5.5.２定積分在幾何上的應(yīng)用5.5.３定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用5.5定積分的應(yīng)用5.5.１定積分的微元法15.5.２定積分在幾何上的應(yīng)用5.5.３定積分在5.5.1定積分的微元法１.復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟(1)分割把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間(2)近似代替(3)近似求和(4)取極限25.5.1定積分的微元法１.復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個(gè)2.將以上四個(gè)步驟概括為兩步：32.將以上四個(gè)步驟概括為兩步：33.求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，得定積分的微元法：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：這種方法稱(chēng)為定積分的微元法：43.求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，可以用定積分表示的量Ｑ，4.用微元法分析問(wèn)題的一般步驟:（1）定變量．根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)積分變量，并確定變量的變化范圍，如取為積分變量，的變化區(qū)間為；（3）求積分．將上述微元“積”起來(lái)，得到所求量（2）取微元．在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間得到微分元素；54.用微元法分析問(wèn)題的一般步驟:（3）求積分．將上述微元“積5.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)在區(qū)間上有正,有負(fù)時(shí)

1.定積分的幾何意義65.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用當(dāng)時(shí)當(dāng)２.用定積分的微元法求由曲線所圍成的平面圖形的面積。如圖所示：7２.用定積分的微元法求由曲線所圍成的平面圖形的面積。如圖所示當(dāng)時(shí)有時(shí)有時(shí)

8當(dāng)有時(shí)8例１.求拋物線和軸所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．例２.求拋物線和直線所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．解方程組得9例１.求拋物線和軸所圍成例３求曲線所圍成的圖形面積.解如圖所示，解方程組10例３求曲線所圍成的圖形面積.解如圖所示，解方程組10例4求由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．11例4求由曲線和直線例5求橢圓解根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和定積分的幾何意義，有12例5求橢圓解根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和定積分的幾何意義，有12３.用定積分的微元法求由曲線所圍成的圖形

13３.用定積分的微元法求由曲線所圍成的圖形(3)由連續(xù)曲線與直線所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論的情況

)(4)由連續(xù)曲線與直線所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論的情況)

14(3)由連續(xù)曲線與直線(4)由連續(xù)曲線與例5求曲線所圍成的圖形面積。.解如圖所示，解方程組15例5求曲線所圍成的圖形面積。.解如圖所示，解方程組15課堂小結(jié)可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法２.由曲線所圍成的平面圖形的面積為：16課堂小結(jié)可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分1３.由曲線所圍成的圖形：17３.由曲線所圍成的圖形：17*2.旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線與直線，，圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，怎樣求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積？?復(fù)習(xí)引入：18*2.旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線復(fù)習(xí)引入：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法２.由曲線所圍成的平面圖形的面積為：19復(fù)習(xí)引入：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分３.由曲線所圍成的圖形：20３.由曲線所圍成的圖形：20用微元法來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積:在上任取一小區(qū)間得微分元素：21用微元法來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積:在上任取一小區(qū)間(2)由曲線與直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為(1)由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積22(2)由曲線與直線(1)由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得例1證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為解：以圓錐的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以圓錐的高為軸，建立直角坐標(biāo)系，直線OA的方程為則圓錐可以看成是由直角三角形ABO繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體23例1證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為解：以圓錐軸和例2求橢圓分別繞軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得:特別地,當(dāng)

時(shí),得球體體積繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得:24軸和例2求橢圓分別繞軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)例3求由拋物線與直線所圍成的封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：如圖所示，25例3求由拋物線與直線所圍成的封閉圖形例4求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖所示.解方程組26例4求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖么么么么方面Sds絕對(duì)是假的么么么么方面Sds絕對(duì)是假的28282929課堂小結(jié)：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法30課堂小結(jié)：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分3.由曲線與直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為２.由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積313.由曲線與直線２.由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)一.變力沿直線作功§9定積分的物理應(yīng)用復(fù)習(xí)引入:定積分的微元法.1.若物體在常力F作用下,沿F的方向移動(dòng)s

距離,則力對(duì)物體所作的功為：W=Fs32一.變力沿直線作功

得dW=F(x)dx則

２.設(shè)物體所受到的力是位置x的函數(shù),

取x為積分變量,

變化區(qū)間為[a,b].

由x=a移到x=b,求物體在變力F(x)作用下,沿力的方向力對(duì)物體所作的功.用定積分的微元法來(lái)解決這一問(wèn)題:(1)任取子區(qū)間[x,x+dx]33得dW=F(x)dx則２.設(shè)物體所受到的力是位置x

例1

設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長(zhǎng)1厘米,

從而(焦耳)求伸長(zhǎng)10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,當(dāng)x=0.01米時(shí),解:F=980x.34例1設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長(zhǎng)1厘米,

例2

一個(gè)圓臺(tái)形的水池內(nèi)盛滿了水,水池高為5米,上底半徑為3米,下底半徑為2米,求將水池內(nèi)的水全部抽出需作多少功?

解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,35例2一個(gè)圓臺(tái)形的水池內(nèi)盛滿了水,水池高為5米,

解

將水桶從井里提上來(lái)所作的功為

下面計(jì)算將繩子從井里提上來(lái)所作的功,則所作的總功為

例3

一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的繩子系著，將它從20m深的井里提上來(lái)需作多少功?o2036解將水桶從井里提上來(lái)所作的功為下1.設(shè)有一面積為S的平板,水平放置在液體下深度x處,則平板一側(cè)所受壓力為:則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決.2.如果平板垂直放置在液體下,二.液體的壓力371.設(shè)有一面積為S的平板,水平放置在液體下深度x處,則平板一例4.有一個(gè)水平放置的圓形管道，直徑為2米，有一道閘門(mén)，當(dāng)水半滿時(shí)，求閘門(mén)受到的力。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。38例4.有一個(gè)水平放置的圓形管道，直徑為2米，有一道閘門(mén)，解：例5半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油,求一個(gè)端面所受的壓力.解

yox39例5半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油,求一個(gè)端面所受的例6

求如圖的等腰梯形水閘門(mén)一側(cè)所受的壓力.解

2o2y(2,1)x40例6求如圖的等腰梯形水閘門(mén)一側(cè)所受的壓力.解2o2y

例7

設(shè)有質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿,解：任意[x,x+dx]oaxL另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于同一直線上,且到桿的近段距離為a,求桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.三.引力由萬(wàn)有引力定律,兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力為

若要計(jì)算細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,須用微元法解決.區(qū)間[x,x+dx]對(duì)應(yīng)的細(xì)桿質(zhì)量為41例7設(shè)有質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿,解：任意[x,

則引力為四.連續(xù)函數(shù)的平均值n個(gè)數(shù)的平均值為而連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值,需要用定積分計(jì)算.42則引力為四.連續(xù)函數(shù)的平均值n個(gè)數(shù)的平均值為而連續(xù)函數(shù)

將[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上依次任取

則

由定積分定義可知43將[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上依次任取則由定例1

求從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解

注意:積分中值定理中的f()就是f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值.44例1求從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解注5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸納起來(lái)一般分為兩大類(lèi)型：第一，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分求原來(lái)的函數(shù)；第二，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分計(jì)算產(chǎn)量由到時(shí)原來(lái)函數(shù)的改變量．一般地，已知邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)等去考慮總成本、總收入、總利潤(rùn)等問(wèn)題．455.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(1)已知某產(chǎn)品的邊際成本為，固定成本為，則產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)總成本函數(shù)為產(chǎn)量由變到時(shí)，總成本函數(shù)的改變量為465.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(1)已知某產(chǎn)品的邊際成本5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(2)已知某產(chǎn)品的邊際收入為，則產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)總收入函數(shù)為產(chǎn)量由變到時(shí)，總收入函數(shù)的改變量為475.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(2)已知某產(chǎn)品的邊際收入5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(3)某產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)為則產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)總利潤(rùn)函數(shù)為積分是不計(jì)固定成本下的利潤(rùn)函數(shù)，有時(shí)也稱(chēng)為毛利潤(rùn)．產(chǎn)量由變到時(shí)，總利潤(rùn)函數(shù)的改變量為485.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(3)某產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)為45.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用例30已知某產(chǎn)品的邊際成本為（百元/噸）,求：產(chǎn)量由2噸增加到5噸時(shí)總成本的改變量及平均成本.解:（百元）產(chǎn)量由2噸增加到5噸時(shí)總成本的改變量平均成本為（百元/噸）495.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用例30已知某產(chǎn)品的邊際成本5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/件)，邊際收入為，若在最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)30件產(chǎn)品，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？例31解:該產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)為令,即，得惟一的駐點(diǎn);505.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用解:且，所以產(chǎn)量為件時(shí)，利潤(rùn)最大．在最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)件產(chǎn)品，利潤(rùn)的改變量為亦即最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)30件產(chǎn)品，利潤(rùn)會(huì)減少27萬(wàn)元．(萬(wàn)元)515.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用解:且課堂練習(xí)：（答案：2

）3．若某產(chǎn)品的固定成本為5萬(wàn)元，邊際成本為（萬(wàn)元/百件），求總成本函數(shù)．（答案：）1．求由曲線在上與軸所圍成圖形的面積

．2．求由拋物線，所圍成圖形的面積

．（答案：）52課堂練習(xí)：（答案：2）3．若某產(chǎn)品的固定成本為5萬(wàn)元，邊1．定積分的幾何意義．2．利用定積分求平面圖形的面積．3．利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積．小結(jié)4．利用定積分求經(jīng)濟(jì)變量函數(shù)．5．利用定積分求經(jīng)濟(jì)變量的改變量．531．定積分的幾何意義．2．利用定積分求平面圖形的面積．3．作業(yè)

習(xí)題5,14151617181954作業(yè)習(xí)題5,1415.5.２定積分在幾何上的應(yīng)用5.5.３定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用5.5定積分的應(yīng)用5.5.１定積分的微元法555.5.２定積分在幾何上的應(yīng)用5.5.３定積分在5.5.1定積分的微元法１.復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟(1)分割把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間(2)近似代替(3)近似求和(4)取極限565.5.1定積分的微元法１.復(fù)習(xí)引入：求曲邊梯形面積的四個(gè)2.將以上四個(gè)步驟概括為兩步：572.將以上四個(gè)步驟概括為兩步：33.求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，得定積分的微元法：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：這種方法稱(chēng)為定積分的微元法：583.求曲邊梯形面積的方法與步驟推廣，可以用定積分表示的量Ｑ，4.用微元法分析問(wèn)題的一般步驟:（1）定變量．根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)積分變量，并確定變量的變化范圍，如取為積分變量，的變化區(qū)間為；（3）求積分．將上述微元“積”起來(lái)，得到所求量（2）取微元．在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間得到微分元素；594.用微元法分析問(wèn)題的一般步驟:（3）求積分．將上述微元“積5.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)在區(qū)間上有正,有負(fù)時(shí)

1.定積分的幾何意義605.5.2定積分在幾何上的應(yīng)用當(dāng)時(shí)當(dāng)２.用定積分的微元法求由曲線所圍成的平面圖形的面積。如圖所示：61２.用定積分的微元法求由曲線所圍成的平面圖形的面積。如圖所示當(dāng)時(shí)有時(shí)有時(shí)

62當(dāng)有時(shí)8例１.求拋物線和軸所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．例２.求拋物線和直線所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．解方程組得63例１.求拋物線和軸所圍成例３求曲線所圍成的圖形面積.解如圖所示，解方程組64例３求曲線所圍成的圖形面積.解如圖所示，解方程組10例4求由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積．解：作出圖形．65例4求由曲線和直線例5求橢圓解根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和定積分的幾何意義，有66例5求橢圓解根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和定積分的幾何意義，有12３.用定積分的微元法求由曲線所圍成的圖形

67３.用定積分的微元法求由曲線所圍成的圖形(3)由連續(xù)曲線與直線所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論的情況

)(4)由連續(xù)曲線與直線所圍成的平面圖形的面積（我們僅討論的情況)

68(3)由連續(xù)曲線與直線(4)由連續(xù)曲線與例5求曲線所圍成的圖形面積。.解如圖所示，解方程組69例5求曲線所圍成的圖形面積。.解如圖所示，解方程組15課堂小結(jié)可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法２.由曲線所圍成的平面圖形的面積為：70課堂小結(jié)可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分1３.由曲線所圍成的圖形：71３.由曲線所圍成的圖形：17*2.旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線與直線，，圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，怎樣求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積？?復(fù)習(xí)引入：72*2.旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線復(fù)習(xí)引入：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法２.由曲線所圍成的平面圖形的面積為：73復(fù)習(xí)引入：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分３.由曲線所圍成的圖形：74３.由曲線所圍成的圖形：20用微元法來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積:在上任取一小區(qū)間得微分元素：75用微元法來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積:在上任取一小區(qū)間(2)由曲線與直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為(1)由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積76(2)由曲線與直線(1)由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得例1證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為解：以圓錐的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以圓錐的高為軸，建立直角坐標(biāo)系，直線OA的方程為則圓錐可以看成是由直角三角形ABO繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體77例1證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為解：以圓錐軸和例2求橢圓分別繞軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得:特別地,當(dāng)

時(shí),得球體體積繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),得:78軸和例2求橢圓分別繞軸旋轉(zhuǎn)所得橢球體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)例3求由拋物線與直線所圍成的封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：如圖所示，79例3求由拋物線與直線所圍成的封閉圖形例4求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖所示.解方程組80例4求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖么么么么方面Sds絕對(duì)是假的么么么么方面Sds絕對(duì)是假的82288329課堂小結(jié)：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分按以下方法得到：1.定積分的微元法84課堂小結(jié)：可以用定積分表示的量Ｑ，在區(qū)間［a,b］上的定積分3.由曲線與直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為２.由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積853.由曲線與直線２.由連續(xù)曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)一.變力沿直線作功§9定積分的物理應(yīng)用復(fù)習(xí)引入:定積分的微元法.1.若物體在常力F作用下,沿F的方向移動(dòng)s

距離,則力對(duì)物體所作的功為：W=Fs86一.變力沿直線作功

得dW=F(x)dx則

２.設(shè)物體所受到的力是位置x的函數(shù),

取x為積分變量,

變化區(qū)間為[a,b].

由x=a移到x=b,求物體在變力F(x)作用下,沿力的方向力對(duì)物體所作的功.用定積分的微元法來(lái)解決這一問(wèn)題:(1)任取子區(qū)間[x,x+dx]87得dW=F(x)dx則２.設(shè)物體所受到的力是位置x

例1

設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長(zhǎng)1厘米,

從而(焦耳)求伸長(zhǎng)10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,當(dāng)x=0.01米時(shí),解:F=980x.88例1設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長(zhǎng)1厘米,

例2

一個(gè)圓臺(tái)形的水池內(nèi)盛滿了水,水池高為5米,上底半徑為3米,下底半徑為2米,求將水池內(nèi)的水全部抽出需作多少功?

解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,89例2一個(gè)圓臺(tái)形的水池內(nèi)盛滿了水,水池高為5米,

解

將水桶從井里提上來(lái)所作的功為

下面計(jì)算將繩子從井里提上來(lái)所作的功,則所作的總功為

例3

一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的繩子系著，將它從20m深的井里提上來(lái)需作多少功?o2090解將水桶從井里提上來(lái)所作的功為下1.設(shè)有一面積為S的平板,水平放置在液體下深度x處,則平板一側(cè)所受壓力為:則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決.2.如果平板垂直放置在液體下,二.液體的壓力911.設(shè)有一面積為S的平板,水平放置在液體下深度x處,則平板一例4.有一個(gè)水平放置的圓形管道，直徑為2米，有一道閘門(mén)，當(dāng)水半滿時(shí)，求閘門(mén)受到的力。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。92例4.有一個(gè)水平放置的圓形管道，直徑為2米，有一道閘門(mén)，解：例5半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油,求一個(gè)端面所受的壓力.解

yox93例5半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油,求一個(gè)端面所受的例6

求如圖的等腰梯形水閘門(mén)一側(cè)所受的壓力.解

2o2y(2,1)x94例6求如圖的等腰梯形水閘門(mén)一側(cè)所受的壓力.解2o2y

例7

設(shè)有質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿,解：任意[x,x+dx]oaxL另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于同一直線上,且到桿的近段距離為a,求桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.三.引力由萬(wàn)有引力定律,兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力為

若要計(jì)算細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,須用微元法解決.區(qū)間[x,x+dx]對(duì)應(yīng)的細(xì)桿質(zhì)量為95例7設(shè)有質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿,解：任意[x,

則引力為四.連續(xù)函數(shù)的平均值n個(gè)數(shù)的平均值為而連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值,需要用定積分計(jì)算.96則引力為四.連續(xù)函數(shù)的平均值n個(gè)數(shù)的平均值為而連續(xù)函數(shù)

將[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上依次任取

則

由定積分定義可知97將[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上依次任取則由定例1

求從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解

注意:積分中值定理中的f()就是f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值.98例1求從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解注5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸納起來(lái)一般分為兩大類(lèi)型：第一，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分求原來(lái)的函數(shù)；第二，已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分計(jì)算產(chǎn)量由到時(shí)原來(lái)函數(shù)的改變量．一般地，已知邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)等去考慮總成本、總收入、總利潤(rùn)等問(wèn)題．995.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用歸5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(1)已知某產(chǎn)品的邊際成本為，固定成本為，則產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)總成本函數(shù)為產(chǎn)量由變到時(shí)，總成本函數(shù)的改變量為1005.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用(1)已知某產(chǎn)品的邊際成本5.5.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的