第二章流體靜力學§1–1流體靜壓強極其特性§1–2流體平衡微分方程§1–3重力作用下的流體平衡§1–4流體靜力學基本方程的應用§1–5平面上的靜水總壓力§1–6曲面上的靜水總壓力§1–7浮體與潛體的穩(wěn)定性12/3/20221第二章流體靜力學§1–1流體靜壓強極其特性§1–2流體靜力學著重研究流體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實際中的應用。這里所指的靜止包括絕對靜止和相對靜止兩種。以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標系靜止時，稱流體處于絕對靜止狀態(tài)；當流體相對于非慣性參考坐標系靜止時，稱流體處于相對靜止狀態(tài)。流體處于靜止或相對靜止狀態(tài)，兩者都表現(xiàn)不出黏性作用，即切向應力都等于零。所以，流體靜力學中所得的結(jié)論，無論對實際流體還是理想流體都是適用的。12/3/20222流體靜力學著重研究流體在外力作用下處于平第一節(jié)流體靜壓強及其特性

在流體內(nèi)部或流體與固體壁面所存在的單位面積上的法向作用力稱為流體的壓強。當流體處于靜止狀態(tài)時，流體的壓強稱為流體靜壓強，用符號p表示，單位為Pa。流體靜壓強有兩個基本特性。（1）流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的內(nèi)法線方向。這一特性可由反證法給予證明：假設(shè)在靜止流體中，流體靜壓強方向不與作用面相垂直，而與作用面的切線方向成α角，如圖2-1所示。12/3/20223第一節(jié)流體靜壓強及其特性在流體內(nèi)αpnptp切向壓強靜壓強法向壓強圖2-112/3/20224αpnptp切向壓強靜壓強法向壓強圖2-112/1/2022那么靜壓強p可以分解成兩個分力即切向壓強pt和法向壓強pn。由于切向壓強是一個剪切力，由第一章可知，流體具有流動性，受任何微小剪切力作用都將連續(xù)變形，也就是說流體要流動，這與我們假設(shè)是靜止流體相矛盾。流體要保持靜止狀態(tài)，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面內(nèi)法線方向的壓強。（2）靜止流體中任意一點流體壓強的大小與作用面的方向無關(guān)，即任一點上各方向的流體靜壓強都相同。為了證明這一特性，我們在靜止流體中圍繞任意一點A取一微元四面體的流體微團ABCD，設(shè)直角坐標原點與A重合。微元四面體正交的三個邊長分別為dx，dy和dz，如圖2-2所示。因為微元四面體處于靜止狀態(tài)，所以作用在12/3/20225那么靜壓強p可以分解成兩個分力即切向壓強pt和法向壓其上的力是平衡的現(xiàn)在來分析作用于微元四面體ABCD上各力的平衡關(guān)系。由于靜止流體中沒有切應力，所以作用在微元四面體四個表面上的表面力只有垂直于各個表面的壓強。因為所取微元四面體的各三角形面積都是無限小的，所以可以認為在無限小表面上的壓強是均勻分布的。設(shè)作用在ACD、ABD、ABC和BCD四個面上的流體靜壓強分別為px、py、pz和pn，pn與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ，則作用在各面上流體的總壓力分別為：12/3/20226其上的力是平衡的12/1/20226pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上的流體靜壓強作用在BCD面上的靜壓強、作用在ABD和上的靜壓強圖2－2微元四面體受力分析12/3/20227pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上

（dAn為BCD的面積）除壓強外，還有作用在微元四面體流體微團上的質(zhì)量力，該質(zhì)量力分布在流體微團全部體積中。設(shè)流體微團的平均密度為ρ，而微元四面體的體積為dV=dxdydz/6，則微元四面體流體微團的質(zhì)量為dm=ρdxdydz/6。假定作用在流流體上的單位質(zhì)量力為，它在各坐標軸上的分量分別為fx、fy、fz，則作用在微元四面體上的總質(zhì)量力為：12/3/2022812/1/20228它在三個坐標軸上的分量為：由于流體的微元四面體處于平衡狀態(tài)，故作用在其上的一切力在任意軸上投影的總和等于零。對于直角坐標系，則、、。在軸方向上力的平衡方程為：把px，pn和Wx的各式代入得：12/3/20229它在三個坐標軸上的分量為：12/1/20229因為則上式變成或由于等式左側(cè)第三項為無窮小，可以略去，故得：同理可得所以（2-1）12/3/202210因為12/1/2因為n的方向完全可以任意選擇，從而證明了在靜止流體中任一點上來自各個方向的流體靜壓強都相等。但是，靜止流體中深度不同的點處流體的靜壓強是不一樣的，而流體又是連續(xù)介質(zhì)，所以流體靜壓強僅是空間點坐標的連續(xù)函數(shù)，即（2-2）12/3/202211因為n的方向完全可以任意選擇，從而證明第二節(jié)流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程式在靜止流體中任取一邊長為dx，dy和dz的微元平行六面體的流體微團，如圖2-3所示?，F(xiàn)在來分析作用在這流體微團上外力的平衡條件。由上節(jié)所述流體靜壓強的特性知，作用在微元平行六面體的表面力只有靜壓強。設(shè)微元平行六面體中心點處的靜壓強為p，則作用在六個平面中心點上的靜壓強可按泰勒（G.I.Taylor）級數(shù)展開，例如：在垂直于X軸的左、右兩個平面中心點上的靜壓強分別為：12/3/202212第二節(jié)流體平衡微分方程一、流體平衡微分方p圖2-3微元平行六面體x方向的受力分析12/3/202213p圖2-3微元平行六面體x方向的受力分析12/1/2022略去二階以上無窮小量后，分別等于和和由于平行六面體是微元的，所以可以把各微元面上中心點的壓強視為平均壓強。因此，垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為：和和同理，可得到垂直于y軸的下、上兩個微元面上的總壓力分別為：和12/3/20221412/1/202214垂直于軸的后、前兩個微元面上的總壓力分別為：

作用在流體微團上的外力除靜壓強外，還有質(zhì)量力。若流體微團的平均密度為ρ，則質(zhì)量力沿三個坐標軸的分量為處于靜止狀態(tài)下的微元平行六面體的流體微團的平衡條件是：作用在其上的外力在三個坐標軸上的分力之和都等與零。例如，對于x軸，則為12/3/202215垂直于軸的后、前兩個微元面上的總壓力分別為：12/1整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質(zhì)量ρdxdydz則得同理得（2-3）寫成矢量形式這就是流體平衡微分方程式，是在1755年由歐拉（Euler）首先推導出來的，所以又稱歐拉平衡微分方程式。此方程的物理意義是：在靜止流體中，某點單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力與靜壓強的合力相平衡。在推導這個方程中，除了假設(shè)是靜止流體以外，其他參數(shù)(質(zhì)量力和密度)12/3/202216整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質(zhì)量ρdx均未作任何限制，所以該方程組的適用范圍是：靜止或相對靜止狀態(tài)的可壓縮和不可壓縮流體。它是流體靜力學最基本的方程組，流體靜力學的其他計算公式都是從此方程組推導出來的。在推導流體靜力學的計算公式時，一般不從上述方程出發(fā)，而是從下述的壓強差公式來進行推導的。把式（2-3）兩邊分別乘以dx，dy，dz，然后相加，得流體靜壓強是空間坐標的連續(xù)函數(shù)，即，它的全微分為所以（2-4）12/3/202217均未作任何限制，所以該方程組的適用范圍是：靜止或相對此式稱為壓強差公式。它表明：在靜止流體中，空間點的坐標增量為dx、dy、dz時，相應的流體靜壓強增加dp，壓強的增量取決于質(zhì)量力。二、流體平衡條件對于不可壓縮均質(zhì)流體，密度ρ＝常數(shù)，可將式（2-4）寫成上式的左邊是全微分，它的右邊也必須是全微分。由數(shù)學分析知：該式右邊成為某一個函數(shù)全微分的充分必要條件是（2-5）由理論力學可知，式（2-5）是fx、fy、fz具有力的12/3/202218此式稱為壓強差公式。它表明：在靜止流體中，空間點的坐勢函數(shù)－的充分必要條件。力的勢函數(shù)對各坐標軸的偏導數(shù)等于單位質(zhì)量力在對應坐標軸上的分量，即：，，（2-6）寫成矢量形式：由式（2-4）得（2-6a）有勢函數(shù)存在的力稱為有勢的力，由此得到一個重要的結(jié)論：只有在有勢的質(zhì)量力作用下，不可壓縮均質(zhì)流體才能處于平衡狀態(tài)，這就是流體平衡的條件。三、等壓面在流體中，壓強相等的各點所組成的面稱為等壓面。12/3/202219勢函數(shù)－的充分必要條件。等壓面可以用p(x,y,z)＝常數(shù)來表示。對不同的等壓面，其常數(shù)值是不同的，而且流體中任意一點只能有一個等壓面通過。在等壓面上，dp=0，由式（2-6a）可得dπ=0，即=常數(shù)，也就是說，在不可壓縮靜止流體中，等壓面也是有勢質(zhì)量力的等勢面。液體與氣體的分界面，即液體的自由液面就是等壓面，其上各點的壓強等于在分界面上各點氣體的壓強?；ゲ粨交斓膬煞N液體的分界面也是等壓面。等壓面有一個重要性質(zhì)，就是等壓面與質(zhì)量力互相垂直。因為在等壓面上各處的壓強都一樣，即dp=0，由式(2-4)可得等壓面微分方程：=0

（2-7）

12/3/202220等壓面可以用p(x,y,z)＝常數(shù)來表示。對不同的等式(2-7)左端又表示作用在等壓面上A點的單位質(zhì)量力與通過A點的等壓面上的微元線段(其分量為dx、dy、dz)兩個矢量的數(shù)量積，如圖2-4所示，兩個矢量的數(shù)量積等于零，必須f和ds互相垂直，其夾角φ等于900。也就是說，通過靜止流體中的任一點的等壓面都垂直于該點處的質(zhì)量力。例如，當質(zhì)量力只有重力時，等壓面處處與重力方向正交，是一個與地球同心的近似球面。但是，通常我們所研究的僅是這個球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面。12/3/202221式(2-7)左端又表示作用在等壓面上A點圖2-4兩個矢量的數(shù)量積f作用在等壓面上A點的單位質(zhì)量力12/3/202222圖2-4兩個矢量的數(shù)量積f作用在等壓面上A點的單位質(zhì)量力第三節(jié)重力作用下的流體平衡在自然界和實際工程中，經(jīng)常遇到并要研究的流體是不可壓縮的重力液體，也就是作用在液體上的質(zhì)量力只有重力的液體。一、重力作用下的靜力學基本方程式在一盛有靜止液體的容器上取直角坐標系（只畫出OYZ平面，Z軸垂直向上），如圖2-5所示。這時，作用在液體上的質(zhì)量力只有重力G=mg，其單位質(zhì)量力在各坐標軸上的分力為fx=0，fy=0，fz=0代入式（2-4），得12/3/202223第三節(jié)重力作用下的流體平衡在自然界和寫成（2-8）對于均質(zhì)不可壓縮流體，密度ρ為常數(shù)。積分上式，得（2-9）式中c為積分常數(shù)，由邊界條件確定。這就是重力作用下的液體平衡方程，通常稱為流體靜力學基本方程。該方程的適用范圍是:重力作用下的平衡狀態(tài)均質(zhì)不可壓縮流體。若在靜止液體中任取兩點l和2，點1和點2壓強各為p1和p2，位置坐標各為z1和z2，則可把式(2-9)寫成另一表達式，即：（2-10）12/3/202224寫成P0P1P2Z1Z2圖2-5推導靜力學基本方程式用圖12/3/202225P0P1P2Z1Z2圖2-5推導靜力學基本方程式用圖12為了進一步理解流體靜力學基本方程式，現(xiàn)在來討論流體靜力學基本方程的物理意義和幾何意義1.物理意義從物理學可知，把質(zhì)量為m的物體從基準面提升z高度后，該物體就具有位能mgz，則單位重量物體所具有的位能為z(mgz/mg=z)。所以式(2-9)中z的物理意義表示為單位重量流體對某一基準面的位勢能。式(2-9)中的p/ρg表示單位重量流體的壓強勢能，這可說明如下：如圖2-6所示，容器離基準面z處開一個小孔，接一個頂端封閉的玻璃管(稱為測壓管)，并把其內(nèi)空氣抽出，形成完全真空(p=0)，在開孔處流體靜壓強p的作用下，流體進入測壓管，上升的高度h=p/ρg稱為單位重量流體的壓強勢能。位勢能和壓強勢能之和稱為單位重量流12/3/202226為了進一步理解流體靜力學基本方程式，現(xiàn)在體的總勢能。所以式(2-9)表示在重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是相等的。這就是靜止液體中的能量守恒定律。2.幾何意義單位重量流體所具有的能量也可以用液柱高度來表示，并稱為水頭。式(2-9)中z具有長度單位，如圖2-6所示，z是流體質(zhì)點離基準面的高度，所以z的幾何意義表示為單位重量流體的位置高度或位置水頭。式(2-9)中p/ρg也是長度單位，它的幾何意義表示為單位重量流體的壓強水頭。位置水頭和壓強水頭之和稱為靜水頭。所以式(2-9)也表示在重力作用下靜止流體中各點的靜水頭都相等。在實際工程中，常需計算有自由液面的靜止液體中任意一點的靜壓強。為此，可以根據(jù)流體靜力學基本方程(2-10)12/3/202227體的總勢能。所以式(2-9)表示在重力作用下靜止流體如圖2-7所示，在一密閉容器中盛有密度為ρ的液體，若自由液面上的壓強為p0、位置坐標為z0，則在液體中位置坐標為z的任意一點A的壓強p可由式(2-10)得到，即或（2-11）式中h=z0-z是靜止流體中任意點在自由液面下的深度。式(2-11)是重力作用下流體平衡方程的又一重要形式。由它可得到三個重要結(jié)論：(1)在重力作用下的靜止液體中，靜壓強隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強值成正比增大。(2)在靜止液體中，任意一點的靜壓強由兩部分組成：12/3/202228如圖2-7所示，在一密閉容器中盛有密度為一部分是自由液面上的壓強p0；另一部分是該點到自由液面的單位面積上的液柱重量ρgh。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點的靜壓強相等，即任一水平面都是等壓面。12/3/202229一部分是自由液面上的壓強p0；另一部分是該點到自由液圖2-6閉口測壓管液柱上升高度12/3/202230圖2-6閉口測壓管液柱上升高度12/1/202230圖2-6閉口測壓管液柱上升高度12/3/202231圖2-6閉口測壓管液柱上升高度12/1/202231圖2-7靜止液體中任一點壓強12/3/202232圖2-7靜止液體中任一點壓強12/1/202232二、壓強的度量流體壓強按計量基準的不同可區(qū)分為絕對壓強和相對壓強。以完全真空時的絕對零壓強(p＝0)為基準來計量的壓強稱為絕對壓強；以當?shù)卮髿鈮簭姙榛鶞蕘碛嬃康膲簭姺Q為相對壓強。絕對壓強與相對壓強之間的關(guān)系可在下面導出。當自由液面上的壓強是當?shù)卮髿鈮簭妏a時，則式(2-11)可寫成

（2-12）或（2-13）式中p—流體的絕對壓強，Pa；pe—流體的相對壓強，Pa。因為pe可以由壓強表直接測得，所以又稱計示壓強。12/3/202233二、壓強的度量12/1/202233絕對壓強p是當?shù)卮髿鈮簭妏a與計示壓強pe之和，而計示壓強pe是絕對壓強p與當?shù)卮髿鈮簭妏a之差。當流體的絕對壓強低于當?shù)卮髿鈮簭姇r，就說該流體處于真空狀態(tài)。例如水泵和風機的吸入管中，凝汽器、鍋爐爐膛以及煙囪的底部等處的絕對壓強都低于當?shù)卮髿鈮簭?，這些地方的計示壓強都是負值，稱為真空或負壓強，用符號pv表示，則（2-14）如以液柱高度表示，則(2-15)式中hv稱為真空高度。在工程中，例如汽輪機凝汽器中的真空，常用當?shù)卮?2/3/202234絕對壓強p是當?shù)卮髿鈮簭妏a與計示壓強pe之和，而計氣壓強的百分數(shù)來表示，即(2-16)式中B通常稱為真空度。為了正確區(qū)別和理解絕對壓強、計示壓強和真空之間的關(guān)系，可用圖2-8來說明。當?shù)卮髿鈮簭娛悄车貧鈮罕砩蠝y得的壓強值，它隨著氣象條件的變化而變化，所以當?shù)卮髿鈮簭娋€是變動的。由于絕大多數(shù)氣體的性質(zhì)是氣體絕對壓強的函數(shù)，如正壓性氣體ρ=ρ（p)，所以氣體的壓強都用絕對壓強表示。而液體的性質(zhì)幾乎不受壓強的影響，所以液體的壓強常用計示壓強表示，只有在汽化點時，才用液體的絕對壓強。12/3/202235氣壓強的百分數(shù)來表示，即12/1/202235真空絕對壓強計示壓強絕對壓強圖2-8絕對壓強、計示壓強和真空之間的關(guān)系12/3/202236真空絕對壓強計示壓強絕對壓強圖2-8絕對壓強、計示流體靜壓強的計量單位有許多種，為了便于換算，現(xiàn)將常遇到的幾種壓強單位及其換算系數(shù)列于表2-1中。表2-1壓強的單位及其換算表12/3/202237流體靜壓強的計量單位有許多種，為了便于換算，現(xiàn)將第四節(jié)流體靜力學基本方程的應用流體靜力學基本方程式在工程實際中有廣泛的應用。液柱式測壓計的測量原理就是以流體靜力學基本方程為依據(jù)的，它用液柱高度或液柱高度差來測量流體的靜壓強或壓強差。下面介紹幾種常見的液柱式測壓計。一、測壓管1.結(jié)構(gòu)測壓管是一種最簡單的液柱式測壓計。為了減少毛細現(xiàn)象所造成的誤差，采用一根內(nèi)徑為10mm左右的直玻璃管。測量時，將測壓管的下端與裝有液體的容器連接，上端開口與大氣相通，如圖2-9所示。12/3/202238第四節(jié)流體靜力學基本方程的應用流體靜圖（2-9）測壓管12/3/202239圖（2-9）測壓管12/1/2022392.測量原理圖（2-9）測壓管在壓強作用下，液體在玻璃管中上升高度，設(shè)被測液體的密度為ρ，大氣壓強為pa，由式(2-11)可得M點的絕對壓強為（2-17）M點的計示壓強為（2-18）于是，用測得的液柱高度h，可得到容器中液體的計示壓強及絕對壓強。測壓管只適用于測量較小的壓強，一般不超過9800Pa，相當于1mH2O。如果被測壓強較高，則需加長測壓管的長度，使用就很不方便。此外，測壓管中的工作12/3/2022402.測量原理圖（2-9）測壓管12/1介質(zhì)就是被測容器中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的壓強。3.注意的問題在管道中流動的流體的靜壓強也可用測壓管和其它液柱式測壓計測量。但是，為了減小測量誤差，在測壓管與管道連接處需要采取下列措施：(1)測壓管必須與管道內(nèi)壁垂直；(2)測壓管管端與管道內(nèi)壁平齊，不能伸出而影響流體的流動；(3)測壓管管端的邊緣一定要很光滑，不能有尖緣和毛刺等；(4)為了減小由于連接的不完善而導致較大的誤差，可12/3/202241介質(zhì)就是被測容器中的流體，所以測壓管只能用于測量液體采用如圖2-10所示的連接裝置。在連接處同一截面管壁上開若干個等距離小孔，外面罩上一圓環(huán)形通道，然后與測壓管相接。這樣，可以測得這一截面靜壓強的平均值。

二、U形管測壓計1.結(jié)構(gòu)這種測壓計是一個裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管。測量時，管的一端與被測容器相接，另一端與大氣相通，如圖2-11所示。U形管內(nèi)裝有密度ρ2大于被測流體密度ρ1的液體工作介質(zhì)，如酒精、水、四氯化碳和水銀等。它是根據(jù)被測流體的性質(zhì)、被測壓強的大小和測量精度等來選擇的。如果被測壓強較大時，可用水銀，被測壓強較小時，可用水或酒精。但一定要注意，工作介質(zhì)不能與被測流體相互摻混。12/3/202242采用如圖2-10所示的連接裝置。在連接處同一截面管壁圖2-10壓強計環(huán)形裝置12/3/202243圖2-10壓強計環(huán)形裝置12/1/202243U形管測壓計的測量范圍比測壓管大，但一般亦不超過2.94×105Pa。U形管測壓計可以用來測量液體或氣體的壓強；可以測量容器中高于大氣壓強的流體壓強，也可以測量容器低于大氣壓強的流體壓強，即可以作為真空計來測量容器中的真空。2.測量原理下面分別介紹用U形管測壓計測量p>pa和p<pa兩種情況的測壓原理。(1)被測容器中的流體壓強高于大氣壓強（即p>pa）：如圖2-11(a)所示。U形管在沒有接到測點M以前，左右兩管內(nèi)的液面高度相等。U形管接到測點上后，在測點M的壓強作用下，左管的液面下降，右管的液面上升，直到平衡為止。這時，被測流體與管內(nèi)工作介質(zhì)的分界面1-12/3/202244U形管測壓計的測量范圍比測壓管大，但一般Paρ1Mp12h1h2ρ等壓面圖2-11U形管測壓P>Pa12/3/202245Paρ1Mp12h1h2ρ等壓面圖2-11U形管測壓P>圖2-11U形管測壓計；(b)12/3/202246圖2-11U形管測壓計；(b)12/1/202246圖2-11U形管測壓12/3/202247圖2-11U形管測壓12/1/2022472是一個水平面，故為等壓面。所以U形管左、右兩管中的點1和點2的靜壓強相等，即p1=p2，由式(2-11)可得：p1=p+ρ1gh1

p2=pa+ρ2gh2所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M點的絕對壓強為p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1（2-19）M點的計示壓強為pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1（2-20）于是，可以根據(jù)測得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2計算出被測點的絕對壓強和計示壓強值。(2)被測容器中的流體壓強小于大氣壓強(即p<pa)：如圖2-11(b)所示。在大氣壓強作用下，U形管右管內(nèi)12/3/2022482是一個水平面，故為等壓面。所以U形管左、右兩管中的的液面下降，左管內(nèi)的液面上升，直到平衡為止。這時兩管工作介質(zhì)的液面高度差為h2。過右管工作介質(zhì)的分界面作水平面1-2，它是等壓面。由式(2-11)列等壓面方程p+ρ1gh1+ρ2gh2=paM點的絕對壓強為p=p-ρ1gh1-ρ2gh2（2-21）M點的真空或負壓強為pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2（2-22）如果U形管測壓計用來測量氣體壓強時，因為氣體的密度很小，式(2-19)到式(2-22)中的ρ1gh1項可以忽略不計。若被測流體的壓強較高時，用一個U形管則過長，可12/3/202249的液面下降，左管內(nèi)的液面上升，直到平衡為止。這時兩管以采用串聯(lián)的U形管組成多U形管測壓計。通常采用雙U形管或三U形管測壓計。在圖2-12所示的三U形管測壓計中，以互不滲混的兩種流體作為工作介質(zhì)（ρ1>ρ‘1），則在平衡的同一工作介質(zhì)連續(xù)區(qū)內(nèi)，同一水平面即為等壓面，如1-1，1‘-1‘，2-2，2‘-2‘和3-3都是不同的等壓面。對圖中各等壓面依次應用式（2-11）得：pA=p1-ρgh；p2=p’+ρ1gh2p1=p’1+ρ1gh1；

p’2=p3-ρ‘1gh’2P’1=p2-ρ‘1gh’1；

p3=pa-ρ1gh3相加得容器中A點的絕對壓強（2-23）12/3/202250以采用串聯(lián)的U形管組成多U形管測壓計。通圖2-12三U形管測壓計12/3/202251圖2-12三U形管測壓計12/1/202251容器中A點的計示壓強為（2-24）若為n個串聯(lián)U形管測壓計，則被測容器A中的計示壓強計算通式為（2-25）測量密度為ρ的氣體的壓強時，如果U形管連接管中的密度為ρ1‘的流體也是氣體，則各氣柱的重量可忽略不計，則式（2-25）可簡化為（2-26）三、U形管差壓計1.結(jié)構(gòu)U形管差壓計用來測量兩個容器或同一容器（如管道12/3/202252容器中A點的計示壓強為12/1/202252流體中不同位置兩點的壓強差。測量時，把U形管兩端分別與兩個容器的測點A和B連接，如圖2-13所示。U形管中應注入較兩個容器中的流體密度大且不相混淆的流體作為工作介質(zhì)（即ρ>ρA，ρ>ρB）。2.測量原理若ρA>ρB，U形管內(nèi)液體向右管上升，平衡后，1-2是等壓面，即p1=p2。由式（2-11）得：

因p1=p2，故

則（2-27）12/3/202253流體中不同位置兩點的壓強差。測量時，把U形管兩端分別圖2-13U形管差壓計12/3/202254圖2-13U形管差壓計12/1/202254若兩個容器內(nèi)是同一流體，即ρA=ρB=ρ1，則上式可寫成（2-28）若兩個容器內(nèi)是同一氣體，由于氣體的密度很小，U形管內(nèi)的氣柱重量可忽略不計，上式可簡化為（2-29）測量較小的液體壓差，可以用倒置式U形差壓計，例如用圖2-14所示裝置測量管道內(nèi)節(jié)流閥前后的壓差p1-p2。設(shè)ρ<ρ1，當液體處于平衡狀態(tài)時，水平面0-0是等壓面，其上的壓強為p0，則有12/3/202255若兩個容器內(nèi)是同一流體，即ρA=ρB=ρ1，00p1p2h1h1圖2-14倒置U形差壓計h12/3/20225600p1p2h1h1圖2-14倒置U形差壓計h12/1得（2-30）

由式(2-30)可知，當ρ1和ρ2很接近時，即使壓差（p1-p2)很小，仍可得到較大的h值，從而有利于測量。U形管內(nèi)液體上部的工作介質(zhì)可以用空氣或別的氣體代替，通過頂部的閥門將空氣注入，逐漸增加液面上的壓強，直到兩管中液面達到某個合適的位置為止，這時ρ與ρ1相比可忽略不計，但在較高的p1和p2時，相應的空氣壓強也較高，就不能略去ρ。

四、傾斜微壓計1．結(jié)構(gòu)在測量氣體的微小壓強和壓差時，為了提高測量精度，常采用微壓計。傾斜微壓計是由一個大截面的杯子連12/3/202257得接一個可調(diào)節(jié)傾斜角度的細玻璃管構(gòu)成，其中盛有密度為ρ的液體，如圖2-15所示。在未測壓時，傾斜微壓計的兩端通大氣，杯中液面和傾斜管中的液面在同一平面1—2上。當測量容器或管道中某處的壓強時，杯端上部測壓口與被測氣體容器或管道的測點相連接，在被測氣體壓強p的作用下，杯中液面下降h1的高度至0—0位置，而傾斜玻璃管中液面上升了L長度，其上升高度。2．測量原理根據(jù)流體平衡方程式(2-11)，被測氣體的絕對壓強為（2-31）其計示壓強為（2-32）12/3/202258接一個可調(diào)節(jié)傾斜角度的細玻璃管構(gòu)成，其中盛有密度為ρ0ph1h2ΘpasLAρ120圖2-15傾斜微壓計12/3/2022590ph1h2ΘpasLAρ120圖2-15傾斜微壓計1如果用傾斜微壓計測量兩容器或管道兩點的壓強差時，將壓強大的p1連接杯端測壓口，壓強小的p2連接傾斜玻璃管出口端，則測得的壓強差為由于杯內(nèi)液體下降量等于傾斜管中液體的上升量，設(shè)A和s分別為杯子和玻璃管的橫截面積，則或又于是式（2-32）可寫成式中k—傾斜微壓計常數(shù),。12/3/202260如果用傾斜微壓計測量兩容器或管道兩點的壓強差時，將壓當A、s和ρ一定時，k僅是傾斜角Θ的函數(shù)。改變Θ的大小，可得到不同的k值，即將被測壓強差的L值放大了不同的倍數(shù)。傾斜微壓計的放大倍數(shù)(2-34)由于s/A很小，可以略去不計，則(2-35)當Θ=300時，，即把壓強差的液柱讀數(shù)放大了兩倍；當Θ=100時，（倍）?？梢?，傾斜微壓計可使讀數(shù)更精確。但若Θ過?。ㄈ缧∮?0）時，傾斜玻璃管內(nèi)的液體將產(chǎn)生較大的波動，位置不易確定。對于每一種傾斜微壓計，其常數(shù)值一般有0.2、0.3、0.4、0.6和0.8五個數(shù)據(jù)以供選用。12/3/202261當A、s和ρ一定時，k僅是傾斜角Θ的函數(shù)【例2-1】如圖2-16所示測量裝置，活塞直徑d=35㎜，油的相對密度d油=0.92，水銀的相對密度dHg=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當活塞重為15Ｎ時，h=700㎜，試計算Ｕ形管測壓計的液面高差Δh值?！窘狻恐匚锸够钊麊挝幻娣e上承受的壓強為（Pa）列等壓面１—１的平衡方程

解得Δh為：（㎝）12/3/202262【例2-1】如圖2-16所示測量裝置，活圖2-1612/3/202263圖2-1612/1/202263【例2-2】如圖2-17所示為雙杯雙液微壓計，杯內(nèi)和Ｕ形管內(nèi)分別裝有密度ρ1=lOOOkg/m3和密度ρ2=13600kg/m3的兩種不同液體，大截面杯的直徑Ｄ＝100mm，Ｕ形管的直徑d=10mm，測得h=30mm，計算兩杯內(nèi)的壓強差為多少?【解】列1—2截面上的等壓面方程由于兩邊密度為ρ1的液體容量相等，所以D2h2=d2h，代入上式得=3709.6(pa)12/3/202264【例2-2】如圖2-17所示為雙杯雙液微圖2-1712/3/202265圖2-1712/1/202265【例2-3】用雙Ｕ形管測壓計測量兩點的壓強差，如圖2-18所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000㎏/m3，ρ2=800㎏/m3，ρ3=13598㎏/m3，試確定Ａ和Ｂ兩點的壓強差?！窘狻扛鶕?jù)等壓面條件，圖中1—1，2—2，3—3均為等壓面?？蓱昧黧w靜力學基本方程式（2-11）逐步推算。P1=p2+ρ1gh1p2=p1-ρ3gh2

p3=p2+ρ2gh3p4=p3-ρ3gh4

pB=p4-ρ1g(h5-h4)12/3/202266【例2-3】用雙Ｕ形管測壓計測量兩點的壓強逐個將式子代入下一個式子，則pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4)所以pA-pB=ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4+ρ3gh2-ρ2gh3

-ρ1gh1=9.806×1000×（0.5-0.3）+133400×0.3-7850×0.2+133400×0.25-9.806×1000×0.6=67876（Pa）12/3/202267逐個將式子代入下一個式子，則12/1/202267圖2-1812/3/202268圖2-1812/1/202268【例2-4】已知密閉水箱中的液面高度h4=60mm，測壓管中的液面高度h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介質(zhì)高度，如圖2-19所示。試求Ｕ形管中左端工作介質(zhì)高度h3為多少？【解】列1—1截面等壓面方程，則

（a）列2—2截面等壓面方程，則（b）把式（a）代入式（b）中=0.1365(m)=136.5(mm)12/3/202269【例2-4】已知密閉水箱中的液面高度h4圖2-1912/3/202270圖2-1912/1/202270第五節(jié)平面上的靜水總壓力許多工程設(shè)備，在設(shè)計時常需要確定靜止液體作用在其表面上的總壓力的大小、方向和位置。例如閘門、插板、水箱、油罐、壓力容器的設(shè)備。由于靜止液體中不存在切向應力，所以全部力都垂直于淹沒物體的表面。靜止液體作用在平面上的總壓力分為靜止液體作用在斜面、水平面和垂直面上的總壓力三種，斜面是最普通的一種情況，水平面和垂直面是斜面的特殊情況。下面介紹靜止液體作用在斜面上的總壓力問題。假設(shè)有一塊任意形狀的平面MN與水平成Θ角放置在靜止液體中，如圖2-20所示，圖中右邊是平面ＭＮ在垂12/3/202271第五節(jié)平面上的靜水總壓力hchchhpFycyp圖2-20靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力12/3/202272hchchhpFycyp圖2-20靜止液體中傾斜平面上液直面上的投影圖。一、總壓力的大小假設(shè)h為傾斜平面上任一點到自由液面的深度，y為相應的在OY軸上的距離。在深度h內(nèi)選取一微元面積，認為其上的壓強是均勻分布的，這樣，該微元面積就相當于淹沒在靜止液體中的一條水平帶。如果x表示任一深度處這條微元面積的寬度，則它的面積dA=xdy，由靜止液體產(chǎn)生的壓強p=ρgh，而h=ysinΘ，則作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為

dF=pdA=ρghdA=ρgysinΘdA上式中沒有考慮大氣壓強的作用，因為平面的四周都受有大氣壓強的作用，互相抵消，該式為僅由液體產(chǎn)生的總壓力。12/3/202273直面上的投影圖。12/1/202273積分上式，即可得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力為（2-37）式中是整個淹沒平面面積A對OX軸的面積矩，yc為平面A的形心C到OX軸的距離，稱為形心y坐標。如果用hc表示形心的垂直深度，稱為形心淹深，那么，則F=ρghcA（2-38）因此靜止液體作用在任一淹沒平面上的總壓力等于液體的密度、重力加速度、平面面積和形心淹深的乘積。如果保持平面形心的淹深不變，改變平面的傾斜角度，則靜止液體作用在該平面的總壓力值不變，即靜止液體作用于淹沒平面上的總壓力與平面的傾斜角度無關(guān)。作用在靜止12/3/202274積分上式，即可得靜止液體作用在整個淹沒平液體中任一淹沒平面上液體的總壓力也相當于以平面面積為底，平面形心淹深為高的柱體的液重。二、總壓力的作用點淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，即總壓力作用線與平面的交點，稱為壓力中心。由合力矩定理可知，總壓力對OX軸之矩等于各微元面積上的總壓力對OX軸之矩的代數(shù)和。在圖2-21中，作用在微元面積上的總壓力對OX軸的力矩為如果用yp表示OY軸上點O到壓力中心的距離，則按合力矩定理有12/3/202275液體中任一淹沒平面上液體的總壓力也相當于以平面面積式中為平面面積對OX的慣性矩。上式除以式(2-37)，得（2-39）根據(jù)慣性矩的平行移軸公式式中ICX—是面積對于通過它形心且平行于OX軸的軸線的慣性矩。因此，式(2-39)可以寫成（2-40）從這個方程式可以看到，壓力中心的位置與Θ角無關(guān)，即平面面積可以繞與OX軸平行且通過壓力中心的軸旋轉(zhuǎn)。由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方，隨淹12/3/202276式中為平面面沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。按照上述方法同理可求得壓力中心的x坐標（2-41）式中XC—平面形心x的坐標；Ixy—平面面積對OXY坐標的兩軸的慣性矩；Icxy—平面面積對于通過形心而平行于坐標系兩軸的慣性矩。通常，實際工程中遇到的平面多數(shù)是對稱的，因此壓力中心的位置是在平面對稱的中心線上，此時不必求xp的坐標值，只需求得yp坐標值即可。表2-2給出幾種常用截面的幾何性質(zhì)。12/3/202277沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。12/1/20截面幾何圖形面積A型心yc慣性距Icx

bh

1/2h1/12bh31/2bh2/3h1/36bh31/2h(a+b)12/3/202278截面幾何圖形面積A型心yc慣性距Icx12/112/3/20227912/1/202279上述計算公式和方法同樣適用于靜止液體作用在垂直平面上的總壓力問題。下面介紹靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置的，壓強分布是均勻分布的，那么僅有液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：F=ρghA（2-42）總壓力的作用點是水平面面積的形心?？梢?，僅由液體產(chǎn)生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關(guān)。圖2-21中四個容器裝有同一種液體，根據(jù)式（2-42），液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關(guān)，這一現(xiàn)象稱為靜水奇象。換句話說，液體作用在容器上的總壓力不要和容器所盛液體的重量相混淆。工程上可以利用這一現(xiàn)象對容器底部進行嚴密性檢查。12/3/202280上述計算公式和方法同樣適用于靜止液體作用圖2-21靜水奇象12/3/202281圖2-21靜水奇象12/1/202281圖2-21靜水奇象12/3/202282圖2-21靜水奇象12/1/202282【例2-6】圖2-22表示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點的位置?！窘狻垦蜎]在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2每米寬水閘左邊的總壓力為

由式(2-40)確定的作用點F1位置

12/3/202283【例2-6】圖2-22表示一個兩邊都承圖2-2212/3/202284圖2-2212/1/202284其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以即F1的作用點位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為（Ｎ）同理F2作用點的位置在離底1/3h2=2/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假設(shè)凈總壓力的作用點離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即(m)12/3/202285其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以12第六節(jié)曲面上的靜水總壓力

電廠中有許多承受液體總壓力的曲面，主要是圓柱體曲面，如鍋爐汽包、除氧器水箱、油罐和弧形閥門等。由于靜止液體作用在曲面上各點的壓強方向都垂直于曲面各點的切線方向，各點壓強大小的連線不是直線，所以計算作用在曲面上靜止液體的總壓力的方法與平面不同。一、總壓力的大小和方向

圖2-23所示為一圓柱形開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強的情況。設(shè)曲面的寬度為b，在A處取一微小弧段ds，則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體產(chǎn)生的總壓力為12/3/202286第六節(jié)曲面上的靜水總壓力電廠中有CDBAxHhdFdFxdFzdsΘ圖2-23作用在圓柱體曲面上的總壓力12/3/202287CDBAxHhdFdFxdFzdsΘ圖2-23作用在圓柱這一總壓力在OX軸與OZ軸方向的分力為：（2-43）（2-44）1．水平分力由圖2-23可知，，代入到式(2-43)，則因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為（2-45）式中為曲面面積在垂直平面（OYZ坐標面）上的投影面積AX對OY軸的面積矩，它等于投影面積的形心到OY軸的距離與投影面積的乘積，即。12/3/202288這一總壓力在OX軸與OZ軸方向的分力為：1該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH，其形心hc=H/2，則（2-46）由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的水平分力等于作用在這一曲面的垂直投影面上的總壓力。F作用線的位置位于自由液面下2/3H處。2．垂直分力由圖2-23可知，代入到式（2-44），則因此靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OZ軸方向的分力，即垂直分力為（2-47）12/3/202289該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH，其形心式中是曲面AB與自由液面間的柱體體積，在圖2-23上就是面積OAB乘以曲面的寬度b，這個體積稱為壓力體。由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，F(xiàn)x的作用線通過壓力體的重心。

3．總壓力的大小和方向求得了靜止液體作用在曲面上水平分力Fx和垂直分力Fz后，就可確定靜止液體作用在曲面上的總壓力，即（2-48）總壓力與垂線間夾角的正切為（2-49）12/3/202290式中是曲面AB與自由液面間的柱體

二、總壓力的作用點總壓力的作用線通過Ｏ點Fx和Fz與作用線的交點?？倝毫ψ饔镁€與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用點，即壓力中心。三、壓力體的概念圖

壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。它的計算式是一個純數(shù)學體積計算式。作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內(nèi)液體的重量，并且與壓力體內(nèi)是否充滿液體無關(guān)。為了說明這一點，作圖2-24，它表示由兩個形狀、尺寸和淹深完全相同的曲面ab和a’b’所構(gòu)成的容器，容器內(nèi)盛有某種液體。曲面ab的壓力體是過曲面的a和b兩點引垂線到液面所得ab12/3/202291二、總壓力的作用點12/1/20229hdd’c’m’mcFzF’z圖2-24壓力體12/3/202292hdd’c’m’mcFzF’z圖2-24壓力體12/1/2cd與容器的寬度構(gòu)成的。而曲面a’b’的壓力體是過a’和b’兩點引垂線到液面延長面所得a’b’c’d’與容器寬度構(gòu)成的。由于ab曲面和a’b’曲面的形狀、尺寸和淹深完全相同，所以這兩個壓力體的體積相等，因而靜止液體作用在曲面ab和a’b’曲面上總壓力的垂直分力的大小是相等的。作用在ab曲面上的垂直分力Fz與作用在a’b’曲面上的垂直分力F’z只是數(shù)值上相同，而方向是不同的。因為流體在ab曲面的上方，故Fz的方向向下；液體在a’b’曲面的下方，故F’z的方向向上。通常稱充滿液體的壓力體為實壓力體或正壓力體，如abcd；不充滿液體的壓力體稱為虛壓力體或負壓力體，如a’b’c’d’。四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序(1)將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力Fz。12/3/202293cd與容器的寬度構(gòu)成的。而曲面a’b’的壓力體是過a(2)水平分力的計算，。(3)確定壓力體的體積。(4)垂直分力的計算，方向由虛、實壓力體確定。(5)總壓力的計算，。(6)總壓力方向的確定，。(7)作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點即是。12/3/202294(2)水平分力的計算，【例2-7】求圖2-25所示流體施加到水平放置的單位長度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側(cè)的流體是一種計示壓強為35kPa被密封的箱內(nèi)的氣體；（b）如果圓柱體左側(cè)的流體是水，水面與圓柱體最高部分平齊，水箱開口通大氣?！窘狻浚╝）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Az=[4-2(1-cos300)]×1則35kPa計示壓強的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為Ax=2sin300×112/3/202295【例2-7】求圖2-25所示流體施加到水則氣體作用在單位長度圓柱體上的垂直分力為Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)