第一章計數(shù)原理1．1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1．1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理．2．會利用兩個基本原理分析和解決一些簡單的實際問題．2013年3月3日政協(xié)十一屆三次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟(jì)南前往北京參加會議．他有兩類快捷途徑：一是乘坐飛機(jī)，二是乘坐動車組．假如這天飛機(jī)有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．

[問題]

此委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑？[提示]

3＋4＝7.此委員這一天從濟(jì)南到北京共有7種快捷途徑．1．完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝___________種不同的方法．2．如果完成一件事情有n類不同方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N＝_________________種不同的方法．分類加法計數(shù)原理m＋nm1＋m2＋…＋mn1．完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝__________種不同的方法．2．如果完成一件事情需要n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N＝_________________種不同方法．分步乘法計數(shù)原理m1×m2×…×mnm×n關(guān)于分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方法都能獨立地完成這件事，它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事各類(步)的關(guān)系各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的，即“分類互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性，“獨立”確保不重復(fù)，即“分步互依”1．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(

)A．7 B．12C．64 D．81解析：要完成長褲與上衣配成一套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法．故共有4×3＝12種不同的配法．答案：B2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是(

)A．18個 B．17個C．16個 D．10解析：分兩類：第1類，M中的元素作橫坐標(biāo)，N中的元素作縱坐標(biāo)，則有3×3＝9個在第一、二象限內(nèi)的點；第2類，N中的元素作橫坐標(biāo)，M中的元素作縱坐標(biāo)，則有4×2＝8個在第一、二象限內(nèi)的點．由分類加法計數(shù)原理，共有9＋8＝17個點在第一、二象限內(nèi)．答案：B3．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有________．解析：第1步取b的數(shù)，有6種方法；第2步取a的數(shù)，也有6種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×6＝36種方法．答案：364．有不同的紅球8個，不同的白球7個．(1)從中任意取出一個球，有多少種不同的取法？(2)從中任意取出兩個不同顏色的球，有多少種不同的取法？解析：(1)由分類加法計數(shù)原理得，從中任取一個球共有8＋7＝15種取法．(2)由分步乘法計數(shù)原理得，從中任取兩個不同顏色的球共有8×7＝56種取法.合作探究課堂互動分類加法計數(shù)原理

新華中學(xué)高一有優(yōu)秀班干部5人，高二有優(yōu)秀班干部7人，高三有優(yōu)秀班干部8人，現(xiàn)在學(xué)校組織他們?nèi)⒓勇糜位顒樱枰七x一人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

[思路點撥]

方法一(定義法)：由于要從三個年級的優(yōu)秀班干部中選出一人，故可分為三類：第一類從高一的5名優(yōu)秀班干部中選取一人，有5種選法；第二類從高二的7名優(yōu)秀班干部中選取一人，有7種選法；第三類從高三的8名優(yōu)秀班干部中選取一人，有8種選法．又根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有5＋7＋8＝20種不同的選法．方法二(枚舉法)：因為只取一人，這樣設(shè)三個年級的優(yōu)秀班干部分別為A1，A2，A3，A4，A5；B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7；C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，從以上20種情況中選一人有20種選法．方法三(表格法)：因為推選1人，從三個年級中選取，列表如下：所以共有5＋7＋8＝20種選法．年級所選優(yōu)秀班干部的具體情況高一A1，A2，A3，A4，A5高二B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7高三C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8

[規(guī)律方法]

利用分類加法計數(shù)原理解題的步驟和原則1．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？解析：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知：符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個．分步乘法計數(shù)原理

從{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3個不同的數(shù)作為拋物線方程y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，如果拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第一象限，則這樣的拋物線共有多少條？

[思路點撥]

[規(guī)律方法]

利用分步乘法計數(shù)原理的步驟：2．要安排一份5天的值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人值多天或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個人值班，此值班表共有多少種不同的排法？解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5種排法；再排第二天，此時不能排第一天已排的人，有4種排法；再排第三天，此時不能排第二天已排的人，有4種排法；同理，第四、五天各有4種排法．由分步乘法計數(shù)原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1280種．◎用0到6這7個數(shù)字，可以能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？【錯解一】

分4步進(jìn)行：第1步，排個位，在0,2,4,6中選一個有4種方法；第2步，排十位，有6種方法；第3步，排百位有5種方法；第4步，排千位有4種方法，共有方法種數(shù)4×6×5×4＝480.【錯解二】

考慮到首位不能排數(shù)字0，分4步進(jìn)行：第1步，排千位，在1,2,3,4,5,6中選1個，有6種方法；第2步，排個位，在0,2,4,6中選1個，有4種方法；第3步，排十位，在余下的5個數(shù)字中選1個，有5種方法；第4步，排百位，在余下的4個數(shù)字中選1個，有4種方法；共有6×4×5×4＝480種方法．

[提示]

錯解一忽視數(shù)字0不能在首位的約束，按此排法有可能為“0134”這種不符合要求的情況．錯解二忽視了題目“無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”的約束，按此排法有可能為“2032”，不符合條件．若先排首位，應(yīng)考慮排的是1,3,5還是2,4,6，因它直接關(guān)系到第2步排個位的選?。蝗粝扰艂€位，應(yīng)考慮是否排0，因為它關(guān)系到首位的選排．

【正解】

分兩類：第1類，首位取奇數(shù)數(shù)字(可取1,3,5中任一個)，則末位數(shù)字可取0,2,4,6中任一個，而百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位則不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，故共有3×4×5×4＝240種取法．第2類，首位取2,4,6中某個偶數(shù)數(shù)字，如2時，則末位只能取0,4,6中任一個，百位又不能取與上述重復(fù)的數(shù)字，十位不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，故共有3×3×5×4＝180種取法．故共有240＋180＝420個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).謝謝觀看！1.1.2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)新知突破1．進(jìn)一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理．2．能根據(jù)具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題．現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，若推選兩人做小組組長，這兩人需來自不同的班級．[問題]

有多少種不同的選法？

[提示]

分六類，每類又分兩步，從一班、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法，所以共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的方法1．分類要做到“____________”，分類后再對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．2．分步要做到“________”——完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．應(yīng)用兩個計數(shù)原理應(yīng)注意的問題不重不漏步驟完整兩個計數(shù)原理的使用方法(1)合理分類，準(zhǔn)確分步處理計數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，接下來要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么．分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)．也就是要確定一個合理的分類標(biāo)準(zhǔn)．分步時應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性．

(2)特殊優(yōu)先，一般在后解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想．

(3)分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸分類討論就是把一個復(fù)雜的問題，通過正確劃分，轉(zhuǎn)化為若干個小問題予以擊破，這是解決計數(shù)問題的基本思想．?dāng)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸也是化難為易，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化未知為已知的重要思想方法，對解決計數(shù)問題至關(guān)重要．解析：由分步乘法計數(shù)原理得5×5×5×5×5×5＝56.答案：A2．(2015·鄭州高二檢測)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(

)A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：選3門課程，要求A，B兩類至少各選1門，可分為兩種情況，一類是A類選修2門，B類選修1門，共有3×4＝12種選法；另一類是A類選修1門，B類選修2門，共有3×6＝18種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得符合條件的選法共有12＋18＝30(種)．答案：A3．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示五個盒子中．要求每個盒子只能放一個小球，且A不能放1,2號，B必須放在與A相鄰的盒子中．則不同的放法有________．解析：以小球A放的盒為分類標(biāo)準(zhǔn)，共分為三類：第一類，當(dāng)小球放在4號盒內(nèi)時，不同的放法有3×2×1＝6(種)；第二類，當(dāng)小球放在3號盒內(nèi)時，不同的放法有3×3×2×1＝18(種)；第三類，當(dāng)小球放在5號盒內(nèi)時，不同的放法有3×2×1＝6(種)．綜上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(種)．答案：30種4．由數(shù)字1,2,3,4(1)可組成多少個3位數(shù)；(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)；(3)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字．解析：(1)百位數(shù)共有4種選法；十位數(shù)共有4種選法；個位數(shù)共有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共可組成43＝64個3位數(shù)．(2)百位上共有4種選法；十位上共有3種選法；個位上共有2種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共可組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)4×3×2＝24(個)．(3)組成的三位數(shù)分別是432,431,421,321共4個.合作探究課堂互動組數(shù)問題

有0,1,2，…8這9個數(shù)字．(1)用這9個數(shù)字組成四位數(shù)，共有多少個不同的四位數(shù)？(2)用這9個數(shù)字組成四位的密碼，共有多少個不同的密碼？[思路點撥]

四位密碼的首位可為0，四位數(shù)的首位不能為0.

(1)題中未強(qiáng)調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復(fù)，故只需強(qiáng)調(diào)首位不為0，依次確定千、百、十、個位，各有8,9,9,9種方法．所以共能組成8×93＝5832個不同的四位數(shù)．(2)與(1)的區(qū)別在于首位可為0.所以共能組成94＝6561個不同的四位密碼．

[規(guī)律方法]

對于組數(shù)問題的計數(shù)：一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，每類中再分步來計數(shù)；但當(dāng)分類較多時，可用間接法先求出總數(shù)，再減去不符合條件的數(shù)去計數(shù)．1．(1)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的①四位密碼？②四位數(shù)？(2)從1到200的這200個自然數(shù)中，每個位數(shù)上都不含數(shù)字8的共有多少個？解析：(1)①完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×4×3×2＝120個．②完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．(2)本題應(yīng)分3類來解決：第1類，一位數(shù)中，除8以外符合要求的數(shù)有8個；第2類，兩位數(shù)中，十位數(shù)除0,8以外有8種選法，而個位數(shù)除8以外有9種選法，故兩位數(shù)中符合要求的數(shù)有8×9＝72個；第3類，三位數(shù)中，①百位數(shù)為1，十位數(shù)和個位數(shù)上的數(shù)字除8以外都有9種選法，故三位數(shù)中，百位數(shù)為1的符合要求的數(shù)有9×9＝81個；②百位數(shù)為2的數(shù)只有200這一個符合要求．故三位數(shù)中符合要求的數(shù)有81＋1＝82個．由分類加法計數(shù)原理知，符合要求的數(shù)字共有8＋72＋82＝162個．種植與涂色問題

用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一顏色．(1)若n＝6，則為甲圖著色時共有多少種不同的方法；(2)若為乙圖著色時共有120種不同方法，求n.[思路點撥]

解析：

(1)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有6種方法，為B著色有5種方法，為C著色有4種方法，為D著色有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有著色方法6×5×4×4＝480(種)．(2)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有n種方法，為B著色有n－1種方法，為C著色有n－2種方法，為D著色有n－3種方法，利用分步乘法計數(shù)原理，不同的著色方法數(shù)是：n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，解得(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120.即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.∴(n2－3n－10)(n2－3n＋12)＝0.∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5或n＝－2(舍去)，故n＝5.

[規(guī)律方法]

本題是一個涂色問題，是計數(shù)問題中的一個難點．求解時要注意以下兩點：一要考察全面；二要注意策略．如上述解法把A，D作為討論區(qū)域，求解時優(yōu)先考察這兩個區(qū)域．2.如圖有4個編號為1、2、3、4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的一種，并且相鄰(有公共邊界)的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂色方法？

解析：分為兩類：第一類：若1、3同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有1種涂法(與1相同)，4有4種涂法．故N1＝5×4×1×4＝80種．第二類：若1、3不同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有3種涂法，4有3種涂法．故N2＝5×4×3×3＝180種．綜上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260種．兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

假設(shè)在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？

[思路點撥]

因有兩人既會下象棋又會下圍棋，在選兩人時要分類討論．

[規(guī)律方法]

應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是分清“分類”與“分步”．使用分類加法計數(shù)原理時必須做到不重不漏，各類的每一種方法都能獨立完成；使用分步乘法計數(shù)原理時分步必須做到各步均是完成事件必須的、缺一不可的步驟．3．(1)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3＜a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)個數(shù)是多少？(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＞a2且a3＞a2，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)(如102,323,756等)，那么所有凹數(shù)個數(shù)是多少？解析：(1)分8類：當(dāng)中間數(shù)為2時，百位只能選1，個位可選1、0，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2個；當(dāng)中間數(shù)為3時，百位可選1、2，個位可選0、1、2，由分步乘法計數(shù)原理，有2×3＝6個；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為4時，有3×4＝12個；當(dāng)中間數(shù)為5時，有4×5＝20個；當(dāng)中間數(shù)為6時，有5×6＝30個；當(dāng)中間數(shù)為7時，有6×7＝42個；當(dāng)中間數(shù)為8時，有7×8＝56個；當(dāng)中間數(shù)為9時，有8×9＝72個；故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個．(2)分8類：當(dāng)中間數(shù)為0時，百位可選1～9，個位可選1～9，由分步乘法計數(shù)原理，有9×9＝81個；當(dāng)中間數(shù)為1時，百位可選2～9，個位可選2～9，由分步乘法計數(shù)原理，有8×8＝64個；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為2時，有7×7＝49個；當(dāng)中間數(shù)為3時，有6×6＝36個；當(dāng)中間數(shù)為4時，有5×5＝25個；當(dāng)中間數(shù)為5時，有4×4＝16個；當(dāng)中間數(shù)為6時，有3×3＝9個；當(dāng)中間數(shù)為7時，有2×2＝4個；當(dāng)中間數(shù)為8時，有1×1＝1個；故共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285個．◎有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？

ABCD【錯解】

第一步，種植A試驗田有4種方法；第二步，種植B試驗田有3種方法；第三步，種植C試驗田有3種方法；第四步，種植D試驗田有2種方法；由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝4×3×3×2＝72種種植方法．

[提示]

若按A，B，C，D的順序依次種植作物，會導(dǎo)致D試驗田的種植數(shù)受C試驗田的影響，情況復(fù)雜．實際上種植C，D兩塊試驗田再作為一步，用分類加法計數(shù)原理求解．【正解】

方法一：第一步，第二步與錯解相同．第三步，若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有1×3＝3種種植方法．若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×2＝4種種植方法．由分類加法計數(shù)原理知，有3＋4＝7種方法．第四步，由分步乘法計數(shù)原理有N＝4×3×7＝84種不同的種植方法．方法二：(1)若A，D種植同種作物，則A，D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3＝36種種植方法．(2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×2＝48種種植方法．綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N＝36＋48＝84種種植方法.謝謝觀看！1．2排列與組合1．2.1排列第1課時排列與排列數(shù)公式自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列數(shù)公式．3．能利用排列數(shù)公式進(jìn)行求值和證明．要從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？[提示]

從3名同學(xué)中選1名參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，可以看成是先選1名同學(xué)參加上午的活動，再選1名同學(xué)參加下午的活動這兩個步驟完成，先選1名同學(xué)參加上午的活動，共有3種選法；再選1名同學(xué)參加下午的活動，共有2種選法，∴完成這件事共有3×2＝6種選法．

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照___________________________排成一列，叫做_______________________________________的一個排列．排列的定義一定的順序從n個不同元素中取出m個元素排列數(shù)所有不同排列的個數(shù)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1對排列概念的理解(1)我們把問題中被取的對象叫做元素．(2)排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“提取元素”；二是“按一定的順序排列”．因此，排列要完成“一件事情”是“取出m個元素，再按順序排列”．(3)若干個元素按照一定順序排成一列，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個排列的元素和順序都相同時才是同一個排列．(4)研究排列問題時，要特別注意，排列是從一些不同元素中任取部分不同元素，這里既沒有重復(fù)的元素，又沒有重復(fù)抽取同一元素的情況．1．我體操男隊共六人參加男團(tuán)決賽，但在每個項目上，根據(jù)規(guī)定，只需五人出場，那么在鞍馬項目上不同的出場順序共有(

)A．6種 B．30種C．360種 D．A種解析：問題為6選5的排列即A.答案：D3．下列問題是排列問題的是________．(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，有多少種不同的結(jié)果；(2)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，有多少種不同的結(jié)果．答案：(2)4．寫出從a，b，c，d這4個字母中，每次取出2個字母的所有排列．解析：畫出樹形圖如圖所示：因此，共計有12個不同的排列，它們是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.合作探究課堂互動有關(guān)排列的概念

下列哪些問題是排列問題：(1)從10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會；(2)從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘；(3)以圓上的10個點為端點作弦；(4)從2,3,5,7,9中任取兩數(shù)分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少不同對數(shù)值？

[思路點撥]

判斷是否為排列問題的關(guān)鍵是：選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)．

(1)2名同學(xué)開會沒有順序，不是排列問題；(2)兩個數(shù)相乘，與這兩個數(shù)的順序無關(guān)，不是排列問題；(3)弦的端點沒有先后順序，不是排列問題；(4)顯然對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關(guān)系，與順序有關(guān)，是排列問題；(5)飛機(jī)票使用時，有起點和終點之分，故飛機(jī)票的使用是有順序的，是排列問題；(6)焦點在y軸上的橢圓，方程中的a，b必有a＞b，a，b的大小一定，不是排列問題．

[規(guī)律方法]

判定是不是排列問題，要抓住排列的本質(zhì)特征，第一步取出的元素?zé)o重復(fù)性，第二步選出的元素必須與順序有關(guān)才是排列問題．元素相同且排列順序相同才是相同的排列．元素有序還是無序是判定是不是排列的關(guān)鍵．1．判斷下列問題是否為排列問題．(1)選2個小組分別去種樹和種菜；(2)選5個小組去種花；(3)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(4)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員．

解析：(1)種樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題；(2)，(3)不存在順序問題，不屬于排列問題；(4)中每個人的職務(wù)不同，如甲可能當(dāng)班長，還是當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．樹形圖法在解決簡單排列問題中的應(yīng)用

從0,1,2,3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同數(shù)字排成一個三位數(shù)．(1)能組成多少個不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)；(2)若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數(shù)共有多少個，并寫出這些三位數(shù)．[思路點撥]

(1)組成三位數(shù)分三個步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個位上的數(shù)字，有2種不同的排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有3×3×2＝18個不同的三位數(shù).4分

畫出下列樹形圖：7分由樹形圖知，所有的三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. 8分

[規(guī)律方法]

“樹形圖”在解決排列問題個數(shù)不多的情況時，是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二位元素，再按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列．2．四人A，B，C，D坐成一排，其中A不坐在排頭，寫出所有的坐法．解析：表示所有坐法的樹形圖如下：由“樹形圖”可知，所有坐法為BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.有關(guān)排列數(shù)的計算◎從1,2,3,4,7,9這六個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，可組成多少個不同的對數(shù)值？【錯解】

符合條件的對數(shù)值可分為兩類：第1類，若1為真數(shù)，而2,3,4,7,9中任何一個為底數(shù)，得的對數(shù)值均為零，僅1個；第2類，若2,3,4,7,9中任何一個為真數(shù)，而不能作底數(shù)，其底在余下的4個數(shù)中選1個，共有不同的對數(shù)值5×4＝20(個)．綜上，共有21個不同的對數(shù)值．

[提示]

審題不細(xì)，重復(fù)計算．忽略了對數(shù)值相同的情況：log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94.解決此類問題要做到：審題細(xì)致，避免重復(fù)、遺漏；對數(shù)性質(zhì)loganbn＝logab(a＞0，a≠1，b＞0，n∈N*)．【正解】

分兩類：第1類，1作為真數(shù)時值為0，僅1個；第2類，對數(shù)的底與真數(shù)是從2,3,4,7,9中任取2個的排列有A＝5×4＝20(個)，共20＋1＝21(個)．但底數(shù)和真數(shù)都不相同而對數(shù)值相同的有l(wèi)og24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，故共有21－4＝17個不同的對數(shù)值.謝謝觀看！第2課時排列的應(yīng)用自主學(xué)習(xí)新知突破1．掌握常見的幾種有限制條件的排列問題．2．能應(yīng)用排列與排列數(shù)公式解決簡單的實際應(yīng)用問題．甲、乙、丙三人排成一排，你能寫出甲必須站在乙左側(cè)的全部排法嗎？(1)特殊元素優(yōu)先法：對于有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮_________元素，再考慮其他元素．(2)特殊位置優(yōu)先法：對于有特殊位置的排列問題，一般先考慮_________位置，再考慮其他位置．(3)相鄰問題捆綁法：對于要求某幾個元素相鄰的排列問題，可將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個“大”元素，與其他元素一起排列，然后再對_______元素內(nèi)部進(jìn)行排列．解決排列問題常用的方法特殊特殊捆綁(4)不相鄰問題插空法：對于要求有幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后將________的元素插入在已排好的元素之間及兩端空隙處．不相鄰1．6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為(

)A．36

B．120C．720 D．240答案：C2．要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有(

)A．1440種 B．960種C．720種 D．480種3．若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有________種．4．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼，紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？合作探究課堂互動無限制條件的排列問題

(1)有5個不同的科研小課題，從中選3個由高二(2)班的3個學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有5個不同的科研小課題，高二(6)班的3個學(xué)習(xí)興趣小組報名參加，每組限報一個課題，共有多少種不同的報名方法？[思路點撥]

(1)選出3個課題進(jìn)行排列；(2)每個學(xué)習(xí)小組都選一個課題．

(1)從5個不同的課題中選出3個，由興趣小組進(jìn)行研究，對應(yīng)于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列．因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60種．(2)由題意知，3個興趣小組可能報同一科研課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問題．由于每個興趣小組都有5種不同的選擇，且3個小組都選擇完才算完成這件事．由分步乘法計數(shù)原理得，共有5×5×5＝125種報名方法．

[規(guī)律方法]

沒有限制條件的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類題相對簡單，分清元素和位置即可．1．某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示________種不同的信號．答案：15“在”與“不在”的問題

6個人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在兩端；(3)甲不站左端，乙不站右端．[思路點撥]

[規(guī)律方法]

排列問題的實質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子．2．(1)某天課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共6門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？(2)用0,1,2，…，9十個數(shù)字可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)：①五位奇數(shù)；②大于30000的五位偶數(shù)．“相鄰”與“不相鄰”問題

7人站成一排，(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？(3)甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種？(4)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

[思路點撥]

元素相鄰，可以視為一個元素，即將甲、乙或甲、乙、丙“捆綁”在一起，視為一個元素，與其他元素一起排列．至于不相鄰問題，可以用“總”的排法減去“相鄰”的排法，也可以用插空法解決．

[規(guī)律方法]

元素相鄰和不相鄰問題的解題策略限制條件解題策略元素相鄰?fù)ǔ２捎谩袄墶狈?，即把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列元素不相鄰?fù)ǔ２捎谩安蹇铡狈ǎ聪瓤紤]不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素排列的空檔中3．4個男同學(xué)和3個女同學(xué)站成一排．(1)3個女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？(4)男生與女生相間排列的方法有多少種？◎從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有多少種？

[提示]

上述解答是首先考慮甲、乙兩個特殊元素，但考慮不周全，甲、乙二人還可能選不上呢，或者只選甲、乙二人中的一人呢，所以應(yīng)分三類情況．謝謝觀看！1.2.2組合第1課時組合與組合數(shù)公式自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解組合與組合數(shù)的概念．2．會推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會應(yīng)用公式求值．3．了解組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并會求值、化簡和證明．①從全班50人中選出7人組成班委會；②從全班50人中選出7人分別擔(dān)任班委中的7個不同的職務(wù)；③從1,2,5,11,19這五個數(shù)中取出兩個數(shù)可得多少個不同的真分?jǐn)?shù)；④從1,2,5,11,19這五個數(shù)中取出兩個數(shù)可得多少個不同的差．(1)上面問題中是排列問題的是________．(2)①③的共同特征是什么？

[提示]

(1)①與順序無關(guān)不是排列問題，②④選取元素不同且與順序有關(guān)是排列問題．③中任取出的兩個數(shù)是不等的，只能確定唯一一個真分?jǐn)?shù)，與順序無關(guān)，不是排列問題．(2)取出的元素不同且無需排序一般地，從n個________元素中_________________________________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．組合不同取出m(m≤n)個元素合成一組組合概念的理解(1)組合的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“提取元素”；二是“合成一組”，因此，組合要完成“一件事件”是“取出m個元素后再不管順序地并成一組”．(2)同排列的要求一樣，組合也要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也互不相同．(3)只要兩個組合中的元素完全相同，則無論元素的順序如何，都是相同的組合．只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合． 1．從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的______________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號__________表示．組合數(shù)所有不同組合的個數(shù)1

1．下面幾個問題中屬于組合問題的是(

)①由1,2,3,4構(gòu)成的雙元素集合；②5個隊進(jìn)行單循環(huán)足球比賽的分組情況；③由1,2,3構(gòu)成兩位數(shù)的方法；④由1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法．A．①③

B．②④C．①②

D．①②④解析：①②取出元素與順序無關(guān)，③④取出元素與順序有關(guān)．答案：C解析：當(dāng)x＝3x－8時，解得x＝4；當(dāng)28－x＝3x－8時，解得x＝9.答案：A3．按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說，每個人的血型為A，B，O，AB四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時，子女一定不是O型，若某人的血型為O型，則父母血型所有可能情況有________種．4．判斷下列各事件是排列問題，還是組合問題．(1)10個人相互各寫一封信，共寫多少封信？(2)10個人相互通一次電話，共通了多少次電話？(3)10支球隊進(jìn)行比賽，這次比賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(4)從10個人中選3個代表去開會，有多少種選法？(5)從10個人里選出3個不同學(xué)科的代表，有多少種選法？解析：(1)是排列問題．因為發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的．(2)是組合問題．因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有順序的區(qū)別．(3)是排列問題．因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有順序區(qū)別的．(4)是組合問題．因為3個代表之間沒有順序的區(qū)別．(5)是排列問題．因為3個人中，擔(dān)任哪一科的代表是有順序區(qū)別的.合作探究課堂互動組合的有關(guān)概念

判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次？(2)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法？(3)從1,2,3，…，9九個數(shù)字中任取3個，然后把這三個數(shù)字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(4)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名，去完成同一件工作，有多少種不同的選法？

[思路點撥]

要分清是組合還是排列問題，只要確定取出的這些元素是否與順序有關(guān)．

(1)兩人之間相互握手，與順序無關(guān)，故是組合問題；(2)分成的兩個學(xué)習(xí)小組沒有順序，是組合問題；(3)取出3個數(shù)字之后，無論怎樣改變這三個數(shù)字之間的順序，其和均不變，此問題只與取出元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題；(4)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．

[規(guī)律方法]

區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．1．判斷下列問題是組合問題還是排列問題．并用組合數(shù)或排列數(shù)表示出來．(1)8人相互發(fā)一個電子郵件，共寫了多少個郵件？(2)10支球隊以單循環(huán)制進(jìn)行比賽，共需要進(jìn)行多少場比賽？(3)10支球隊主客場制進(jìn)行比賽，共需要進(jìn)行多少場比賽？(4)有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，不同的選法種數(shù)是多少？寫出問題的組合

(1)已知a，b，c，d這4個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合；(2)已知A，B，C，D，E這5個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．

[思路點撥]

先將元素按一定順序?qū)懗?，然后按照順序用圖示的方法逐步寫出各個組合即可．

[規(guī)律方法]

1.此類列舉所有從n個不同元素中選出m個元素的組合，可借助本例所示的“順序后移法”(如方法一)或“樹形圖法”(如方法二)，直觀地寫出組合做到不重復(fù)不遺漏．2．由于組合與順序無關(guān)．故利用“順序后移法”時箭頭向后逐步推進(jìn)，且寫出的一個組合不可交換位置．如寫出ab后，不必再交換位置為ba，因為它們是同一組合．畫“樹形圖”時，應(yīng)注意頂層及下枝的排列思路．防止重復(fù)或遺漏．2．從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？有關(guān)組合數(shù)的計算答案：(1)66

(2)466謝謝觀看！第2課時組合的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)新知突破1．掌握組合的有關(guān)性質(zhì)．2．能解決有關(guān)組合的簡單實際問題．3．能解決無限制條件的組合問題．有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有多少種？排列與組合的共同點都是“從n個不同元素中，任取m個元素”，如果交換兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，就是___________；反之，如果交換兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，就是___________．簡而言之，__________與順序有關(guān)，__________與順序無關(guān)．排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別排列問題組合問題排列問題組合問題解決該問題的一般思路是先選后排，先____________后____________，解題時應(yīng)靈活運用_______________原理和__________________原理．分類時，注意各類中是否分步，分步時注意各步中是否分類．解排列組合綜合題的思路組合排列分類加法計數(shù)分步乘法計數(shù)1．將5本不同的書分給4人，每人至少1本，不同的分法種數(shù)有(

)A．120種 B．5種C．240種 D．180種2．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有(

)A．36種 B．48種C．96種 D．192種3．安排3名支教教師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有________種(用數(shù)字作答)．4．課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有1名女生當(dāng)選；(2)兩名隊長當(dāng)選；(3)至少有1名隊長當(dāng)選．合作探究課堂互動有限制條件的組合問題

“抗震救災(zāi)，眾志成城”．在我國四川“5·12”地震發(fā)生后，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴抗震救災(zāi)前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？

[思路點撥]

分清“至少”、“至多”的含義，合理的分類或分步進(jìn)行求解．[規(guī)律方法]

1.含“至多”、“至少”問題的解法解組合問題時，常遇到至多、至少問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運算量，當(dāng)限制條件較多時要恰當(dāng)分類，逐一求解．2．“都是”、“都不是”與某元素的“含”、“不含”是同類型的，首先需將給定的總元素分類，才能判斷所選取的元素分別來源于哪一類元素中．1．課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選；(5)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選．組合中的分組問題

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．

[思路點撥]

(1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個人一個人地來取，(2)是“均勻分組”問題，(3)是分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．

[規(guī)律方法]

“分組”與“分配”問題的解法(1)本題中的每一個小題都提出了一種類型的問題，搞清楚類型的歸屬對解題大有裨益，要分清是分組問題還是分配問題，這個是很關(guān)鍵的．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n?。虎弁耆蔷鶆蚍纸M，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(3)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．2．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．幾何中的組合問題

(1)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四面體？(2)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？

[思路點撥]

四面體可看作不共面四點的一個組合，四棱錐是共面四點與平面外一點的組合．(1)可用間接法，(2)可用直接法．[規(guī)律方法]

1.幾何組合應(yīng)用題，主要考查組合的知識和空間想象能力，題目多是以立體幾何中的點、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合．這類問題情景新穎，多個知識點交匯在一起，綜合性強(qiáng)．2．這類題的解答方法與組合應(yīng)用題的方法基本一樣，也就是把圖形中的隱含條件視為有限制條件的組合應(yīng)用題．計算時可用直接法，也可用間接法．要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數(shù)．3．平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線．(1)經(jīng)過這9個點，可確定多少條直線？(2)以這9個點為頂點，可以確定多少個三角形？(3)以這9個點為頂點，可以確定多少個四邊形？組合、排列的綜合問題

現(xiàn)有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：(1)共有幾種放法？(2)恰有1個空盒，有幾種放法？(3)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？

[思路點撥]

此題關(guān)鍵是(2)，恰有1個空盒相當(dāng)于一定有2個小球放在同一個盒子中，因此，先從4個不同的小球中取出2個放在一起(作為一個整體)，是組合問題．又因為4個盒子中只有1個是空的，所以另外3個盒子中分別放入2個，1個，1個小球，是排列問題．

[規(guī)律方法]

1.解排列組合的綜合問題，首先要認(rèn)真審題，把握問題的實質(zhì)，分清是排列還是組合問題，再注意結(jié)合分類與分步兩個原理，要按元素的性質(zhì)確立分類的標(biāo)準(zhǔn)，按事情的發(fā)生過程確定分步的順序．2．解排列組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進(jìn)行排列．4．某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，求該外商不同的投資方案有多少種？◎1.有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球排成一排，則不同的排法有________種．答案：562．?dāng)?shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組共有13名學(xué)生，其中男生8人，女生5人，從這13人里選出3個人準(zhǔn)備做報告．在選出的3個人中，至少要有1名女生，一共有多少種選法？

[提示]

錯因是上述解法中有重復(fù)計數(shù)．不妨設(shè)g1，g2，…，g5表示5名女生，b1，b2，…，b8表示8名男生．(1)先選1名女生是g1，然后任選的2人是g2，b1；(2)先選1名女生是g2，然后任選的2人是g1，b1.顯然這是與(1)相同的選法．對元素有“至少”或“至多”限制的組合應(yīng)用題用直接法和間接法都可以，直接法根據(jù)條件分類列舉，有時會分類過多；間接法用“沒有限定條件”的總數(shù)減去“不符合條件”的種數(shù)，以免造成重復(fù)．謝謝觀看！1.3二項式定理1．3.1二項式定理自主學(xué)習(xí)新知突破1．能用計數(shù)原理證明二項式定理．2．掌握二項式定理和二項展開式的通項公式．3．能解決與二項式定理有關(guān)的簡單問題．[問題1]

我們在初中學(xué)習(xí)了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，試用多項式的乘法推導(dǎo)(a＋b)3、(a＋b)4的展開式．[提示1]

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.

[問題2]

你能用組合的觀點說明(a＋b)4是如何展開的嗎？二項式定理及相關(guān)的概念又因為0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，構(gòu)成首項為0，公差為6，末項為96的等差數(shù)列，由96＝0＋(n－1)×6得n＝17，故系數(shù)為有理數(shù)的共有17項.合作探究課堂互動二項式定理的展開式

[規(guī)律方法]

熟記二項式(a＋b)n的展開式，是解決此類問題的關(guān)鍵，方法二相對方法一來說顯得更加簡單，我們在解較復(fù)雜的二項式問題時，可根據(jù)二項式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行適當(dāng)變形，簡化展開二項式的過程，使問題的解決更加簡便．二項式定理的逆用[思路點撥]

(1)共有n＋1項，(－2)按升冪排列符合二項式定理形式．(2)共有n＋1項，x＋1的指數(shù)最高次為n，依次遞減至0，且每項的指數(shù)等于對應(yīng)的組合數(shù)的下標(biāo)與上標(biāo)的差．

[規(guī)律方法]

本題是二項式定理的逆用，需要熟悉二項展開式的每個單項式的結(jié)構(gòu)，若對公式還不很熟悉，可先把x＋1換元為a，再分析結(jié)構(gòu)形式，則變得簡單些．

求二項展開式的特定項

[思路點撥]

[規(guī)律方法]

求展開式特定項的關(guān)鍵是抓住其通項公式，求解時先準(zhǔn)確寫出通項，再把系數(shù)和字母分離，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理項問題的解法，要保證字母的指數(shù)一定為整數(shù)．

[提示]

上面解答將“二項展開式中的第三項的二項式系數(shù)”當(dāng)作了“第三項的系數(shù)”，解答顯然是錯誤的．謝謝觀看！1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)自主學(xué)習(xí)新知突破1．了解楊輝三角，并能由它解決簡單的二項式系數(shù)問題．2．了解二項式系數(shù)的性質(zhì)并能簡單應(yīng)用．3．掌握“賦值法”并會靈活應(yīng)用．(a＋b)n的展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式：(a＋b)11

1

(a＋b)21

2

1

(a＋b)31

3

3

1

(a＋b)41

4

6

4

1

(a＋b)51

5

10

10

5

1

(a＋b)61

6

15

20

15

6

1

[問題1]

你從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？[提示1]

在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)字之和．[問題2]

計算每一行的系數(shù)和，你又看出什么規(guī)律？[提示2]

2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n.楊輝三角的特點相等和二項式系數(shù)的性質(zhì)相等2n

1．在(a＋b)10的二項展開式中與第3項二項式系數(shù)相同的項是(

)A．第8項 B．第7項C．第9項 D．第10項2．在(1＋x)n(n∈N*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n等于(

)A．8 B．9C．10 D．11解析：只有x5的系數(shù)最大，x5是展開式的第6項，第6項為中間項，展開式共有11項，故n＝10.答案：C3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．解析：依題可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：－256合作探究課堂互動與“楊輝三角”有關(guān)的問題

如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，…，記這個數(shù)列的前n項和為Sn，求S19.[思路點撥]

解答本題可觀察數(shù)列的各項在楊輝三角中的位置，把各項還原為各二項展開式的二項式系數(shù)，利用組合的性質(zhì)求和．

[規(guī)律方法]

解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路是：(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．1．(1)如圖所示，滿足①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n≥2)的第2個數(shù)是________；(2)如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數(shù)均為________．二項展開式系數(shù)和問題

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

[思路點撥]

2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.二項式系數(shù)的性質(zhì)

[思路點撥]

[規(guī)律方法]

1.求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得．【正解】

設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B.則：A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，謝謝觀看！

第二章隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2．1.1離散型隨機(jī)變量自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解隨機(jī)變量的意義．2．學(xué)會區(qū)分離散型與非離散型隨機(jī)變量，并能舉出離散型隨機(jī)變量的例子．3．理解隨機(jī)變量所表示試驗結(jié)果的含義，并恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．1．在一塊地里種下10顆樹苗，成活的樹苗棵樹為X.[問題]

X取什么數(shù)字？[提示]

X＝0,1,2，…，10.2．?dāng)S一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，反面向上兩種結(jié)果．[問題]

這種試驗的結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？[提示]

可以，用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上．1．定義：在隨機(jī)試驗中，確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個______________都用一個______________表示，在這個對應(yīng)關(guān)系下，______隨著____________的變化而變化．像這種隨著____________變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．2．表示：隨機(jī)變量常用字母____，____，____，____，…表示．隨機(jī)變量試驗結(jié)果確定的數(shù)字?jǐn)?shù)字試驗結(jié)果試驗結(jié)果XYξη所有取值可以_____________的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量一一列出理解隨機(jī)變量應(yīng)注意的問題(1)試驗是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，試驗的所有可能結(jié)果是有限的、明確的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．(2)有些隨機(jī)試驗結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)．如擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，這兩種結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)，但可以用0表示正面向上，1表示反面向上，即隨機(jī)變量將隨機(jī)試驗結(jié)果數(shù)量化．1．下面給出的隨機(jī)變量中離散型隨機(jī)變量的個數(shù)是(

)①某機(jī)場候機(jī)室中一天的乘客流量ξ；②某水文站觀測到的一天中長江的水位ξ；③連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)η；④擲一枚骰子，正面向上的點數(shù)η.A．4個 B．3