第三章地震作用和結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算一、課程內(nèi)容二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求2022/12/11結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章課程內(nèi)容§3-1概述§3-2單自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用——地震反應(yīng)譜法§3-4多自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用——振型分解反應(yīng)譜法§3-6底部剪力法和時(shí)程分析法§3-7水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)§3-8結(jié)構(gòu)的豎向地震作用§3-9結(jié)構(gòu)自振周期的近似計(jì)算§3-10地震作用計(jì)算的一般規(guī)定§3-11結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算2022/12/12結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求重點(diǎn)和難點(diǎn)：1、重要術(shù)語、概念、定義2、單（多）自由度體系地震反應(yīng)和地震作用計(jì)算3、底部剪力法4、結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本要求：掌握結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本方法2022/12/13結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用

----地震反應(yīng)譜法一、水平地震作用的計(jì)算公式二、建筑的重力荷載代表值三、抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜2022/12/14結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)

一、水平地震作用的計(jì)算公式地面水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用于單自由度體系質(zhì)點(diǎn)上的慣性力F（t）為若考慮到cx(t)<<kx(t)而略去不計(jì)，則得

上式表明，在地震作用下，質(zhì)點(diǎn)任一時(shí)刻的相對(duì)位移與該瞬時(shí)的慣性力成正比，且比例系數(shù)為體系的剛度k。因此可以認(rèn)為這一位移是由該瞬時(shí)的慣性力引起的，故可將慣性力理解為一種能反映地震影響的等效荷載。若考慮到，并取，則得水平地震作用，即

在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，只需求出水平地震作用的最大絕對(duì)值，即質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m與最大絕對(duì)加速度的乘積。

2022/12/15結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)算水平地震作用最大值的基本公式設(shè)F為水平地震作用最大值，則得或，這里，令：，代入上式，并以FEK代替F，則得計(jì)算水平地震作用的基本公式：式中：FEK--水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值；Sa--質(zhì)點(diǎn)加速度最大值；----地震動(dòng)峰值加速度；β----動(dòng)力系數(shù)；k----地震系數(shù)；

α----地震影響系數(shù)；G----建筑的重力荷載代表值。求作用在質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用FEK，關(guān)鍵在于求出地震系數(shù)k和動(dòng)力系數(shù)β，或者是地震影響系數(shù)α。

2022/12/16結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)二、建筑的重力荷載代表值地震動(dòng)時(shí)能作質(zhì)量產(chǎn)生地震作用(慣性力)的各種豎向荷載，稱為重力荷載?？拐鹪O(shè)計(jì)時(shí)，在地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的計(jì)算中和結(jié)構(gòu)構(gòu)件地震作用效應(yīng)的基本組合中，建筑物重力荷載的取值稱為重力荷載代表值?！犊拐鹨?guī)范》規(guī)定，建筑物的重力荷載代表值應(yīng)取結(jié)構(gòu)和構(gòu)配件自重(恒

載)標(biāo)準(zhǔn)值和各可變荷載(活荷載)組合值之和。各可變荷載的組合值系數(shù)按規(guī)范取值。

由于地震發(fā)生時(shí)，可變荷載往往達(dá)不到其標(biāo)準(zhǔn)值而采用組合值(即組合值系數(shù)乘以可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值)，故建筑物的重力荷載代表值是地震發(fā)生時(shí)根據(jù)遇合概率確定的“有效重力”。由于重力荷載代表值是按荷載標(biāo)準(zhǔn)值確定的，所以按式計(jì)算得到的地震作用也是標(biāo)準(zhǔn)值。

2022/12/17結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)組合值系數(shù)

可變荷載種類組合值系數(shù)雪荷載0.5屋面積灰荷載

0.5屋面活荷載

不考慮按實(shí)際情況考慮的樓面活荷載

1.0按等效均布活荷載考慮的樓面活荷載藏書庫、檔案庫0.8其它民用建筑0.5吊車懸吊物重力硬鉤吊車0.3軟鉤吊車不考慮2022/12/18結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)三、抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜1、地震系數(shù)k地震系數(shù)是地震動(dòng)峰值加速度（地面運(yùn)動(dòng)的最大絕對(duì)加速度）與重力加速度的比值，也就是以重力加速度為單位的地震動(dòng)峰值加速度。顯然，地面加速度愈大，地震的影響就愈強(qiáng)烈，即地震烈度愈大。所以，地震系數(shù)與地震烈度有關(guān)，都是地震強(qiáng)烈程度的參數(shù)。例如，地震時(shí)在某處地震加速度記錄的最大值，就是這次地震在該處的k值(以重力加速度g為單位)。2022/12/19結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)設(shè)防烈度與地震系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系地面運(yùn)動(dòng)加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系數(shù)與地震烈度之間有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：從表中可以看出，地震系數(shù)反映某地區(qū)基本烈度的大小，當(dāng)基本烈度確定后，地震系數(shù)為常數(shù)。但必須注意，地震烈度的大小還取決于地震持續(xù)時(shí)間和地震波的頻譜特性。統(tǒng)計(jì)分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。設(shè)防烈度6789地震系數(shù)0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402022/12/110結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)地震動(dòng)峰值值加速度和和設(shè)計(jì)基本本地震加速速度與地震震系數(shù)抗震設(shè)防烈烈度和設(shè)計(jì)計(jì)基本地震震加速度的的對(duì)應(yīng)關(guān)系系表中設(shè)計(jì)基基本地震加加速度的取取值與《中中國(guó)地震動(dòng)動(dòng)參數(shù)區(qū)劃劃圖》所規(guī)規(guī)定的地震震動(dòng)峰值加加速度相當(dāng)當(dāng)。設(shè)防烈度與與地震系數(shù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系地震系數(shù)地震動(dòng)峰值值加速度地震系數(shù)是地震動(dòng)峰峰值加速度度（地面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的最大大絕對(duì)加速速度）與重重力加速度度的比值，，也就是以以重力加速速度為單位位的地震動(dòng)動(dòng)峰值加速速度?？拐鹪O(shè)防烈度6789設(shè)計(jì)基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g設(shè)防烈度6789地震系數(shù)0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402022/11/2611結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)2、動(dòng)力系系數(shù)動(dòng)力系數(shù)：：是單自由度度彈性體系系在地震作作用下最大大反應(yīng)加速速度與地面面運(yùn)動(dòng)最大大加速度的的比值，表表示由于動(dòng)動(dòng)力效應(yīng)，，質(zhì)點(diǎn)的最最大絕對(duì)加加速度比地地面運(yùn)動(dòng)最最大加速度度放大了多多少倍。β無量綱，其其值與地震震烈度無關(guān)關(guān)，因?yàn)楫?dāng)當(dāng)增增大或減減小時(shí)，Sa相應(yīng)隨之增增大或減小小。這樣就就可利用所所有不同烈烈度的地震震記錄進(jìn)行行計(jì)算和統(tǒng)統(tǒng)計(jì)。動(dòng)力系數(shù)β還可以表示示為：由上式可知知，動(dòng)力系系數(shù)與地面面運(yùn)動(dòng)加速速度記錄的的特征征、結(jié)構(gòu)的的自振周期期T及阻尼比ζ有關(guān)。當(dāng)?shù)氐孛婕铀俣榷扔涗浐秃妥枳枘岜圈平o定時(shí)，就就可根據(jù)不不同的T值算出動(dòng)力力系數(shù)β，從而得到一一條β~T曲線。這條條曲線就稱稱為動(dòng)力系系數(shù)反應(yīng)譜譜曲線。動(dòng)力系數(shù)是是單質(zhì)點(diǎn)m最大反應(yīng)加加速度Sa與地面運(yùn)動(dòng)動(dòng)最大加速速度之比比，，而而對(duì)對(duì)于于給給定定的的地地震震是是個(gè)個(gè)定定值值，，所所以以β~T曲線線實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)上上是是一一種種加加速速度度反反應(yīng)應(yīng)譜譜曲曲線線。。2022/11/2612結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)3、、地地震震影影響響系系數(shù)數(shù)地震震影影響響系系數(shù)數(shù)：：表示示單單自自由由度度彈彈性性體體系系在在地地震震時(shí)時(shí)以以重重力力加加速速度度g為單單位位的的最最大大反反應(yīng)應(yīng)加加速速度度。。地震震影影響響系系數(shù)數(shù)也也是是作作用用在在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)上上的的地地震震作作用用與與結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)重重力力荷荷載載代代表表值值之之比比（（））。。《抗抗震震規(guī)規(guī)范范》》是是以以地地震震影影響響系系數(shù)數(shù)作作為為抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)依依據(jù)據(jù)的的，，其其數(shù)數(shù)值值應(yīng)應(yīng)根根據(jù)據(jù)烈烈度度、、場(chǎng)場(chǎng)地地類類別別、、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)地地震震分分組組以以及及結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)自自振振周周期期和和阻阻尼尼比比，，通通過過地地震震影影響響系系數(shù)數(shù)曲曲線線（（抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)反反應(yīng)應(yīng)譜譜））確確定定：：2022/11/2613結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)（1）地震影響系數(shù)數(shù)曲線（抗震震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜譜）----地震震影響系數(shù)；；----地震影影響系數(shù)最大大值；----結(jié)構(gòu)構(gòu)自振周期；；----特征周周期（？？））；----直線線下降段的下下降斜率調(diào)整整系數(shù)；----阻尼尼調(diào)整系數(shù)；；----衰減指指數(shù)2022/11/2614結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)（2））抗震設(shè)設(shè)計(jì)反反應(yīng)譜譜的特特征及及參數(shù)數(shù)取值值1）曲曲線線由四四部分分組成成，其其值也也由四部分分構(gòu)成成。2）結(jié)構(gòu)自自振周周期1、單單自由由度體體系：：----質(zhì)質(zhì)點(diǎn)在在單位位水平平集中中力作作用下下產(chǎn)生生的側(cè)側(cè)移2、多多質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)體系系：近近似計(jì)計(jì)算（（P87：§3-9）3）特征周周期4）地震影影響系系數(shù)最最大值值：5）對(duì)應(yīng)于于阻尼尼比等等于0.05和和不等等于0.05，，抗震震設(shè)計(jì)計(jì)反應(yīng)應(yīng)譜的的形狀狀參數(shù)數(shù)（、、、、））不同同：即不同同阻尼尼比的的地震震影響響系數(shù)數(shù)是有有差別別的：：隨著著阻尼尼比的的減小小，地地震影影響系系數(shù)增增大，，而其其增大大的幅幅度則則隨周周期的的增大大而減減小。。2022/11/2615結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)設(shè)計(jì)計(jì)特特征征周周期期規(guī)范范規(guī)規(guī)定定，，根根據(jù)據(jù)建建筑筑工工程程的的實(shí)實(shí)際際情情況況，，將將地震震動(dòng)動(dòng)反反應(yīng)應(yīng)譜譜特征征周周期期Tg，取名名為為““設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)特特征征周周期期””。。設(shè)計(jì)計(jì)特特征征周周期期的的值值應(yīng)應(yīng)根根據(jù)據(jù)建建筑筑物物所所在在地地區(qū)區(qū)的的地地震震環(huán)環(huán)境境確確定定。。（（所所謂謂地地震震環(huán)環(huán)境境，，是是指指建建筑筑物物所所在在地地區(qū)區(qū)及及周周圍圍可可能能發(fā)發(fā)生生地地震震的的震震源源機(jī)機(jī)制制、、震震級(jí)級(jí)大大小小、、震震中中距距遠(yuǎn)遠(yuǎn)近近以以及及建建筑筑物物所所在在地地區(qū)區(qū)的的場(chǎng)場(chǎng)地地條條件件等等。。））抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)中中，，設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)特特征征周周期期Tg的取值值根根據(jù)據(jù)““設(shè)計(jì)計(jì)地地震震分分組組”確確定定。。2022/11/2616結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)設(shè)計(jì)計(jì)地地震震分分組組GB50011——2001規(guī)范范在在附附錄錄A中規(guī)規(guī)定定了了縣縣級(jí)級(jí)及及縣縣級(jí)級(jí)以以上上城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)的的中中心心地地區(qū)區(qū)(如如城城關(guān)關(guān)地地區(qū)區(qū))的的抗抗震震設(shè)設(shè)防防烈烈度度、、設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)基基本本地地震震加加速速度度和和所所屬屬的的設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)地地震震分分組組。。特征征周周期期Tg值設(shè)計(jì)地震分組場(chǎng)地類別Ⅰ

ⅡⅢ

IV第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.902022/11/2617結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)水平地震震影響系系數(shù)最大大值（阻阻尼比0.05）注：括號(hào)號(hào)數(shù)字分分別對(duì)應(yīng)應(yīng)于設(shè)計(jì)基本本地震加加速度0.15g和0.30g地區(qū)的地地震作用用影響系系數(shù)。地震影響烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.402022/11/2618結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)基本地地震加速度度1．設(shè)計(jì)基基本地震加加速度定義：50年設(shè)計(jì)基基準(zhǔn)期超越越概率10％的地震震加速度設(shè)設(shè)計(jì)取值。?？拐鹪O(shè)防烈烈度和設(shè)計(jì)計(jì)基本地震震加速度的的對(duì)應(yīng)關(guān)系系表中設(shè)計(jì)基基本地震加加速度的取取值與《中中國(guó)地震動(dòng)動(dòng)參數(shù)區(qū)劃劃圖》所規(guī)規(guī)定的地震震動(dòng)峰值加加速度相當(dāng)當(dāng)。抗震設(shè)防烈度6789設(shè)計(jì)基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g2022/11/2619結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)§3-4多自自由度彈性性體系的地地震反應(yīng)一、多質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)和多自由由度體系二、兩自由由度彈性體體系的自由由振動(dòng)1、兩自由由度運(yùn)動(dòng)方方程的建立立2、兩自由由度彈性體體系的運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方程程組3、兩自由由度彈性體體系的自由由振動(dòng)三、多自由由度彈性體體系的自由由振動(dòng)1、n自由度體系系運(yùn)動(dòng)微分分方程組2、n自由度彈性性體系的自自由振動(dòng)四、振型分分解法1、兩自由由度體系振型分解法法2、n自由度體系系振型分解法法2022/11/2620結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)一、、多多質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)和和多多自自由由度度體體系系在進(jìn)進(jìn)行行建建筑筑結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析時(shí)時(shí)，，除除了了少少數(shù)數(shù)質(zhì)質(zhì)量量比比較較集集中中的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)可可以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化為為單單質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)體體系系外外，，大大量量的的多多層層和和高高層層工工業(yè)業(yè)與與民民用用建建筑筑、、多多跨跨不不等等高高單單層層工工業(yè)業(yè)廠廠房房等等，，質(zhì)質(zhì)量量比比較較分分散散，，則則應(yīng)應(yīng)簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化為為多多質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)體體系系來來分分析析，，這這樣樣才才能能得得出出比比較較符符合合實(shí)實(shí)際際的的結(jié)結(jié)果果。。一般般，，對(duì)對(duì)多質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)體體系系，，若若只只考考慮慮其其作作單單向向振振動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，，則則體體系系的的自自由由度度與與質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相同同。。2022/11/2621結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)二、兩兩自由由度彈彈性體體系的的自由由振動(dòng)動(dòng)左圖為為一兩兩自由由度彈彈性體體系在在水平平地震震作用用下，，在時(shí)時(shí)刻t的變形形情況況。Xg(t)為地震震時(shí)地地面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的的水平平位移移，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)2沿地面面運(yùn)動(dòng)動(dòng)方向向產(chǎn)生生的相相對(duì)于于地面面的水水平位位移分分別為為x1(t)和x2(t)，而相對(duì)對(duì)速度度則為為和和，，相相對(duì)加加速度度為和，絕對(duì)對(duì)加速速度分分別為為+和+。2022/11/2622結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)1、兩兩自由由度運(yùn)運(yùn)動(dòng)方方程的的建立立單自由由度體體系相相似，，取質(zhì)質(zhì)點(diǎn)1作隔離離體，，則作作用在在其上上的慣慣性力力為：：彈性恢恢復(fù)力力為：阻尼力力為：式中k11——使質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1產(chǎn)生單單位位位移而而質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)2保持不不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1處所需需施加加的水水平力力；k12——使質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)2產(chǎn)生單單位位位移而而質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1保持不不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1處引起起的彈彈性反反力；；c11——質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單單位速速度而而質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)2保持不不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1處產(chǎn)生生的阻阻尼力力；c12——質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單單位速速度而而質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1保持不不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1處產(chǎn)生生的阻阻尼力力；m1——集中在在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1上的質(zhì)質(zhì)量。。2022/11/2623結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)2、兩自自由度彈彈性體系系的運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程組根據(jù)達(dá)朗朗貝爾原原理，I1+R1+S1=0，經(jīng)整理得得下列運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程程同理對(duì)于于質(zhì)點(diǎn)2:上二式就就是兩自自由度彈彈性體系系在水平平地震作作用下的的運(yùn)動(dòng)微微分方程程組。上述列動(dòng)動(dòng)力平衡衡方程求求解的方方法常稱稱為剛度度法。運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程程中的系系數(shù)kij反映了結(jié)結(jié)構(gòu)剛度度的大小小，稱為為剛度系系數(shù)。2022/11/2624結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)3、兩自由由度彈性體體系的自由由振動(dòng)以兩自由度度體系為例例，令方程程組等號(hào)右右邊荷載項(xiàng)項(xiàng)為零，由由于阻尼對(duì)對(duì)體系自振振周期影響響很小，故故略去阻尼尼，即得該該體系無阻阻尼自由振振動(dòng)方程組組：設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)作同頻率率、同相位位的簡(jiǎn)諧振振動(dòng)，則上上列微分方方程組的解解為：式中X1和X2——分別為質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2的位移振幅幅；ω——振動(dòng)頻率；；φ——初相位。經(jīng)整理后得得下列振幅幅方程：：2022/11/2625結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)1）、自振頻率和和自振周期期上式為Xl和X2的線性齊次次方程組；；體系在自自由振動(dòng)時(shí)時(shí)，X1和X2不能同時(shí)為為零，否則則體系就不不可能產(chǎn)生生振動(dòng)。為使上式有有非零解，，其系數(shù)行行列式必須須等于零，，即：展開行列式式，可得ω2的二次方程程：上式稱為頻頻率方程，，解之得：：由此可求得得ω的兩個(gè)正實(shí)實(shí)根，它們們就是體系系的兩個(gè)自自振圓頻率率。其中較較小的一個(gè)個(gè)用ωl表示，稱為為第一頻率率或基本頻頻率，較大大的一個(gè)ω2稱為第二頻頻率。利用式可可由ωl和ω2求得體系的的兩個(gè)自振振周期，即即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1稱為第一周周期或基本本周期，T2稱為第二周周期。2022/11/2626結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)2）、主振型由于線性齊次次方程組的系系數(shù)行列式等等于零，所以以兩個(gè)頻率方方程并不是獨(dú)獨(dú)立的，振幅幅方程的解只只能是兩質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移振幅的的比值，如：：或當(dāng)，，振幅比值為：：當(dāng)，，振幅比值為：：式中：——體系按頻率ωj(頻率序號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)時(shí)，，質(zhì)點(diǎn)i(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i=1，2)的位移振幅。。當(dāng)，，質(zhì)點(diǎn)位移移：和和當(dāng)，，質(zhì)點(diǎn)位移移：和和式中——體系按頻率ωj(頻率序號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)時(shí)，，質(zhì)點(diǎn)i(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i=1，2)的位移2022/11/2627結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)則在兩兩種不不同頻頻率的的自由由振動(dòng)動(dòng)過程程中，，兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的的位移移比值值分別別為：：當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，上式中中每一一比值值均與與時(shí)間間無關(guān)關(guān)，且且為常常數(shù)。。這就就表明明，對(duì)對(duì)應(yīng)于于各個(gè)個(gè)自振振頻率率，體體系在在相應(yīng)應(yīng)自由由振動(dòng)動(dòng)過程程中的的任意意時(shí)刻刻，兩兩質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的位位移比比值(或振振動(dòng)曲曲線形形狀)始終終保持持不變變，且且等于于Xj2／Xj1，改變的的只是是位移移大小小和方方向。。這種種保持持質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移移比值值不變變的振振動(dòng)形形式(或形形狀)稱為為主振振型。。當(dāng)體體系按按第一一頻率率ω1振動(dòng)時(shí)時(shí)的振振動(dòng)形形式稱稱為第第一主主振型型(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱第第一振振型或或基本本振型型)，，而對(duì)對(duì)應(yīng)于于第二二頻率率ω2的振動(dòng)動(dòng)形式式稱為為第二二主振振型(簡(jiǎn)稱稱第二二振型型)。。主振型型是彈彈性體體系的的重要要固有有特征征，它它們完完全取取決于于體系系的質(zhì)質(zhì)量和和剛度度的分分布，，體系系有多多少個(gè)個(gè)自由由度就就有多多少個(gè)個(gè)頻率率，相相應(yīng)地地就有有多少少個(gè)主主振型型。2022/11/2628結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)3）、自由由振動(dòng)方程程的通解兩自由度彈彈性體系自自由振動(dòng)方方程式的通通解為其特特解即分別別對(duì)應(yīng)兩個(gè)個(gè)自振圓頻頻率的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移的線線性組合，，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始條件件確定。由上式可見見，在一般般初始條件件下，任一一質(zhì)點(diǎn)的振振動(dòng)都是由由各主振型型的簡(jiǎn)諧振振動(dòng)疊加而而成的復(fù)合合振動(dòng)。2022/11/2629結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)4）、質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)復(fù)合振動(dòng)動(dòng)振型曲線線和慣性力力兩自由度彈彈性體系分分別按頻率率ω1和ω2作簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)個(gè)振型的變變形曲線及及兩質(zhì)點(diǎn)上上相應(yīng)的慣慣性力如圖圖所示。慣性力可表表示為，，其其中i為質(zhì)點(diǎn)編號(hào)號(hào)，j為振型序號(hào)號(hào)，而且主主振型變形形曲線可視視為體系上上相應(yīng)的慣慣性力引起起的靜力變變形曲線，，因?yàn)橛煽煽芍Y(jié)結(jié)構(gòu)在任一一瞬時(shí)的位位移就是等等于慣性力力所產(chǎn)生的的靜力位移移。在一般初始始條件下，，任一質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的振動(dòng)都都是由各主主振型的簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊疊加而成的的復(fù)合振動(dòng)動(dòng)。2022/11/2630結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)5）、主主振型的的正交性性根據(jù)功的的互等定定理，第第一主振振型上的的慣性力力在第二二主振型型的位移移上所做做的功等等于第二二主振型型上的慣慣性力在在第一主主振型的的位移上上所做的的功，這這樣可得得到：整理后得得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表表示的關(guān)關(guān)系，稱稱為主振振型的正正交性，，它反映映了主振振型的一一種特性性，即體體系各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)質(zhì)量與其其在兩個(gè)個(gè)不同振振型上的的位移振振幅的連連乘積的的代數(shù)和和為零。。物理意義義是：某某一振型型在振動(dòng)動(dòng)過程中中所引起起的慣性性力不在在其它振振型的位位移上作作功。這這說明某某一振型型的動(dòng)能能不會(huì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到其其它振型型上去，，也就是是體系按按某一振振型作自自由振動(dòng)動(dòng)時(shí)不會(huì)會(huì)激起該該體系其其它振型型的振動(dòng)動(dòng)。2022/11/2631結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)三、多自自由度彈彈性體系系的自由由振動(dòng)1、、n自由由度度體體系系運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微微分分方方程程組組2、、n自由由度度彈彈性性體體系系的的自自由由振振動(dòng)動(dòng)2022/11/2632結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)1、、n自由由度度體體系系運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微微分分方方程程組組把兩兩自自由由度度彈彈性性體體系系的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微微分分方方程程組組推推廣廣到到n自由由度度體體系系，，則則其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微微分分方方程程組組應(yīng)應(yīng)由由n個(gè)方方程程組組成成，，一一般般表表達(dá)達(dá)式式為為:式中Cij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位速度，，而其它它質(zhì)點(diǎn)保保持不動(dòng)動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處產(chǎn)生的的阻尼力力；kij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位位移，，而其它它質(zhì)點(diǎn)保保持不動(dòng)動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處引起的的彈性反反力；mi——集中在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量。。求解上述述運(yùn)動(dòng)方方程組，，一般采采用振型型分解法法。該法法需要利利用多自自由度彈彈性體系系的振型型，它們們是由分分析體系系的自由由振動(dòng)得得來的。。為此，，須先討討論多自自由度體體系的自自由振動(dòng)動(dòng)問題。。2022/11/2633結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)2、n自由度彈彈性體系系的自由由振動(dòng)對(duì)于n自由度體體系，由由上式可可得其自自由振動(dòng)動(dòng)方程組組：（i=1，，2，……，n））設(shè)微分方方程組的的解為：：代入上上式，，經(jīng)整整理后后得：：……………………………………2022/11/2634結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)1）、自振頻率和和自振周期期令方程的系系數(shù)行列式式等于零，，即可求得得頻率方程程，此方程程是一個(gè)以以ω2為未知數(shù)的的一元n次方程，解解此方程，，可以求出出n個(gè)根ω12、ω22、、…、ωn2，即可得出體體系的n個(gè)自振圓頻頻率，按由由小到大的的順序排列列依次為ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。對(duì)應(yīng)的n個(gè)自振周’’期由大到到小的順序序則為T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn統(tǒng)稱為高階階頻率。一一般說來，，當(dāng)體系的的質(zhì)點(diǎn)數(shù)多多于3個(gè)時(shí)，頻率率方程的求求解就比較較困難，常常常不得不不借助于一一些近似計(jì)計(jì)算方法和和電子計(jì)算算機(jī)。2022/11/2635結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)2）、主振型和自自由振動(dòng)方方程的通解解對(duì)于n自由度彈性性體系，有有n個(gè)自自振振頻頻率率，，將將其其依依次次代代入入頻頻率率方方程程可可求求得得相相應(yīng)應(yīng)的的n個(gè)主主振振型型，，除除第第一一主主振振型型外外的的其其它它振振型型統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為高高階階振振型型。。n自由由度度彈彈性性體體系系自自由由振振動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，，任任一一質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的振振動(dòng)動(dòng)都都是是由由n個(gè)主主振振型型的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧振振動(dòng)動(dòng)疊疊加加而而成成，，故故自自由由振振動(dòng)動(dòng)方方程程的的通通解解可可寫寫為為（i=1，，2，，……，，n））式中中———第j振型型i質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的相相對(duì)對(duì)位位移移；；———第j振型型i質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的位位移移振振幅幅。。2022/11/2636結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)3））、、主振振型型的的正正交交性性對(duì)n自由由度度彈彈性性體體系系，，主主振振型型正正交交性性一一般般可可表表示示為為（j≠k）它反反映映了了主主振振型型的的一一種種特特性性，，即即體體系系各各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)量量與與其其在在不不同同振振型型上上的的位位移移振振幅幅的的連連乘乘積積的的代代數(shù)數(shù)和和為為零零。。其物理意義是是：某一振型型在振動(dòng)過程程中所引起的的慣性力不在在其它振型的的位移上作功功。這說明某一振振型的動(dòng)能不不會(huì)轉(zhuǎn)移到其其它振型上去去，也就是體體系按某一振振型作自由振振動(dòng)時(shí)不會(huì)激激起該體系其其它振型的振振動(dòng)。2022/11/2637結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)四、振型分解解法多自由度彈性性體系在水平平地震作用下下的運(yùn)動(dòng)方程程為一組相互互耦聯(lián)的微分分方程，聯(lián)立立求解有一定定困難。振型分解法就就是通過把體體系的位移反反應(yīng)按振型加加以分解，并并利用各振型型相互正交的的特性，將原原來耦聯(lián)的微微分方程組變變?yōu)槿舾苫ハ嘞嗒?dú)立的微分分方程，從而而使原來多自自由度體系結(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)計(jì)算變?yōu)槿舾筛蓚€(gè)相當(dāng)于各各自振周期的的單自由度體體系結(jié)構(gòu)的問問題，在求得得了各單自由由度體系結(jié)構(gòu)構(gòu)的地震反應(yīng)應(yīng)后，采用振振型組合法即即可求出多自自由度體系的的地震反應(yīng)。。振型分解法是是求解多自由由度彈性體系系地震反應(yīng)的的重要方法。。2022/11/2638結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)1、兩自由度度體系振型分解法將質(zhì)點(diǎn)m１及m２在地震作用下下任一時(shí)刻的的位移x１(t)和x２(t)用其兩個(gè)振型型的線性組合合來表示：上式實(shí)際上是是一個(gè)坐標(biāo)變變換公式，x１(t)和x２(t)為原來的幾何何坐標(biāo)，而新新坐標(biāo)q１(t)和q２(t)稱為廣義坐標(biāo)標(biāo)，它們也是是時(shí)間的函數(shù)數(shù)。上式也可理解解為是將體系系的位移按振振型加以分解解，q１(t)和q２(t)實(shí)際上表示了了在任一時(shí)刻刻的位移中第第一振型和第第二振型所占占的分量。由于體系的振振型是唯一確確定的，因此此，當(dāng)q１(t)和q２(t)確定后，x１(t)和x２(t)也將隨之而定定。2022/11/2639結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)對(duì)上上