(圓滿版)高中數(shù)學(xué)典型例題分析平面向量與空間向量(圓滿版)高中數(shù)學(xué)典型例題分析平面向量與空間向量(圓滿版)高中數(shù)學(xué)典型例題分析平面向量與空間向量高中數(shù)學(xué)典型例題分析第八章平面向量與空間向量§8.1平面向量及其運(yùn)算一、、疑難知識(shí)導(dǎo)析1．向量的見(jiàn)解的理解，特別是特別向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正數(shù)或0，是能夠進(jìn)行大小比較的，因?yàn)榉较虿豢梢詨虮容^大小，所以向量是不可以夠比大小的．兩個(gè)向量的模相等，方向同樣，我們稱這兩個(gè)向量相等，兩個(gè)零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；2．在運(yùn)用三角形法例和平行四邊形法例求向量的加減法時(shí)要注意起點(diǎn)和終點(diǎn)；3．對(duì)于坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量，在運(yùn)用平行與垂直的充要條件時(shí)，必然要?jiǎng)澐趾脙蓚€(gè)公式，切不可以混雜。所以，建議在記憶時(shí)比較記憶；4．定比分點(diǎn)公式中則要記清哪個(gè)點(diǎn)是分點(diǎn)；還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開(kāi)計(jì)算的；5．平移公式中第一要知道這個(gè)公式是點(diǎn)的平移公式，故在使用的過(guò)程中須將初步點(diǎn)的坐標(biāo)給出，同時(shí)注意次序。二知識(shí)導(dǎo)學(xué)模（長(zhǎng)度）：向量AB的大小，記作|AB|。長(zhǎng)度為０的向量稱為零向量，長(zhǎng)度等于１個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量。平行向量：方向同樣或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向同樣的向量。4.相反向量：我們把與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。記作-a。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算。已知a，b。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a與b的和。記作a+b。向量的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算。已知a，b。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則向量BA叫做a與b的差。記作a-b。實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，并規(guī)定：①λa的長(zhǎng)度|λa|=|λ|·|a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向同樣；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa=0（2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則①λ(μa)=(λμ)a1②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb8.向量共線的充分條件：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。其余，設(shè)a=（x1,y1）,b=(x2,y2)，則a//b1y2－21xxy=09.平面向量基本定理：假如e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任素來(lái)量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，此中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底。定比分點(diǎn)設(shè)P，P是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是不同樣于P，P的隨意一點(diǎn)則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使1212P1P2=λP1P2，λ叫做分有向線段所成的比。若點(diǎn)P1、P、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x,y)，(x,y)，則有22x1x2x2特別當(dāng)λ=1，即當(dāng)點(diǎn)P是線段PP的中點(diǎn)時(shí)，有y2y1y211.平面向量的數(shù)目積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)目|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)目積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ規(guī)定：零向量與任素來(lái)量的數(shù)目積是0。幾何意義：數(shù)目積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。(3)性質(zhì)：設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向同樣的單位向量，θ是a與e的夾角，則e·a＝a·e＝|a|cosθ，a⊥ba·b＝0a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|2特別地，a·a＝|a|2或|a|＝aacosθ＝ab|a·b|≤|a||b|ab(4)運(yùn)算律：a·b＝b·a(互換律)(λa)·b＝λ(b·a)＝a·(λb)(a＋b)·c＝a·c＋b·c（5）平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：設(shè)a=（x1,y1）,b=(x2,y2)，則aba·b=|a|·|b|cos90°=0bx1x2+y1y2=0平移公式：設(shè)P（x，y）是圖形F上的隨意一點(diǎn)，它在平移后圖形F/上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P/（x/，y/），且設(shè)PP/的坐標(biāo)為（h，），則由OP/＝OP＋PP/，得：（/，y/）＝（x，y）+（h，k）kx三、經(jīng)典例題導(dǎo)講r[例1]和a=(3,－4)平行的單位向量是_________；rr1r3，－4)錯(cuò)解：因?yàn)閍的模等于5，所以與a平行的單位向量就是a，即(555錯(cuò)因：在求解平行向量時(shí)沒(méi)有考慮到方向相反的狀況。rr1r，即(3，－4)或(－3，4)正解：因?yàn)閍的模等于5，所以與a平行的單位向量是a55555r討論：平行的狀況有方向同樣和方向相反兩種。讀者能夠自己再求解“和a=(3,－4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應(yīng)當(dāng)是兩個(gè)。[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)極點(diǎn)，求第四個(gè)極點(diǎn)D的坐標(biāo)。錯(cuò)解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），則有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求D的坐標(biāo)為（-2，3）。錯(cuò)因：思想定勢(shì)。習(xí)慣上，我們以為平行四邊形的四個(gè)極點(diǎn)是依據(jù)ABCD的次序。其實(shí)，在這個(gè)題目中，根本就沒(méi)有指出四邊形ABCD。所以，還需要分類討論。正解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y）3當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時(shí)，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。解得D的坐標(biāo)為（-2，3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時(shí)，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x=6，y=-1。解得D的坐標(biāo)為（6，-1）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時(shí)，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x=0，y=5。解得D的坐標(biāo)為（0，5）。故第四個(gè)極點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。[例3]已知P(3,2)，P（8，3），若點(diǎn)P在直線PP上，且知足|PP|=2|PP|，求點(diǎn)P的坐121212標(biāo)。錯(cuò)解：由|PP|=2|PP|得，點(diǎn)P分PP所成的比為2，代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（198）211233錯(cuò)因：對(duì)于|P1P|=2|PP2|這個(gè)等式，它所包括的不只是點(diǎn)P為P1，P2的內(nèi)分點(diǎn)這一種狀況，還有點(diǎn)P是P1，P2的外分點(diǎn)。故須分狀況討論。正解：當(dāng)點(diǎn)P為P，P的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，P分PP所成的比為2，此時(shí)解得P（198）；121233當(dāng)點(diǎn)P為P1，P2的外分點(diǎn)時(shí)，P分P1P2所成的比為-2，此時(shí)解得P（13，4）。則所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（19,8）或（13，4）。33討論：在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要審清題意，注意內(nèi)外分點(diǎn)的狀況。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。[例4]設(shè)向量a(x1,y1)，b(x,y)，b0，則“x2y1”的22a//b”是“x1y2A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件分析：依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可．解：若a//b，∵b0，則arb，代入座標(biāo)得：(x1,y1)r(x2,y2)，即x1rx2且y1ry2．消去r，得x1y2x2y1；反之，若x1y2x2y1，則x1rx2且y1ry2，即(x1,y1)r(x2,y2)arb，∴a//b故“a//b”是“x1y2x2y1”的充要條件．答案：C討論：本題意在堅(jiān)固向量平行的坐標(biāo)表示．[例5]．已知a=（1，-1），b=（-1，3），c=（3，5），務(wù)實(shí)數(shù)x、y，使c=xa+yb．分析：依據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可．解：由題意有4xa+yb=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．又c=（3，5）∴x-y=3且-x+3y=5解之得x=7且y=4討論：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中常常要用到解方程的方法．[例6]已知A（-1，2），B（2，8），AC=1AB，DA=-1BA，求點(diǎn)C、D和向量CD33的坐標(biāo)．分析：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再依據(jù)向量ACAB，DA和CD關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之．解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2)，由題意得AC=（x11,y12），AB=（3，6），DA=（1x2,2y2），BA=（-3，-6）AC=1AB，DA=-1BA33∴（x11,y12）=1（3，6），（1x2,2y2）=-1（-3，-6）33即(x11,y12)=(1,2)，(1x2,2y2)=(1,2)∴x111且y122，1x21且2y22∴x0且y4，且x22y2011∴點(diǎn)C、D和向量CD的坐標(biāo)分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小結(jié)：本題波及到方程思想，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高．§8.2平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用一、疑難知識(shí)導(dǎo)析1．初中學(xué)過(guò)的勾股定理但是余弦定理的一種特別狀況。如當(dāng)C=時(shí)，cosC=0，此時(shí)2有c2a2b2；．因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對(duì)解斜三角形、分析幾何中的圓錐曲線等知識(shí)特別熟習(xí)方可。二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其余兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即5a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，而且都等于外接圓的直徑，即abcRsinAsinBsinC2三經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，則角A為()A．B．6C．2D．或23333錯(cuò)解：選A錯(cuò)因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。正解：∵a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2－2bc(－1)＝b2＋c2－2bc·cos223∴∠A＝C.

23[例2]在△ABC中，已知acosAbcosB，試鑒別其形狀。錯(cuò)解：等腰三角形。錯(cuò)因：忽略了兩角互補(bǔ)，正弦值也相等的情況。直接由acosAbcosB得，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，則2A2B。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形正解：由acosAbcosB得，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B則2A2B或2A2B1800，故三角形為直角三角形或等腰三角形。[例3]在中，，其內(nèi)切圓面積為，求面積。分析：題中波及到內(nèi)切圓，而內(nèi)切圓直接與正弦定理聯(lián)系起來(lái)了，同時(shí)正弦定理和余弦定理又由邊聯(lián)系起來(lái)了。解：由已知,得內(nèi)切圓半徑為23.由余弦定理,得三角形三邊分別為16,10,14.6[例5]已知定點(diǎn)A(2,1)與定直線l:3x-y+5=0,點(diǎn)B在l上挪動(dòng),點(diǎn)M在線段AB上,且分AB的比為2,求點(diǎn)M的軌跡方程.分析:向量的坐標(biāo)為用“數(shù)”的運(yùn)算辦理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁,形成了代數(shù)與幾何聯(lián)系的新紐帶.解:設(shè)B(x0,y0),M(x,y)∴AM=(x-2,y-1),MB=(x0-x,y0-y),由題知AM=2MBx22(x0x)x03x22∴y12(y0y)y03y123x23y100-+5=022化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為9x-3y+5=0[例4]在中，試求周長(zhǎng)的最大值。并判斷此時(shí)三角形的形狀。錯(cuò)解：因?yàn)轭}目中出現(xiàn)了角和對(duì)邊，故使用余弦定理，進(jìn)一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯(cuò)因：其實(shí)這類思路從表面上看是可行的，實(shí)質(zhì)上辦理過(guò)程中回碰到?jīng)]法進(jìn)行下去的困難。正解：由正弦定理,得a=2(62)sinA,b=2(62)sinB.a+b=2(62)(sinA+sinB)=4(62)sinABcosAB22sinAo62B=sin75=42a+b=(62)2cosAB≤(62)2=8+43.2當(dāng)a=b時(shí),三角形周長(zhǎng)最大,最大值為8+43+62.此時(shí)三角形為等腰三角形[例6]過(guò)拋物線:y2=2px(p>0)極點(diǎn)O作兩條相互垂直的弦OA、OB(如圖),求證:直線AB過(guò)一定點(diǎn),并求出這必然點(diǎn).分析:對(duì)于向量=(1,y1),b=(x2,y2),有//12-21=0.能夠用來(lái)辦理分析幾何中的三axabxyxy點(diǎn)共線與兩直線平行問(wèn)題.證明:由題意知可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為t12t22(,t1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(,t2)∴2p2p7OA=(t12,t1),OB=(t22,t2),2p2p∵OA⊥OB,∴OA?OB=0t12?t22+t1?t2=02p2p2①12=-4pt?t設(shè)直線AB過(guò)點(diǎn)M(a,b),則BM=(a-t22,b-t2),BA=(t12-t22,t1-t2),2p2p2p因?yàn)橄蛄緽M與BA是共線向量,∴（a-t22）(t1-t2)=(b-t2)(t12-t22)2p2p2p化簡(jiǎn)得2p(a-2p)=b(t+t)12明顯當(dāng)a=2p,b=0時(shí)等式對(duì)隨意的成立∴直線AB過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為M(2p,0)四典型習(xí)題導(dǎo)練1．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則第三邊x的取值范圍是（）A．1＜x＜5B．5＜x＜13C．13＜x＜5D．1＜x＜52．三極點(diǎn)，則的面積為_(kāi)__。3．△ABC中，若邊a：b：c＝2：(1＋3)：2，則內(nèi)角A＝。4．某人在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，這人沿南偏東40°方向行進(jìn)10米到0，測(cè)得塔頂A仰角為30°，則塔高＝。5．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判斷三角形的形狀。6．在△ABC中，已知cotAcotBcotC＝，判斷△ABC是什么三角形?！?.3空間向量及其運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單rrr位正交基底，用{i,j,k}表示；（2）在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基rrrrrr底{i,j,k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较虺闪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱成立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

zA(x,y,z)kOjyi8xrrrOxyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量i,j,k都叫坐標(biāo)向量．經(jīng)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面；2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在獨(dú)一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OAxiyjzk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)．rr3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，rrrr則ab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，rrrabab，a(a,a,a)(R)，abab123112233rrrra//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，aba1b1a2b2a3b30．uuur（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB(x2x1,y2y1,z2z1)．一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)rrrr222．4模長(zhǎng)公式：若a(a1,a2,a3)，則|a|aaa1a2a3rrrrrabra1b1a2b2a3b35．夾角公式：cosab．|a||b|a12a22a32b12b22b32uuuruuur2x1)2(y2y1)2(z2z1)26．兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1,z1)，Bx(2,y2,z2)，則|AB|AB(x2二、疑難知識(shí)導(dǎo)學(xué)1、對(duì)于這部分的一些知識(shí)點(diǎn)，讀者能夠比較平面向量的知識(shí)，看哪些知識(shí)能夠直接推行，哪些需要作改正，哪些不可以夠用的，稍作整理，以便于記憶；2、空間向量作為新加入的內(nèi)容，在辦理空間問(wèn)題中擁有相當(dāng)?shù)膬?yōu)勝性，比本來(lái)辦理空間問(wèn)題的方法更有靈巧性，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于掌握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法，特別是意會(huì)此中的轉(zhuǎn)變的思想方法．如把立體幾何中的線面關(guān)系問(wèn)題及求角求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛孟蛄拷鉀Q，如何取向量或成立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量如何來(lái)表達(dá)是問(wèn)題的重點(diǎn)．3、向量運(yùn)算的主要應(yīng)用在于以下幾個(gè)方面：判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；求空間兩點(diǎn)間的距離；求兩條異面直線所成的角.、本節(jié)內(nèi)容對(duì)于立體幾何的應(yīng)用，讀者需自行復(fù)習(xí)，這里不再贅述。9三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]以下所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，不正確的選項(xiàng)是（）ABCD錯(cuò)解：B、C、D中任選一個(gè)錯(cuò)因：對(duì)于空間直角坐標(biāo)系的表示不清楚。有共同的原點(diǎn)，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就能夠作為空間直角坐標(biāo)系．正解：易知(C)不符合右手系的規(guī)定，應(yīng)選(C)．[例2]已知點(diǎn)A(－3，－1，1)，點(diǎn)B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz軸上分別取點(diǎn)L、M、N，使它們與A、B兩點(diǎn)等距離．錯(cuò)因：對(duì)于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)不明；使用方程解題的思想意識(shí)不夠。分析：設(shè)Ox軸上的點(diǎn)L的坐標(biāo)為(x，0，0)，由題意可得對(duì)于x的一元方程，進(jìn)而解得x的值．近似可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．解：設(shè)L、M、N的坐標(biāo)分別為(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．由題意，得22(x＋3)＋1＋1＝(x＋2)＋4＋9，229＋(y＋1)＋1＝4＋(y－2)＋9，229＋1＋(z－1)＝4＋4＋(z－3)．3分別解得x3.y1,z，2L(3,0,0),M(0,1,0),N(0,0,3)2評(píng)注：空間兩點(diǎn)的距離公式是平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式的推行：若點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，則P、Q的距離為PQ(x2x)2(y2y)2(zz)21121必然嫻熟掌握這個(gè)公式．r(a,arrrrrrr[例3]設(shè)a,a)，b(b,b,b)，且ab，記|ab|m，求ab與x軸正方123123向的夾角的余弦值r錯(cuò)解：取x軸上的任素來(lái)量(x,0,0)c，設(shè)所求夾角為，rrr∵(ab)c(a1b1,a2rrr∴cos(ab)crrr|ab||c|

b2,a3b3)(x,0,0)(a1b1)x(a1b1)xa1b1，mxm10即余弦值為a1b1m錯(cuò)因：審題不清。沒(méi)有看清“x軸正方向”，其實(shí)不是x軸正解：取x軸正方向的任素來(lái)量r(x,0,0)c，設(shè)所求夾角為，rrr∵(ab)c(a1b1,a2b2,a3b3)(x,0,0)(a1b1)xrrr(ab)xab∴cos(ab)crrr1111，即為所求|ab||c|mxm[例4]在ABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿uuur(2,uuur(1,3,0),解：QBA4,0),BCcosBA,BCBA?BC212=2|BA||BC|25210∴∠ABC＝135°[例5]已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，⑴求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；rAB,AC垂直，且|rr⑵若向量a分別與向量a|＝3，求向量a的坐標(biāo)分析：⑴AB(2,1,3),AC(1,3,2),cosBACABAC1|AB||AC|2∴∠BAC＝60°，S|AB||AC|sin6073r，則aAB2xy3z0,⑵設(shè)a＝(x,y,z)aACx3y2z0,|a|3x2y2z23解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－rr1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).[例6]已知正方體AC1的棱長(zhǎng)為a，E是CC1的中點(diǎn)，O是對(duì)角線BD1的中點(diǎn)，求異面直線CC1和BD1的距離解：以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸，y軸、z軸成立