歷年考研數(shù)學一真題1987-2017（答案+解析）（經(jīng)典珍藏版）最近三年+回顧過去最近三年篇（2015-2017）2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．１．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點個數(shù)為（A）0（B）1（C）2（D）3【詳解】對于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點處的二階導數(shù)等于零或者不存在．從圖上可以看出有兩個二階導數(shù)等于零的點，以及一個二階導數(shù)不存在的點．但對于這三個點，左邊的二階導數(shù)等于零的點的兩側(cè)二階導數(shù)都是正的，所以對應(yīng)的點不是拐點．而另外兩個點的兩側(cè)二階導數(shù)是異號的，對應(yīng)的點才是拐點，所以應(yīng)該選（C）2．設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則（A）（B）（C）（D）【詳解】線性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個實根．如果不是特征方程的實根，則對應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個零次多項式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個實根，這樣由韋達定理可得，同時是原來方程的一個解，代入可得應(yīng)該選（A）３．若級數(shù)條件收斂，則依次為級數(shù)的（Ａ）收斂點，收斂點（Ｂ）收斂點，發(fā)散點(Ｃ）發(fā)散點，收斂點（Ｄ）發(fā)散點，發(fā)散點【詳解】注意條件級數(shù)條件收斂等價于冪級數(shù)在處條件收斂，也就是這個冪級數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對收斂域為，顯然依次為收斂點、發(fā)散點，應(yīng)該選（B）４．設(shè)D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）．5．設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（A）（B）（C）（D）【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換：方程組無窮解的充分必要條件是，也就是同時成立，當然應(yīng)該選（D）．6．設(shè)二次型在正交變換下的標準形為，其中，若，則在下的標準形為（A）（B）（C）（D）【詳解】，所以故選擇（A）．7．若為任意兩個隨機事件，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】所以故選擇（C）．8．設(shè)隨機變量不相關(guān)，且，則（）（A）（B）（C）（D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．【詳解】．10．．【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分為零，所以11．若函數(shù)是由方程確定，則．【詳解】設(shè)，則且當時，，所以也就得到12．設(shè)是由平面和三個坐標面圍成的空間區(qū)域，則．【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個變量具有輪換對稱性，也就是13．階行列式．【詳解】按照第一行展開，得，有由于，得．14．設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則．【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，，且相互獨立．則．三、解答題15．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時為等價無窮小，求常數(shù)的取值．【詳解】當時，把函數(shù)展開到三階的馬克勞林公式，得由于當時，是等價無窮小，則有，解得，16．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式．【詳解】在點處的切線方程為令，得曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線方程為17．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù)．【詳解】顯然．在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值．用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個可能的極值點，進行比較，可得，在點或處，方向?qū)?shù)取到最大，為18．（本題滿分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導，利用導數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可導，，寫出的求導公式．【詳解】（1）證明：設(shè)由導數(shù)的定義和可導與連續(xù)的關(guān)系（2）19．（本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點為，終點為，計算曲線積分．【詳解】曲線L的參數(shù)方程為起點對應(yīng)，終點為對應(yīng)．20．（本題滿分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，．（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當為何值時，存在非零向量，使得在基和基下的坐標相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因為，且顯然線性無關(guān)，所以是線性無關(guān)的，當然是向量空間的一組基．（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組存在非零解．從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線性無關(guān)，所以，也就是．此時方程組化為，由于線性無關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)．所以滿足條件的其中為任意不為零的常數(shù)．21．（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣．（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對角矩陣．【詳解】（1）因為兩個矩陣相似，所以有，．也就是．（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則22．（本題滿分11分）設(shè)隨機變量X的概率密度為對X進行獨立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為次數(shù)．求的分布函數(shù)；求的概率分布；求數(shù)學期望【詳解】（1）X進行獨立重復(fù)的觀測，得到觀測值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且（2）設(shè)23．（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，是來自總體的簡單樣本．（1）求參數(shù)的矩估計量；（2）求參數(shù)的最大似然估計量．【詳解】（1）總體的數(shù)學期望為令，解得參數(shù)的矩估計量：．（2）似然函數(shù)為顯然是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù)的最大似然估計量為2016年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若反常積分收斂，則（）。A.且B.且C.且D.且【答案】C【解析】，而當時收斂，而此時不影響，，而當時收斂，此時不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個原函數(shù)是（）。A.B.C.D.【答案】D【解析】對函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個解，則=（）。A.B.C.D.【答案】A【解析】將代入微分方程可得：而將代入微分方程可得：將這兩個式子相加可得：兩個式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（）。A.是的第一類間斷點B.是的第二類間斷點C.在處連續(xù)但不可導D.在處可導【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，，而，而，因此，而左右兩邊的極限均為1，因此，故在可導，選擇D.（5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯誤的是（）。A.與相似B.與相似C.與相似D.與相似【答案】C【解析】因為與相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，，因此，，因此，而C選項中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標系下表示的二次曲面為（）。A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D.柱面【答案】B【解析】二次型對應(yīng)的矩陣，根據(jù)可以求得特征值為，，因此二次型的規(guī)范形為，故可得，即，因此對應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7）設(shè)隨機變量，記，則（）。A.隨著的增加而增加B.隨著的增加而增加C.隨著的增加而減少D.隨著的增加而減少【答案】B【解析】，因此選擇B，隨著的增加而增加.（8）隨機試驗有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗獨立重復(fù)做2次，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗發(fā)生的次數(shù)，則于的相關(guān)系數(shù)為（）。A.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答疑紙指定位置上.（9）________________.【答案】【解析】（10）向量場的旋度________________.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則________________.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導可得：，。將代入原式可得，因此將代入關(guān)于求導的式子可得：，因此，代入關(guān)于求導的式子可得：，因此有，故可得.（12）設(shè)函數(shù)，且，則________________.【答案】【解析】根據(jù)，可得：，然后求二階導數(shù)為：此時（存疑）（13）行列式________________.【答案】【解析】.（14）設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)知心區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為________________.【答案】【解析】，因為，所以，因此可得，故可得置信區(qū)間為.三、解答題：15~23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（Ⅰ）證明：反常積分收斂；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）特征方程為，由可知，特征方程有兩個不同的實根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（Ⅱ）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點到點的光滑曲線，計算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以，設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無關(guān)故因為，所以，令可得而，因此，因此當有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個坐標平面圍成，為整個表面的外側(cè)，計算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導，且.設(shè)數(shù)列滿足，證明：（Ⅰ）級數(shù)絕對收斂；（Ⅱ）存在，且.【答案】利用絕對收斂定義證明即可。【解析】（Ⅰ）證：，因此有顯然收斂，因此絕對收斂.（Ⅱ）記，因此得，因為級數(shù)收斂，因此存在，因此存在，不妨設(shè)，，由可得，兩邊取極限可得，即若，這與矛盾，若，與矛盾，因此可得，即.（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣.當為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時，求解此方程.【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時，有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當即且時，有唯一解；設(shè)，代入，解得當代入設(shè)，因此可得，這兩個式子是矛盾的，因此方程組無解；當代入，此時方程組有無窮多解，將代入可得，解得，不妨設(shè)為自由未知量，則可得（21）（本題滿分11分）已知矩陣（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)3階矩陣滿足.記，將分別表示成的線性組合.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用相似對角化，由得到特征值為，當時，代入中，求解方程組的解就是特征向量，即同理得到其他的兩個特征向量分別為：對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為，設(shè)，則有，因此可得，根據(jù)矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（Ⅱ），因此可得、，所以因此有（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（Ⅰ）寫出的概率密度；（Ⅱ）問與是否相互獨立？并說明理解；（Ⅲ）求的分布函數(shù).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）與不獨立，因為（Ⅲ）的分布函數(shù)為：【解析】（Ⅰ）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布，因此有（Ⅱ）與不獨立因此，故不獨立.（Ⅲ）因此可得（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的簡單隨機抽樣，令.（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）確定，使得為的無偏估計.【答案】（Ⅰ）的概率密度：（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，獨立同分布，因此可得當時，；當時，；當時，，因此可得概率密度函數(shù)為：（Ⅱ），根據(jù)題意，如果為的無偏估計，則有，因此可得.2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若函數(shù)在連續(xù)，則（）。A.B.C.D.【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而，，因此可得，故選擇A。（2）設(shè)函數(shù)可導，且，則（）。A.B.C.D.【答案】C【解析】令，則有，故單調(diào)遞增，則，即，即，故選擇C。（3）函數(shù)在點處沿向量的方向?qū)?shù)為（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，則有。（4）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（）。A.B.C.D.【答案】C【解析】從0到時刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，，因此可知。（5）設(shè)為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，則（）。A.不可逆B.不可逆C.不可逆D.不可逆【答案】A【解析】因為的特征值為0（n-1重）和1，所以的特征值為1（n-1重）和0，故不可逆。（6）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所依A可對角化，B不可，因此選擇B。（7）設(shè)A，B為隨機事件，若，且的充分必要條件是（）。A.B.C.D.【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。（8）設(shè)來自總體的簡單隨機樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（）。A.服從分布B.服從分布C.服從分布D.服從分布【答案】B【解析】，故，，因此，故，故B錯誤，由可得，，，則有，因此。二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）已知函數(shù)，則=_________?！敬鸢浮?【解析】，因此，代入可得。（10）微分方程的通解為=_________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑桑?，因此，因此通解為：。（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，則=_________?！敬鸢浮浚?【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得。（12）冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_________?！敬鸢浮俊窘馕觥?。（13）設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的3維向量，則向量組的秩為_________?！敬鸢浮?【解析】因為，而，因此，所以向量組的秩2。（14）設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)，則=_________。【答案】2【解析】因此可得。三、解答題：15~23小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，，求。【答案】，【解析】因為，所以，因此因此得：（16）（本題滿分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，，然后計算定積分，（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值?！敬鸢浮繕O大值為，極小值為。【解析】對關(guān)于求導得：，令得，因此，當時，，當時，。對關(guān)于再次求導得：，將代入可得當時，時，代入可得，當時，時，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為。（18）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導數(shù)，且，，證明：（Ⅰ）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實根；（Ⅱ）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮浚á瘢┳C：因為，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點存在定理可知，存在，使得。（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，因此，因為，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根據(jù)零點定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個不同實根。【解析】略（19）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體時圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，（Ⅰ）求在平面上的投影曲線的方程；（Ⅱ）求的質(zhì)量?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）64?！窘馕觥浚á瘢┑姆匠虨?，投影到平面上為（Ⅱ），因此有。（20）（本題滿分11分）三階行列式有3個不同的特征值，且，（Ⅰ）證明；（Ⅱ）如果，求方程組的通解。【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）?！窘馕觥浚á瘢┳C：因為有三個不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。（Ⅱ）因為，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個解向量為。因為，故的特解為，因此的通解為。（21）（本題滿分11分）設(shè)在正交變換下的標準型為，求的值及一個正交矩陣。【答案】，正交矩陣【解析】二次型對應(yīng)的矩陣為，因為標準型為，所以，從而，即，代入得，解得；當時，，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；當時，，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；當時，，化簡得，對應(yīng)的特征向量為；從而正交矩陣。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機變量和相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度?！敬鸢浮浚á瘢á颍窘馕觥浚á瘢┯蓴?shù)字特征的計算公式可知：，則（Ⅱ）先求的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知：。由于為離散型隨機變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數(shù)：）（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）利用一階矩求的矩估計量；（Ⅲ）求的最大似然估計量。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）因為，所以，對應(yīng)的概率密度為，設(shè)的分布函數(shù)為，對應(yīng)的概率密度為；當時，；當時，；則的概率密度為；（Ⅱ）因為，所以，從而的矩估計量為；（Ⅲ）由題可知對應(yīng)的似然函數(shù)為，取對數(shù)得：，所以，令，得，所以的最大似然估計量為?；仡欉^去篇（2000-2014）2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)曲面在點的法線方程為_____________.(3)微分方程的通解為_____________.(4)已知方程組無解,則=_____________.(5)設(shè)兩個相互獨立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)、是恒大于零的可導函數(shù),且,則當時,有(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)為在第一卦限中的部分,則有(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)級數(shù)收斂,則必收斂的級數(shù)為(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)維列向量組線性無關(guān),則維列向量組線性無關(guān)的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示(B)向量組可由向量組線性表示(C)向量組與向量組等價(D)矩陣與矩陣等價(5)設(shè)二維隨機變量服從二維正態(tài)分布,則隨機變量與不相關(guān)的充分必要條件為(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分5分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù),求五、(本題滿分6分)計算曲線積分,其中是以點為中心為半徑的圓周取逆時針方向.六、(本題滿分7分)設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導數(shù),且求.七、(本題滿分6分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點處的收斂性.八、(本題滿分7分)設(shè)有一半徑為的球體是此球的表面上的一個定點,球體上任一點的密度與該點到距離的平方成正比(比例常數(shù)),求球體的重心位置.九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且試證:在內(nèi)至少存在兩個不同的點使十、(本題滿分6分)設(shè)矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.十一、(本題滿分8分)某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式:(2)驗證是的兩個線性無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值.(3)當時,求十二、(本題滿分8分)某流水線上每個產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相對獨立,當出現(xiàn)1個不合格產(chǎn)品時即停機檢修.設(shè)開機后第1次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為,求的數(shù)學期望和方差.十三、(本題滿分6分)設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為,其中為未知參數(shù).又設(shè)是的一組樣本觀測值,求參數(shù)的最大似然估計值.2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為_____________.(2),則=_____________.(3)交換二次積分的積分次序:＝_____________.(4)設(shè),則=_____________.(5),則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導,的圖形如右圖所示,則的圖形為(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)在點的附近有定義,且則(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線在處的切向量為(D)曲線在處的切向量為(3)設(shè)則在=0處可導(A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在(4)設(shè),則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲次,以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則和相關(guān)系數(shù)為(A)-1 (B)0 (C) (D)1三、(本題滿分6分)求.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在點可微,且,,求.五、(本題滿分8分)設(shè),將展開成的冪級數(shù),并求的和.六、(本題滿分7分)計算,其中是平面與柱面的交線,從軸正向看去為逆時針方向.七、(本題滿分7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)且.證明:(1)對于,存在惟一的,使=+成立.(2).八、(本題滿分8分)設(shè)有一高度為為時間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程(設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間?九、(本題滿分6分)設(shè)為線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,,其中為實常數(shù),試問滿足什么條件時也為的一個基礎(chǔ)解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線性無關(guān),且滿足.(1)記求使.(2)計算行列式.十一、(本題滿分7分)設(shè)某班車起點站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為且中途下車與否相互獨立.為中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時有個乘客的條件下,中途有人下車的概率.(2)二維隨機變量的概率分布.十二、(本題滿分7分)設(shè)抽取簡單隨機樣本樣本均值,,求2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)已知,則=_____________.(3)滿足初始條件的特解是_____________.(4)已知實二次型經(jīng)正交變換可化為標準型,則=_____________.(5)設(shè)隨機變量,且二次方程無實根的概率為0.5,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)考慮二元函數(shù)的四條性質(zhì):①在點處連續(xù),②在點處的一階偏導數(shù)連續(xù),③在點處可微,④在點處的一階偏導數(shù)存在.則有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④(2)設(shè),且,則級數(shù)為(A)發(fā)散 (B)絕對收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在上有界且可導,則(A)當時,必有 (B)當存在時,必有(C)當時,必有 (D)當存在時,必有.(4)設(shè)有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是相互獨立的連續(xù)型隨機變量,它們的密度函數(shù)分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)＋必為密度函數(shù)(B)必為密度函數(shù)(C)＋必為某一隨機變量的分布函數(shù)(D)必為某一隨機變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域具有一階連續(xù)導數(shù),且,當時,若,試求的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點處的切線相同.求此切線的方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導數(shù),是上半平面(>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點為(),終點為().記,(1)證明曲線積分與路徑無關(guān).(2)當時,求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗證函數(shù)()滿足微分方程.(2)求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為面,其底部所占的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點,問在該點沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為,寫出的表達式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說要在的邊界線上找出使(1)中達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為四維列向量,其中線性無關(guān),.若,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項式相等. (2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立. (3)當為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機變量的概率密度為對獨立地重復(fù)觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學期望.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中()是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計和最大似然估計值.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)=.(2)曲面與平面平行的切平面的方程是.(3)設(shè),則=.(4)從的基到基的過渡矩陣為.(5)設(shè)二維隨機變量的概率密度為,則.(6)已知一批零件的長度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取16個零件,得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標準正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個極小值點和兩個極大值點(B)兩個極小值點和一個極大值點(C)兩個極小值點和兩個極大值點(D)三個極小值點和一個極大值點(2)設(shè)均為非負數(shù)列,且,,,則必有(A)對任意成立 (B)對任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點不是的極值點(B)點是的極大值點(C)點是的極小值點(D)根據(jù)所給條件無法判斷點是否為的極值點(4)設(shè)向量組=1\*ROMANI:可由向量組=2\*ROMANII:線性表示,則(A)當時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān) (B)當時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān)(C)當時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān) (D)當時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān)(5)設(shè)有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個命題:=1\*GB3①若的解均是的解,則秩秩=2\*GB3②若秩秩,則的解均是的解=3\*GB3③若與同解,則秩秩=4\*GB3④若秩秩,則與同解以上命題中正確的是(A)=1\*GB3①=2\*GB3② (B)=1\*GB3①=3\*GB3③(C)=2\*GB3②=4\*GB3④ (D)=3\*GB3③=4\*GB3④(6)設(shè)隨機變量,則(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線的切線,該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.四、(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下m.根據(jù)設(shè)計方案,要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù).問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù),且是的反函數(shù).(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零,,,其中,(1)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)證明當時,九、(本題滿分10分)設(shè)矩陣,,,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為,,.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望.(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡單隨機樣本,記(1)求總體的分布函數(shù).(2)求統(tǒng)計量的分布函數(shù).(3)如果用作為的估計量,討論它是否具有無偏性.2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為__________.(2)已知,且,則=__________.(3)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為__________.(4)歐拉方程的通解為__________.(5)設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=__________.(6)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則=__________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)把時的無窮小量,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)函數(shù)連續(xù),且則存在,使得(A)在(0,內(nèi)單調(diào)增加 (B)在內(nèi)單調(diào)減少(C)對任意的有 (D)對任意的有(9)設(shè)為正項級數(shù),下列結(jié)論中正確的是(A)若=0,則級數(shù)收斂(B)若存在非零常數(shù),使得,則級數(shù)發(fā)散(C)若級數(shù)收斂,則(D)若級數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得(10)設(shè)為連續(xù)函數(shù),,則等于(A) (B)(C) (D)0(11)設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為(A) (B)(C) (D)(12)設(shè)為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有(A)的列向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(C)的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(13)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布對給定的,數(shù)滿足,若,則等于(A) (B)(C) (D)(14)設(shè)隨機變量獨立同分布,且其方差為令,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分12分)設(shè),證明.(16)(本題滿分11分)某種飛機在機場降落時,為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機,著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時)(17)(本題滿分12分)計算曲面積分其中是曲面的上側(cè).(18)(本題滿分11分)設(shè)有方程,其中為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實根,并證明當時,級數(shù)收斂.(19)(本題滿分12分)設(shè)是由確定的函數(shù),求的極值點和極值.(20)(本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.(22)(本題滿分9分)設(shè)為隨機事件,且,令求:(1)二維隨機變量的概率分布.(2)和的相關(guān)系數(shù)(23)(本題滿分9分)設(shè)總體的分布函數(shù)為其中未知參數(shù)為來自總體的簡單隨機樣本,求:(1)的矩估計量.(2)的最大似然估計量.2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線的斜漸近線方程為_____________.(2)微分方程滿足的解為____________.(3)設(shè)函數(shù),單位向量,則=.________.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個邊界的外側(cè),則____________.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,,如果,那么.(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù),記為,再從中任取一個數(shù),記為,則=____________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導 (B)恰有一個不可導點(C)恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點(8)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階導數(shù),具有一階導數(shù),則必有(A) (B)(C) (D)(10)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點的一個鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)和(11)設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B)(C) (D)(12)設(shè)為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得(C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得(13)設(shè)二維隨機變量的概率分布為XY0100.410.1已知隨機事件與相互獨立,則(A) (B)(C) (D)(14)設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,為樣本方差,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設(shè),表示不超過的最大整數(shù).計算二重積分(16)(本題滿分12分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).(17)(本題滿分11分)如圖,曲線的方程為,點是它的一個拐點,直線與分別是曲線在點與處的切線,其交點為.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù),計算定積分(18)(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且.證明:(=1\*ROMAN1)存在使得.(2)存在兩個不同的點,使得(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導數(shù),在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(=1\*ROMAN1)證明:對右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達式.(20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(=1\*ROMAN1)求的值；(2)求正交變換,把化成標準形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數(shù)),且,求線性方程組的通解.(22)(本題滿分9分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為求:(=1\*ROMAN1)的邊緣概率密度.(2)的概率密度(23)(本題滿分9分)設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,記求:(=1\*ROMAN1)的方差.(2)與的協(xié)方差2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1).(2)微分方程的通解是.(3)設(shè)是錐面()的下側(cè),則.(4)點到平面的距離=.(5)設(shè)矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則=.(6)設(shè)隨機變量與相互獨立,且均服從區(qū)間上的均勻分布,則=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設(shè)函數(shù)具有二階導數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點處對應(yīng)的增量與微分,若,則(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(A) (B)(C) (C)(9)若級數(shù)收斂,則級數(shù)(A)收斂 (B)收斂(C)收斂 (D)收斂(10)設(shè)與均為可微函數(shù),且.已知是在約束條件下的一個極值點,下列選項正確的是(A)若,則 (B)若,則(C)若,則 (D)若,則(11)設(shè)均為維列向量,是矩陣,下列選項正確的是 (A)若線性相關(guān),則線性相關(guān) (B)若線性相關(guān),則線性無關(guān) (C)若線性無關(guān),則線性相關(guān)(D)若線性無關(guān),則線性無關(guān).(12)設(shè)為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的-1倍加到第2列得,記,則(A) (B)(C) (D)(13)設(shè)為隨機事件,且,則必有 (A) (B)(C) (D)(14)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域D=,計算二重積分.(16)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足.求:(1)證明存在,并求之.(2)計算.(17)(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù).(18)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)滿足等式.(1)驗證.(2)若求函數(shù)的表達式.(19)(本題滿分12分)設(shè)在上半平面內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導數(shù),且對任意的都有.證明:對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線,都有.(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣的秩.(2)求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(1)求的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣和對角矩陣,使得.(22)(本題滿分9分)隨機變量的概率密度為為二維隨機變量的分布函數(shù).(1)求的概率密度.(2).(23)(本題滿分9分)設(shè)總體的概率密度為,其中是未知參數(shù),為來自總體的簡單隨機樣本,記為樣本值中小于1的個數(shù),求的最大似然估計.2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內(nèi))(1)當時,與等價的無窮小量是(A) (B)(C) (D)(2)曲線,漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設(shè).則下列結(jié)論正確的是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是(A)若存在,則 (B)若存在,則(C)若存在,則 (D)若存在,則(5)設(shè)函數(shù)在(0,+)上具有二階導數(shù),且,令則下列結(jié)論正確的是(A)若,則{}必收斂 (B)若,則{}必發(fā)散(C)若,則{}必收斂 (D)若,則{}必發(fā)散(6)設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導數(shù)),過第2象限內(nèi)的點和第Ⅳ象限內(nèi)的點為上從點到的一段弧,則下列小于零的是(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線形相關(guān)的是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)矩陣,,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目標獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(A) (B)(C) (D)(10)設(shè)隨即變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),,分別表示的概率密度,則在的條件下,的條件概率密度為(A) (B)(C) (D)二、填空題(11－16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)(11)=_______.(12)設(shè)為二元可微函數(shù),,則=______.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為=____________.(14)設(shè)曲面,則=_____________.(15)設(shè)矩陣,則的秩為________.(16)在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為________.三、解答題(17－24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(17)(本題滿分11分)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.(18)(本題滿分10分)計算曲面積分其中為曲面的上側(cè).(19)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導數(shù)且存在相等的最大值,,證明:存在,使得.(20)(本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足(1)證明:(2)求的表達式.(21)(本題滿分11分)設(shè)線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實對稱矩陣的特征向量值是的屬于特征值的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(1)驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量.(2)求矩陣.(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為(1)求(2)求的概率密度.(24)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為是來自總體的簡單隨機樣本,是樣本均值(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)則的零點個數(shù)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函數(shù)在點處的梯度等于(A) (B)-(C) (D)(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是(A)若收斂,則收斂 (B)若單調(diào),則收斂(C)若收斂,則收斂 (D)若單調(diào),則收斂(5)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣.若,則 (A)不可逆,不可逆 (B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設(shè)為3階實對稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖,則的正特征值個數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3(7)設(shè)隨機變量獨立同分布且分布函數(shù)為,則分布函數(shù)為(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)隨機變量,且相關(guān)系數(shù),則(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是.(10)曲線在點處的切線方程為.(11)已知冪級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,則冪級數(shù)的收斂域為.(12)設(shè)曲面是的上側(cè),則.(13)設(shè)為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,,則的非零特征值為.(14)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分)計算曲線積分,其中是曲線上從點到點的一段.(17)(本題滿分10分)已知曲線,求曲線距離面最遠的點和最近的點.(18)(本題滿分10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù),(=1\*ROMAN1)利用定義證明函數(shù)可導,且.(2)當是以2為周期的周期函數(shù)時,證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù).(19)(本題滿分10分),用余弦級數(shù)展開,并求的和.(20)(本題滿分11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(=1\*ROMAN1).(2)若線性相關(guān),則.(21)(本題滿分11分)設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,,(=1\*ROMAN1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機變量與相互獨立,的概率分布為,的概率密度為,記,(=1\*ROMAN1)求.(2)求的概率密度.(本題滿分11分)設(shè)是總體為的簡單隨機樣本.記,,(=1\*ROMAN1)證明是的無偏估計量.(2)當時,求.2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)當時,與等價無窮小,則(A) (B)(C) (D)(2)如圖,正方形被其對角線劃分為四個區(qū)域,,則(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-21-2023-1O則函數(shù)的圖形為(A) 0230231-2-110231-2-11(C)0230231-110231-2-11(4)設(shè)有兩個數(shù)列,若,則(A)當收斂時,收斂. (B)當發(fā)散時,發(fā)散. (C)當收斂時,收斂. (D)當發(fā)散時,發(fā)散.(5)設(shè)是3維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為(A) (B)(C) (D)(6)設(shè)均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為,其中為標準正態(tài)分布函數(shù),則(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)設(shè)隨機變量與相互獨立,且服從標準正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機變量的分布函數(shù),則函數(shù)的間斷點個數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù),,則.(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,則非齊次方程滿足條件的解為.(11)已知曲線,則.(12)設(shè),則.(13)若3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,則矩陣的非零特征值為.(14)設(shè)為來自二項分布總體的簡單隨機樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.若為的無偏估計量,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)的極值.(16)(本題滿分9分)設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(本題滿分11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過點且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程.(2)求與之間的立體體積.(18)(本題滿分11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導,則存在,使得.(2)證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導,且,則存在,且(19)(本題滿分10分)計算曲面積分,其中是曲面的外側(cè).(20)(本題滿分11分)設(shè),(1)求滿足的.的所有向量,.(2)對(1)中的任意向量,證明無關(guān).(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值;(2)若二次型的規(guī)范形為,求的值.(22)(本題滿分11分)袋中有1個紅色球,2個黑色球與3個白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù).求.(2)求二維隨機變量概率分布(23)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,,,…是來自總體的簡單隨機樣本.(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)求參數(shù)的最大似然估計量.2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限=(A)1 (B)(C) (D)(2)設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān) (B)僅與取值有關(guān)(C)與取值都有關(guān) (D)與取值都無關(guān)(4)=(A) (B) (C) (D)(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩 (B)秩秩(C)秩秩 (D)秩秩(6)設(shè)為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)則=(A)0 (B)1 (C) (D)(8)設(shè)為標準正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度,為概率密度,則應(yīng)滿足(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求=.(10)=.(11)已知曲線的方程為起點是終點是則曲線積分=.(12)設(shè)則的形心的豎坐標=.(13)設(shè)若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則=.(14)設(shè)隨機變量概率分布為則=.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說明理由記求極限(18)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設(shè)為橢球面上的動點,若在點的切平面與面垂直,求點的軌跡并計算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題滿分11分)設(shè)已知線性方程組存在兩個不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型在正交變換下的標準形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率分布為123其中未知,以來表示來自總體的簡單隨機樣本(樣本容量為)中等于的個數(shù)試求常數(shù)使為的無偏估計量,并求的方差.2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)曲線的拐點是（）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D（4，0）2、設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且。無界，則冪級數(shù)的收斂域為（）ABCD設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的導數(shù)，且.。則函數(shù)在點處取得極小值的一個充分條件是（）ABCD4、設(shè)，則的大小關(guān)系是（）ABCD5、設(shè)A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，，則A=（）ABCD6、設(shè)是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。若是的一個基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（）ABCD7、設(shè)為兩個分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，則必為概率密度的是（）ABCD+8、設(shè)隨機變量相互獨立，且都存在，記，則（）ABCD二、填空題：9—14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。9、曲線的弧長為_____________10、微分方程滿足條件的解為________________11、設(shè)函數(shù)，則12、設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分13、若二次曲面的方程，經(jīng)正交變換化為，則14、設(shè)二維隨機變量，則三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、（本題滿分10分）求極限16、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)，其中具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，函數(shù)可導且在處取得極值.求17、（本題滿分10分）求方程的不同實根的個數(shù)，其中為參數(shù)。18、（本題滿分10分）=1\*GB3①證明：對任意的正整數(shù)，都有成立；=2\*GB3②設(shè)，證明數(shù)列收斂.19、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且，其中計算二重積分20、（本題滿分11分）設(shè)向量組，，不能由向量組，，線性表示；求的值；將用線性表示；21、（本題滿分11分）A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量（2）矩陣A22、（本題滿分11分）設(shè)隨機變量X與Y的概率分布分別為X01Y-101且求（1）二維隨機變量（X，Y）的概率分布；（2）的概率分布（3）X與Y的相關(guān)系數(shù)23、（本題滿分11分）設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，其中已知，未知.為樣本均值和樣本方差.求（1）求參數(shù)的最大似然估計(2)計算E和D2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線