習(xí)題(時間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分)1．圓心為(1，－1)，半徑為2的圓的方程是()．A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4解析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．答案：D2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是()．A．m>－eq\f(1,2) B．m<－eq\f(1,2)C．m≤－eq\f(1,2) D．m≥－eq\f(1,2)解析：由題意得1＋1＋4m>0.解得m>－eq\f(1,2).答案：A3．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線的條數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4解析：圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圓心C1(－1，－1)，半徑長r1＝2，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，半徑長r2＝2，兩圓圓心距為|C1C2|＝eq\r(13)，顯然0＜|C1C2|＜4，即|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，所以兩圓相交，從而兩圓有兩條公切線．答案：B4．(2022·泉州模擬)圓x2＋y2－2x－1＝0關(guān)于直線2x－y＋3＝0對稱的圓的方程是()A．(x＋3)2＋(y－2)2＝eq\f(1,2)B．(x－3)2＋(y＋2)2＝eq\f(1,2)C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2解析：圓x2＋y2－2x－1＝0可化為(x－1)2＋y2＝2.設(shè)圓心(1,0)關(guān)于2x－y＋3＝0的對稱點為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－1)×2＝－1，,2×\f(a＋1,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))∴方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝2.答案：C5．(2022·廈門高一檢測)兩圓相交于點A(1,3)、B(m，－1)，兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值為()A．－1 B．2C．3 D．0解析：由條件可知，AB的中點在直線x－y＋c＝0上，且AB與該直線垂直，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)－1＋c＝0，,\f(3＋1,1－m)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,c＝－2，))∴m＋c＝5－2＝3.答案：C6．設(shè)點P(a，b，c)關(guān)于原點的對稱點P′，則|PP′|＝()\r(a2＋b2＋c2) B．2eq\r(a2＋b2＋c2)C．│a＋b＋c│ D．2│a＋b＋c│解析：P′(a，b，c)關(guān)于原點對稱的點為P(－a，－b，－c)，則│PP′│＝eq\r([a－－a]2＋[b－－b]2＋[c－－c]2)＝2eq\r(a2＋b2＋c2).答案：B7．兩圓x2＋y2＝1與x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直線的方程是()A．x＝1 B．x＝eq\f(1,2)C．y＝x D．x＝eq\f(\r(3),2)解析：將兩圓方程相減可直接求得公共弦所在直線的方程為x＝eq\f(1,2).答案：B8．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：設(shè)圓上任一點坐標(biāo)為(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y(tǒng)0－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2))，代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：A9．從點P(4，－1)向圓x2＋y2－4y－5＝0作切線PT(T為切點)，則|PT|等于()A．5 B．4C．3 \r(10)解析：因為圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝9，所以圓心為(0,2)，半徑為3，所以|PT|2＝[(4－0)2＋(－1－2)2]－9＝16，所以|PT|＝4.答案：B10．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(2).則實數(shù)a的值為()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：圓心(a,0)到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|a－2|,\r(2))，則(eq\r(2))2＋(eq\f(|a－2|,\r(2)))2＝22，解得a＝0或4.答案：D二、填空題(本大題有4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中橫線上)11．在如圖所示的長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，則點B1的坐標(biāo)為________．解析：由題中圖可知，點B1的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)與點A1的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同，點B1的縱坐標(biāo)與點C的縱坐標(biāo)相同，∴B1(a，b，c)．答案：(a，b，c)12．已知圓(x－2)2＋(y－3)2＝13和圓(x－3)2＋y2＝9交于A、B兩點，則弦AB的垂直平分線的方程是________．解析：因為弦AB的垂直平分線即兩圓的連心線所在的直線，又因為兩圓的圓心分別為(2,3)與(3,0)，所以k＝eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以l的方程為3x＋y－9＝0.答案：3x＋y－9＝013．直線l：y＝k(x＋3)與圓O：x2＋y2＝4交于A，B兩點，│AB│＝2eq\r(2)，則實數(shù)k＝________.解析：由已知可求出圓心O到直線l的距離d＝eq\r(2)，即eq\f(│3k│,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝±eq\f(\r(14),7).答案：±eq\f(\r(14),7)14．(2022·巢湖高一檢測)直線l：y＝x＋b與曲線c：y＝eq\r(1－x2)僅有一個公共點，則b的取值范圍________．解析：曲線c如圖，要使l：y＝x＋b與曲線僅有一個交點，需要－1≤b＜1或b＝eq\r(2).答案：{b|b＝eq\r(2)或－1≤b＜1}三、計算題(本大題共4小題，共50分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)求過點A(－2，－4)且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))．∴kCB＝eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2)).由kCB·kl＝－1，∴eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2))·(－eq\f(1,3))＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②82＋62＋8D＋6E＋F＝0，③解①②③可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30.∴所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.16．(本小題滿分12分)已知P(－1,2)為圓x2＋y2＝8內(nèi)一定點．求：(1)過點P且被圓所截得的弦最短的直線方程；(2)過點P且被圓所截得的弦最長的直線方程．解：已知圓心C(0,0)，半徑r＝2eq\r(2).(1)當(dāng)弦與PC垂直時，過點P且被圓所截得的弦最短．因為kPC＝eq\f(2,－1)＝－2，則弦最短時所在的直線斜率k＝eq\f(1,2)，所以弦最短的直線方程為y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.(2)當(dāng)弦過圓心C時，過點P且被圓所截得的弦最長．因為kPC＝－2，所以弦最長的直線方程為y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0.17．(本小題滿分12分)已知正方體的棱長為a，過B1作B1E⊥BD1于點E，求A、E兩點之間的距離．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．過點E作EF⊥BD于F，如圖所示，則在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|BD1|＝eq\r(3)a，|B1D1|＝eq\r(2)a，所以|B1E|＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6)a,3)，所以在Rt△BEB1中，|BE|＝eq\f(\r(3),3)a.由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝eq\f(\r(2),3)a，|EF|＝eq\f(a,3)，所以點F的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，0)，則點E的坐標(biāo)為(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，eq\f(a,3))．由兩點間的距離公式，得|AE|＝eq\r(a－\f(2a,3)2＋0－\f(2a,3)2＋0－\f(a,3)2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以A、E兩點之間的距離是eq\f(\r(6),3)a.18．(本小題滿分14分)如圖所示，某糧食儲備庫占地呈圓域形狀，它的斜對面有一條公路．從儲備庫中心A向正東方向走1km是儲備庫邊界上的點B，接著向正東方向走2km到達公路上的點C；從A向正北方向走6km到達公路上的另一點D.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲備庫的邊界上選一點E，修建一條由E通往公路CD的專用線路EF，要求造價最低，用坐標(biāo)法回答：點E應(yīng)該選在何處？解：如圖所示，分別以直線AC、AD為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，作圓A的切線GH，使GH∥CD，這時切點就是E點的位置(另一條切線不在考慮之列)，連接AE并延長，交CD于F，則AF⊥CD，由已知，CD的斜率為－eq\f(6,3)＝－2，∴AF的斜率為eq\f(1,2)，AF的方程為y＝eq\f(1,2)x，圓A的方程為x2＋y2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,x2＋y2