2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題11計(jì)數(shù)原理一、選擇題1．(2020年新高考I卷(山東卷)·第3題)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同安排方法共有 ()A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C解析：首先從名同學(xué)中選名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場(chǎng)館．故不同的安排方法共有種．故選：C【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第3題2．(2020新高考II卷(海南卷)·第6題)要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有 ()A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C解析：第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種，故選：C【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020新高考II卷(海南卷)·第6題3．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第6題)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有 ()A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C解析：根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第6題4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第8題)的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為 ()A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(且)所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)式定理【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第8題5．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第4題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ()A．12 B．16 C．20 D．24【答案】【答案】A【解析】因?yàn)椋缘南禂?shù)為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，是常規(guī)考法?！绢}目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第4題6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第5題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ()A． B． C． D．【答案】C解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第5題7．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第6題)展開(kāi)式中的系數(shù)為 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,故前系數(shù)為,選C．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題,第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行加和．這類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式中的不同．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第6題8．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第4題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ()A． B． C．40 D．80【答案】C【解析】,由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:可得:當(dāng)時(shí),展開(kāi)式中的系數(shù)為,當(dāng)時(shí),展開(kāi)式中的系數(shù)為,則的系數(shù)為．故選C．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式【點(diǎn)評(píng)】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第4題9．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有 ()A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，以考查考生的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力為主．【解析】解法一：分組分配之分人首先分組將三人分成兩組，一組為三個(gè)人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可能；其次排序兩組前后在排序，在對(duì)位找工作即可，有種可能；共計(jì)有36種可能．解法二：分組分配之分工作工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個(gè)人有可能，共計(jì)有36種可能．解法三：分組分配之人與工作互動(dòng)先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作，有種可能，剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有種可能，但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同，所以要除以，共計(jì)有36種可能．解法四：占位法其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作，選出此人，讓其先占位，即有中可能；剩下的兩項(xiàng)工作由剩下的兩個(gè)人去完成，即有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．解法五：隔板法和環(huán)桌排列首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個(gè)隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．【知識(shí)拓展】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn)，?？碱}型有1．排列組合；2．二項(xiàng)式定理，幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題，排列組合這種排序問(wèn)題?？?，已經(jīng)屬于高考常態(tài)，利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài)，尤其是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\組合問(wèn)題【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題10．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第5題)如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 () ()A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【解析】有種走法，有種走法，由乘法原理知，共種走法故選B．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\組合問(wèn)題【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第5題11．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第10題)的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ()A．10 B．20 C．30 D．60【答案】C解析：在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選C．考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開(kāi)式某一項(xiàng)的系數(shù)．【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開(kāi)式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項(xiàng)展開(kāi)式式某一項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得到該項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第10題12．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第5題)已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5，則等于 ()A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】D解析：中含的項(xiàng)為：，即考點(diǎn)：(1)10．7．1求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)；難度：B備注：高頻考點(diǎn)【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第5題13．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第9題)設(shè)m為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若13=7，則＝ ()A．5 B．6QUOTE C．7 D．8【答案】Ｂ解析：由題知=，=，∴13=7，即=，解得=6，故選B．考點(diǎn):(1)10．7．2求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)13．1．1函數(shù)與方程思想．難度：Ａ備注：高頻考點(diǎn)【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第9題二、多選題14．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第12題)設(shè)正整數(shù)，其中，記．則 ()A． B．C． D．【答案】ACD解析:對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確．故選ACD．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第12題三、填空題15．(2022新高考全國(guó)I卷·第13題)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________(用數(shù)字作答)．【答案】-28解析：因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28故答案為：-28【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)和問(wèn)題【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷·第13題16．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第14題)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種．【答案】解析：4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第14題17．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第14題)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答)．【答案】解析：其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)：當(dāng)，解得的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開(kāi)通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第14題18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第15題)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．。(用數(shù)字填寫(xiě)答案)【答案】16解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有12+4=16種，方法二，間接法：種．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\排列問(wèn)題【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第15題19．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第14題)的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．(用數(shù)字填寫(xiě)答案)【答案】10【解析】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為，∴．當(dāng)時(shí)，，即．故答案為10．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第14題20．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第15題)的展開(kāi)式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則__________．【答案】分析：由已知得，故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．【題目欄目】計(jì)數(shù)原理\二項(xiàng)式定理\二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第15題21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第13題)的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則=________．(用數(shù)字填寫(xiě)答案)【答案】解析：故考點(diǎn)：(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)；(2)組合