EF同理可證：ΔBAC≌ΔBDE∴DE＝AF∴四邊形ABCD是EF

D

BC2312）已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四邊形ADEF是什么四邊形？說(shuō)明理由。A①四邊形ABCD是平行四邊形138（2）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？當(dāng)∠BAC等于150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形。（3）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在？當(dāng)∠BAC等于60°時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在。2）已知：以三角形ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四邊形ADEF是什么四邊形？說(shuō)明理由。

EFDA

BC（2）請(qǐng)猜測(cè)當(dāng)ΔABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？139

ADMPNBC1）梯形ABCD中，AD∥BC，中位線MN與對(duì)角線BD交于點(diǎn)P①試判斷BP與DP的大小關(guān)系（BP=DP）專(zhuān)題四幾何變通題AD1）140