立方晶格（111）面與（110）面的交線的晶向zBAO解:立方晶格（111）面與（110）面的交線為AB，其等效 zBAOxy晶列ED、FD和OF的晶列指數(shù)晶面AGK、FGIH和MNLK的密勒指數(shù)畫出晶zG

131z N CO O A B 從圖得知各晶列指數(shù)分別為

、

、

各晶FGIH(201)、AGK111、

210晶面

和晶

如圖所 zzoy 1若基1

a,b,c

構(gòu)成簡單正交系，試證明，晶面族的面間距d

hklh2 k2 l2 h2 k2 l2 abc a c證明c

a,b,c

分別

i,j,k

方向

ai,

bj

cc與晶面族（hkl）正交的倒格矢

h

k l由

2πdhkl

dhkl

a,b,c

是倒格矢的基矢aaΩbcc2πcai 同 b b

2π c khkld

2πhi ihh2 k2 l2a b c h2h2a b ck2l2

l k 1

khkl畫出體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)在面上的原子解kD H 面為AEFBH Fi

面為AEGC面面為DEG 22體心立 22

2 222 22面心立A

81試證六角密積結(jié)構(gòu)

證明

3CAECAEBa3 3a3

中ABAC

球相切所AE

2AG

a 33 33

21EF

AF

a2

3a

663c2EF 638383

6c 6

如果等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為：簡立方6

體心立方38

面心立方26六角密積26

石結(jié)構(gòu)：證明：設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性設(shè)n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑表示晶胞體則致密

n4πrρ V對簡立方晶體，任一原子有6個最近臨，若原子以剛性球堆積，如圖1，2，3，4處的原子球?qū)⒁淮蜗嗲?。因為a=2rVa

，晶胞內(nèi)包含1個原子所 a3 3π2 ρ a a圖1.1簡立方晶對體心立方晶體，任一個原子有8性球堆積，如圖1.2所示體心位置O的原子與處在8個角位置的原子球相切。因為晶胞空間對角線的長度

3a

4r，Va

，晶胞內(nèi)包含2個原子，所O 3a3O2 3

ρ a3

圖1.2體心立方晶

2a

a3

1個晶胞內(nèi)包含4132 2a31322π43 2πρ a3

圖1.3面心立方晶對六角密積結(jié)構(gòu)，任一個原子有12個最近臨，若原子以剛性球堆積，如圖1.4中心在的原子與中心在2，3，的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切，晶胞內(nèi)的原子與中心在1，3，4，5，7，8處的原子相切，即O點與中心在5，7，8處的原子分布在正四面體的四個頂上h5a1a3O5h5a1a3O54c 圖1.5正四面圖1.4六角晶因為四面體h

2a3

2r 晶胞體

Vca2sin60

332一個晶胞內(nèi)包含兩個原子，所23

a32ππ22ππ3ρ 3 2對石結(jié)構(gòu)，任一個原子有4個最近臨，若原子以剛性球堆積，如圖1.6O原子與中心在1，2，3，4處的面心原子相切因為所

晶胞體

Va3

一個晶胞中包含8個原子132 3a3 1328 ρ a3 圖1.6石結(jié)徑和大球半徑之比值分別體心立方（配位數(shù)為８）1

r/R

0.73簡單立方（配位數(shù)為６）：0.73

r/R

正四面體結(jié)構(gòu)（配位數(shù)為４）0.41

r/R

0.23層狀結(jié)構(gòu)（配位數(shù)為３）0.23

r/R

0.16解：半徑相同的原子才可能構(gòu)成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)等于12。如原子球半徑不等，就不可能形成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)必低于12。2r 3Rr

3

因此，對于體心立方，1

R若r/R<0.73，小球在體心處可以搖動，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，因設(shè)小球半徑r)在，恰與上下左右前后6個大球(半徑R)相切，各大球之間也相切，從而形成穩(wěn)定的簡單立方結(jié)構(gòu)。BOR BOR AB2即

R

r22r2所以

1

0.73

R0.41當(dāng)r/R<0.412當(dāng)大球半徑R)形成一正四面體且彼此相切，而小球(半徑r)位于由它們圍成的正四面體中的間隙處并與大球相切時，則四面體2處于穩(wěn)定

有 R

所以r 2332R2332

因此，對于四面體結(jié)構(gòu)0.41rR若r/R<0.23時，則得到層狀(4)在層狀結(jié)構(gòu)中，當(dāng)半徑為R的三個大球A、B、C彼此相切，而間隙中又共同外切一半徑為r的小球時，結(jié)構(gòu)最穩(wěn)定。COCOADBr cos300

1

因此，對于層狀結(jié)構(gòu)0.23

r :解 體心立方的原胞基矢a1

ai2

jkb1a2b1a2a3 2 a3a13a12a2

2

jk

a1

a3 a32a3a2a3

a2

jk

a

a2a2aka2a2a2 a2a2aka2a2a2

2a2

ja22a2a

a2

ja22

a3

a32b1

a3

2 aja3 2同理得

倒格矢2

b1 jkb2

i

b2

ikb3

ij

b3

ij體心立方的倒格子是邊長為4體心立方的倒格子是邊長為4/a的面心立方證明基矢

a1,a2,a3

倒格基矢

b1,b2,b3則2π

2π2π

2π

Ω

Ω a3

a2 2π2π2

ΩΩΩΩ

a1a1a2 又ABC

ACBA所

a1a1a2

a1a2

a1a1

可b

2π

2π

Ω

2π ΩΩ

a同理a

b a2 a3證明:晶帶軸[l1l2l3]與該晶帶中的平面(h1h2h3)

l3h3證明:晶棱(晶面的交線)互相平行的晶面組合成晶帶,互相平行由定義可知,帶軸與該晶帶中的平面的法線互相垂直Rl

l1

l2

l3

表示帶軸方向K

表示平面(h1h2h3)的法線方向那么RKh由倒格子的性質(zhì)

aib

ij 2(lij

l3h3)

l3h3證明：晶h1h2h3

屬于同一晶帶的條件

證明：當(dāng)三個晶面屬于同一晶帶時，它們兩兩的交線必互相平行。設(shè)這些互相平行的交線的共同方向即晶帶軸的方向為[uvw]，用格Rua1va2 表示11

h2h3

的法線方向平行于倒格Kh

的方向，因而Kh 與R正交，KhR利用正交關(guān)

aibj 2iji、

得

對于晶

，同理可

欲要、、w不同時為零，即要方程組(1)、(2)、(3)有非零解，由線性方程理論知道，其系數(shù)行列式必須為零，于是得

3 a 32a1 2 3 a 3

i 求其倒格

晶胞體積

Ωa13a3

a3 a

3 3 i2

aj i

ajck233

j其倒格基失j b1

ac

3i

2π 3i 3Ω 2π

3a2c 233

a b2

i ja b3

2πkc倒格失

Kh

h

h

ch3：證明在二維晶格中，倒格子原胞面積S＊與正格原胞面積S的有關(guān)系

S*

(2S證明a、b表示正格子的基矢，正格子原胞的面積Sa

absin式中，

a、

間的夾c表示垂直

a、

所在平面的單位矢量 a、

表示倒格子基矢，則二維倒格子基矢可 2πb

2πcaca c

因

22ab

利用矢量乘

ABCACB

A

得到b

c

a

ccbc所

a

2π2abca abc

ab因為ab代入上式

ccabab 2ccababab 2 因而倒格子原胞的面積等b b

比較(1)、(2)兩式，即

S 密勒指數(shù)為（hk）的晶列與倒格

ha

垂直其中a

為倒格子晶列間

dhk

Khk 如圖所示

BB為晶列（hk）中相鄰的

BB B（hk）中最近臨原點的一條 在基失ab的截距為

KhkDa OCh

OD k由圖可見

DC

bODab 由正倒格子基失間的關(guān)bb 0 0abb可 DCKhk kb khhkbaKhkKhkdhk

OC

Khk aKh

證明在立方晶系中，晶列hkl

與晶hkl

正交，并h1k1l1與晶面h2k2l2

的夾角證明d為晶面族hkl的面間距n為法向單位矢量，根晶面族的定義，晶面hkl將

分別截為hk

等份 an

a,b,cb,nb,nnbn

cn

ccosc,n于是

d ikh h

dj ad

a其中i

j,k

分別為平行于

三個坐標(biāo)軸的單位矢量a,b,c而晶列hkl的方向矢R

lk

由（1），（2）兩 a2n

R平行此晶

與晶

正交對于立方h1k1l1與晶面h2k2l2

的夾角就是晶R1

與晶

R2

l2c的夾角設(shè)晶面h1k1l1與晶面h2k2l2

的夾角為h11h2212 h11h2212R1R2

R2cos

2k

l

2k

l222

k1k2a

l1l2a22 hhkkl 22cos1 1 ：試求面心立方和體心立方晶格中粒子密度最大的晶面,并解:粒子面密 d(d是面間距,是粒子數(shù)體密度對于布喇菲格子,是常數(shù),因此d大的晶面就大,這樣的晶是解理面由倒格子的性質(zhì)知晶面族(123的面間距:由面心立方,正格矢

KhhKhha1

ajk2

b1a

jka2

a2

k

b2a

jka3

aij

2 2Khh1

b31a1

ija

h3

h121

h3j

kKhK K

hhhh2123hhh2123hhh2123a

i

h3

j

k1111

K3取最小值K3

,a(上述晶面對應(yīng)于結(jié)晶學(xué)原胞的{111}面a3dmax34面心立方結(jié)構(gòu)的粒子體密4a3

maxda

333a33體心立方K(klK(kl)2(hl)2(hk)2ha

}時

h取最小值KaK

2,這時面(上述晶面對應(yīng)于結(jié)晶學(xué)原胞的{110}面2admax2a222a體心立方結(jié)構(gòu)的粒子體密222aa3

maxa a在六角晶系中，晶面常用四個指數(shù)hkil

來表示，如所示，前三個指數(shù)表示晶面族中最靠近原點的晶面在互

的共平面

a1、a2、

上的截距

a1h、

k、a3i第四個指數(shù)表示該晶面在六重軸c上的截距為cl晶面法線方向的單位矢量n。

因為晶面族(hkil)中最靠近原點晶面ABC

、、

a

h

k

a

a Oa1 軸上的截距分別為

因 a1nhd

kdid

由

a2

式的關(guān)系代入，即id

kd

，i

本題也可以采用晶面(ABC)截割坐標(biāo)軸后的面積關(guān)系求解在圖中于是

12

asini

12

asini

2

aasinha

約去公因子，并用hkl乘等式兩邊即得(2)式若題中各個(hkl)晶面改用(hkil)表示，則分別010

，110

，133，213

132321333233213證明對于布喇菲格子，任意晶面上的粒子密度為d d為該晶面族的面間距是布喇菲原胞的體積證明：設(shè)有一任意格R

na為底構(gòu)造一平行六面體，格矢a1 分別

O此六面體的體 a3VR

a1

設(shè)以格矢R為法線的晶面族的面間距為d，則其法 單位矢 在上述平行六面體中，通過割補法，一共可以截 d個等面積S

R

表示這族晶面上粒子的面密度，為體密度，RR RRN Sd

d

na3

d

或用體密度表示N

(2)、(3)式中均用了(1)對于布喇菲格子，一個原胞只含一個離于是(3)

lmn

聯(lián)立(2)、(4)兩式則可得到結(jié)1設(shè)點陣中晶面族1

h2

的面間距為 ，證明倒格

Kh

與該族晶面d1Kh利用h2hh2h2h2123

，式a為晶格常數(shù)證明：(1)因為同一組晶面中的各晶面是互相平行的，要證1倒格矢垂直晶面族1

h2h3

，只需證

Kh垂直于這族最靠近原點的晶面上兩相交矢量就行了設(shè)ABC為所述晶面 根據(jù)密勒指數(shù)的意義，

三個軸上的

h2

h3矢CACB

OA OB

CA

CB都在晶面ABC上。由

2ij易 KhCA KhCB

11h11

a30h300a30h3因此，Kh與ABC晶面垂直，同時也垂直與整個晶面a3CaKh hd a3CaKh hd B A111

h2h3的面間距d等于原點0ABC的垂直距離，亦即等于截

在晶面ABC法向方向上投影單位法向矢

Kh Khh h hb Kh 1KhKhd KhKh對于簡單立方晶格，若以aa1ai,a2aj,a3i、j、

是直角坐標(biāo)系中的方向單位矢量倒格子基

2 2

2b1

ai,b2

j,b3 a因 2 Kh 2 Kh 所d Kh

ah2

h21 并且倒格子基矢間的夾角

和基矢長度 分別滿cos

11ba11

cos*1式中a和 分別為正格子基矢的長度和基矢間的夾角。證明：按照倒格子基矢的定義

bi

aj aj

aj

為正格子基矢。對于三角布喇菲格子，基矢的長度a1

a3

，基矢間的

。從(1)式容出，倒格子基矢長度必為

b3

。應(yīng)用(1)式

sin2

b

b2

12式中12

表示倒格子

b2間的夾角。把(3)式代入(2)得cos

a112

sin2

a3

a2a4sin2a

cos

a4sin2

1其中使用了三角轉(zhuǎn)換公

1cos1cos

。輪1212

。結(jié)合前

，可見三角布喇菲格子的倒格子仍為三喇菲格子其次，設(shè)基PPαθa3RQa

所在晶面的法向單位矢為n23，與基

a1的夾角

在圖中，過O

，連PQ，并過P

在

OQPQOP

acos23asin2a

n23 根據(jù)余弦定理，線OPOQ的夾角的余

a2a2

cos22

sin222a22cos2

cos2 2 cos2

2

的幾何關(guān)系

1

2cos2

1

1cos2

即11

,23,23

1

2cos21

1

2

式中最后一個等式已使用式(4)

a3

cosa3

sin1

2

cos1把(6)式代入式(3)并將等式兩邊開平方即ba1

2

電位移矢D與外電場E的關(guān)系

D

，式為介電常數(shù)張量。試根據(jù)晶體的對稱性證明，對于簡六角晶體

0 000 00解：電位移與電場間的關(guān)

D

用矩陣表示 Dx

xzExDy

Ey

Dz

E zE如圖選取六重軸為x軸，并令電場沿x軸正方向E

，由(1)式得xzxzoDxxxEx DyyxEy

Dz

zxEz令晶體繞x

，使y軸轉(zhuǎn)到-y軸方向，z軸轉(zhuǎn)到-z軸向。D將作相同的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的電位移用 表示，Dx

xx DyyxEy

Dz

zxEz但是，上述轉(zhuǎn)動不過是六角晶體的一個對稱操作，轉(zhuǎn)動前晶體并沒有差別，而轉(zhuǎn)動又以 為軸，電場也沒有改變因此電位移矢量理應(yīng)不變

D將(2)式和(3)式代入可因

yx,

zx

如取電場 沿y軸正向，然后令晶體繞y軸轉(zhuǎn)動

，仿上述的討論

若對z軸作相同的討論，同理得xz

yz

3E如再取電場沿六角形頂點A的方向，如圖所示代入(1)式并注意到(4)式，則

yy2 D D

zz2令晶體以E為軸轉(zhuǎn)

，y軸將轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸處,z軸將z軸處。注意yz軸方向原來的電位D的值，到轉(zhuǎn)動后的電位移3 1 3Dy2Dy 3 13Dz Dy2Dz因為現(xiàn)在 所在方向是2重軸，轉(zhuǎn)

是對稱操作DD，

34

yE

zzE1 y 4zzEzEAzEA60oy

在將xx 寫作 綜合(4)(5)(6)諸式， 0 000 00角張量 0 000 00 0

0

,

、

表示

軸的分量證明：電位移矢量D與外電場E間的關(guān)一般可表示為D用矩陣表示

Dx

xzExDy

yzEy

Dz

Ez用D表示晶體旋轉(zhuǎn)后的電位移矢量。設(shè)電場沿y軸正方向(1)式變

xDxD

xyy y

今將晶體繞電場方向轉(zhuǎn)動

2，使z軸轉(zhuǎn)到原x軸方向x軸轉(zhuǎn)到原-z軸方向 由于電位移D作相同的

Dx

yy yy Dz

yyExyE

由于上述轉(zhuǎn)動是立方晶體的一個對稱操作，電場沒有改變應(yīng) D由(2)式和(3)式xy

zy,

xy要使上兩式同時滿足，只xy

同理可

0 0

EEE EEE333若再取電場沿[111]方向E 333

，則 E

Dy E E 3Dz 3x讓晶體繞轉(zhuǎn)23，使z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y轉(zhuǎn)到原z軸，則

Dx

E E EDy

EE3Dz3

D

，由上式

由上面可得，具有立方對稱性的晶體的介電常數(shù)張量 0 000 00 0或

0試導(dǎo)出簡單單斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面間距的表達(dá)式。 對于單斜晶系，基矢間夾角α

90,

90,基矢長a1

a3

原胞體

a3

sin2a22a2

2a

同樣可

a1a2a3sin

a1sin22a3

2π2π a2

2

b3b1

a2

a2 a3

a3

a211

2

a2acos

cos23a1a2a3sin23222cos2a1a3 2b1

因為晶面間距dh與倒格矢Kh的關(guān)系 Kh故

h2b2h2b2h2bd h b2h

把前面有關(guān)的各項結(jié)果代入，稍加整理121 ds ds 1

si2

1 aa aa 對于六角晶因為晶面間距dh與倒格矢Kh的關(guān)系 Khdh因

h2b2

h2b2

h2b2d dh

11122331112233

h

h

b3a1

a,a3

90,

原胞體

a2

sin120

2

a2c倒格基

32 3b2

2

a2

2acsin

而

2a2c

3a2

b1b2

a2

2 2

a3

a3 2 2

8b1

b3

3a2把這些結(jié)果代入(1)式經(jīng)整理后即14h2h2hhh2 hd 3a ch對于四方晶

a,a3

建如下坐

a1

此處i、j、

為直角坐標(biāo)系的三個方向單位矢量原胞的體

ii

a2c倒格子基b

a3

ck2j a2c j b

a1

ai2 a2c

a2

aj2k a2c k

b3晶面間距dh與倒格矢Kh

的關(guān)系 Khdh

因

d dh

h3

b111

b32將前述各項結(jié)果代入上式，稍加整理即2 h2h2 h2dac 2 dac h

X射線沿簡立方晶胞的

負(fù)方向入射，求證當(dāng)λ

l2k

時，衍射光線

k2l

l2k

方向的夾證明由題已知，設(shè)衍射波

2π zλz 2π

k

h2yh3 0又簡立方正0

θ a1 a2

a3其倒格

2π

Khkldhkl

ah2h2k2lKhkl

a由衍射極大2dhkl

sinθ

nh2h2k2l

1λh2kh2k2l

k2l

又 l

k

l2k

k

l

cos

k2lsin2θ

11cos2θ2

lk2l代入可

sinθ

k2lh2h2k2l

k2llkk2llh因

Khkl2π

2π

1

ah

h1所 kλ

即衍射光線

yz平面上如a表示晶格常數(shù) 表示入射光束與衍射光束之間的角，證明對于簡單立方晶格sin2

k

式中，hkl是衍射面的密勒指數(shù)為X射線波長證明：若用、、

和0、0、

分別代表入射光束和衍射光的方位角，僅考慮一級衍射，勞厄方程

cos0

hbcos

cos k

cos0

l此處a、b、c分別為三維方向上的原子間距，對于簡單000構(gòu)，a=b=c。將(1)式中各等式兩邊平方，然后相加，則得000a2[cos2cos2

cos2cos2

cos2 cos2002cos00

coscos

k

l2

0注意到對于立方晶系，cos20

cos2

cos2式(2)化簡2a21cos

0cos0

cos

cos2

k

l2

代表入射光束和衍射光束的單位矢量 代表代表它們間的夾角

S

cos

cos

cos

cos代入(3)式，

2

2 22

2a22

k

試討論面心立方結(jié)構(gòu)衍射面指數(shù)和衍射強度的關(guān)系。4其坐標(biāo)為000,2

10,10

,01 2fi

f,將各原子坐標(biāo)代入Fhkl

f1eiπnhk

eiπnhl

eiπnkl

1nknl

當(dāng)nh,nk,nl部分為奇，部分為偶時，結(jié)構(gòu)因子為零， 在氯化鈉晶格中Na

在0002

10,10

,012

1122

,002

,012

100諸點試討2衍射面指數(shù)和衍射強度的關(guān)系化鈉晶格為面系立方結(jié)構(gòu)Na和Cl

坐標(biāo)如題給已

j

i2πhujkvjlwjeje

j

i2πhujkvjlwjejef

eiπnhk

eiπnhl

eiπnklfCl

eiπnhkl

eiπ

eiπ

eiπnl

2 2又因

Ihkl

所以衍射面指數(shù)與幾何結(jié)構(gòu)因子的關(guān)系4

4 Fhkl 4

, ,

所以衍射面指數(shù)與衍射強度的關(guān)系為I

fNa fNa

fCl2fCl

:設(shè)由原子A和B組成的一維雙原子晶體中,原子A和B的散射(1)條件是n=acos(是衍射光束與原子線間的夾角當(dāng)n為偶數(shù)時,衍射強解

IfAIfA

fB22fB22 相鄰兩結(jié)點 的波程差為Q當(dāng)波程差為波長的整數(shù)倍時,相長,即條件

FjfinKhklRljFjfinKhklRlj正格矢

a

RA

aRB a倒格矢

K aKR

in2AFfAj

fBe a

fA

fBe

f

fAfB

(當(dāng)n為奇數(shù)時

(當(dāng)n為偶數(shù)時 CuCL的晶格為ZnS型結(jié)構(gòu)，測知其晶格密度4.135gcm

晶面反射的X射線亮紋對應(yīng)的布

6.5，求X解：由于CuCL具有ZnS結(jié)構(gòu)，一個晶胞中含有4個Cu原子設(shè)晶格常數(shù)為a，晶格的密度

，應(yīng)a

4MN

6.0221023/

為阿伏加德羅常數(shù)于4Ma

1

463.5435.4571N N

6.02210234.1355.418108cm5.4181010對于立方晶系，(111)面的面間距等于立方體空間對角線長13

d111

3

。根據(jù)布拉格衍射公式，對于一衍射(n=1)

111

2

5.418sin333

0.7081010m用波長

1.5405

的X射線投射到鉭的粉末上，得到面幾