利用旋轉(zhuǎn)的方法--合用解--優(yōu)選題利用旋轉(zhuǎn)的方法--合用解--優(yōu)選題2/8利用旋轉(zhuǎn)的方法--合用解--優(yōu)選題利用旋轉(zhuǎn)解題授課方案學習目標：1、學會利用旋轉(zhuǎn)的輔助線方法解決有關(guān)比較分其他條件背景下的幾何問題；2、經(jīng)過類比解析學會總結(jié)得出能使用旋轉(zhuǎn)輔助線方法的常有背景，及旋轉(zhuǎn)的基本方法；3、經(jīng)過對通性通法的總結(jié)解析學會解決各種變化狀況下的靈便運用問題，并在此過程中逐步提高數(shù)學思想解析能力。學習重點：學會利用旋轉(zhuǎn)的方法解決有關(guān)幾何問題學習難點：怎樣作出旋轉(zhuǎn)的輔助線將分其他條件及結(jié)論集中學習過程：初中數(shù)學幾何變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱（翻折）。這些變換的方法改變了圖形的位置，但是不改變圖形的形狀和大小。我們常利用這個這個特點經(jīng)過這些變換方法將一些分別的線段、角的集中到一起，從而解決一些難以解決的幾何問題。下面就我平時授課中的一些領(lǐng)悟?qū)πD(zhuǎn)的解題方法進行一個簡單總結(jié)和歸納，希望能讓同學們對旋轉(zhuǎn)的解題方法可以更好地掌握。一、旋轉(zhuǎn)解題常有背景及方法（一）等邊三角形背景例1：如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，試證明：∠AOB＝150°.解析：條件與結(jié)論憂如相差甚遠，且條件分別不好用，但三個數(shù)據(jù)使我們想到勾股數(shù)，若能將此三條線段集中到一個三角形就好了，考慮到等邊三角形的條件，有相等的線段，可考慮旋轉(zhuǎn)的方法，將△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°的△BDA，則易得△ADO為等邊三角形，問題解決。小結(jié)：有等邊三角形則有相等的線段，為旋轉(zhuǎn)后能重合的線段供應(yīng)了條件，再加上等邊三角形60°的角，為旋轉(zhuǎn)后再次出現(xiàn)等邊三角形供應(yīng)了條件，使得題目全部條件迅速貫串，問題輕松解決。還可試一試其他旋轉(zhuǎn)方法進一步體驗利用相等線段可以重合來構(gòu)造旋轉(zhuǎn)解決問題。（二）等腰直角三角形背景例2：如圖，△ABC是等腰直角三角形，C為直角極點．（1）操作并觀察：將三角尺45°角的極點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于點E、F，爾后將這個角繞著點C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察點E、F的地址發(fā)生變化時，AE、EF、FB中最大線段可否向來是EF？（2）線段AE、EF、BF能組成以EF為斜邊的直角三角形嗎？請說明你的原因．解析：從結(jié)論猜想可以將這三條線段集中到一個三角形中，證明其是直角三角形則問題全部解決，考慮到條件等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具備了旋轉(zhuǎn)的條件，可將△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CAM，再連ME，三條線段全部集中到了△MAE中，證出∠MAE=90°即可。小結(jié)：等腰直角三角形中有相等的線段，也是利用旋轉(zhuǎn)來解題的常有背景，利用相等線段所在的三角形旋轉(zhuǎn)變換將分其他線段、角集中起來使條件充發(fā)散揮作用從而解決問題。1（三）正方形背景例3：如圖，在正方形ABCD中，點M，N分別為BC，DC邊上的點，且滿足∠MAN=45°，連接MN，求證：DN+BM=MN．解析：要證明兩條線段的和等于第三條線段，可以考慮截長補短的方法，本題中有正方形的條件，有相等的線段，結(jié)合起來可以考慮將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，再證明△AMN≌△AEN即可（要注意證明E、D、N三點共線）。小結(jié)：正方形中有相等的線段，也是利用旋轉(zhuǎn)方法的常有背景。本題利用旋轉(zhuǎn)的方法達到了補短的收效。例4：如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連PA、PB、PC.（1）如圖①所示，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的長.（提示：將△PAB繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的地址）（2）如圖②，若PA2+PC2＝2PB2，請說明點P必在對角線AC上.解析：（1）PA、PB、PC三條線段看起來不太好聯(lián)系上，但是想到在正方形的條件下簡單利用旋轉(zhuǎn)將分其他線段集中，可以考慮將三條線段中的一條所在的三角形進行旋轉(zhuǎn)，如將△PAB繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的地址，再連PP′，易得△PBP′為等腰直角三角形，勾股定理求得PP′的長，再得∠PP′C＝90°，在△PP′C中勾股定理求得PC=6.（2）用與（1）相同的方法即可解決。證明∠APC=180°就可以了。小結(jié)：正方形背景也是利用旋轉(zhuǎn)解題的常有狀況，抓住正方形中相等的邊，把分其他線段所在的三角形進行旋轉(zhuǎn)從而將它們集中到一起，再運用全等三角形、勾股定理等知識解決問題。二、旋轉(zhuǎn)操作類綜合題中解題方法（一）旋轉(zhuǎn)操作中怎樣充分利用旋轉(zhuǎn)獲取的條件例5：在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；（Ⅱ）如圖②，當α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′訂交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．2解析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長．（2）運用全等三角形的判斷與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可解決問題．（3）第一找到使點P的縱坐標最大時點P的地址（點P與點D′重合時），爾后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值．小結(jié)：本題是在圖形旋轉(zhuǎn)過程中，觀察了全等三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，而找到使點P的縱坐標最大時點P的地址是解決最后一個問題的重點．（二）注意旋轉(zhuǎn)變化過程的不相同狀況的分類例6：如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=6，CD=3，

BC=3．△EFG是邊長為3的等邊三角形，且與梯形ABCD位于直線

AB同側(cè)，當△EFG位于以下列圖地址時，將△EFG繞點F進行旋轉(zhuǎn)，

在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)EG所在直線與射線AD訂交于點M，與射線FB訂交

于點N，當△AMN為等腰三角形時，求AN的長度。解析：△EFG作為一個整體元素進行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中EG所在直線與射線AD、射線FB有交點，這里第一需要弄清楚在旋轉(zhuǎn)的初始地址時，點G和點E在哪，與要求的射線AD、射線FB又有怎樣的地址關(guān)系.這里經(jīng)過計算可以獲取剛開始旋轉(zhuǎn)時，AF=3，點E與點B重合，而點G恰幸好射線AD上.當△EFG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)時，則點G就會到射線AD左上方，同時點E會到∠MON內(nèi)部；當△EFG繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，則點G會到∠MON內(nèi)部，同時點E到射線FB下方，隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，點G，F(xiàn)都有可能轉(zhuǎn)到射線FB下方.解：要使△AMN為等腰三角形，則分別滿足以下狀況：（1）AM=MN時，如圖2，∠A=∠ANM=30°，因為∠FGE=60°，F(xiàn)G=3，從而∠GFN=90°，F(xiàn)N=33，故此時AN=AF+FN=3+33．（2）AN=MN時，如圖3，∠A=∠AMN=30°，則∠MNB=∠FNE=60°，而△EFG是邊長為3的等邊三角形，所以∠FEN=60°，且FE=3，從而可得△FEN是邊長為3的等邊三角形，即點G與點N重合，F(xiàn)N=3，AN=AF+FN=3+3=6．（3）AM=AN時，①若是地址如圖4所示，則∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等邊三角形，則∠FEG=60°，∠FEN=120°，此時在△NEF中，∠FNE+∠FEN=75°+120°>180°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾．②若是地址如圖5所示，則∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等邊三角形，則∠FGN=60°，所以∠GFN=45°，過點N作NP⊥FG于3點P，則△FNP為等腰直角三角形，∠PGN=60°，設(shè)PG=x，則PF=3-x，PN=3x，由PF=PN，得3-x=3x，解得3339236x，既而求得AN=3-.222③假如地點如圖6所示，∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等邊三角形，則∠FGE=60°，可得∠FGN=120°，因為∠FNM<∠FGN，與三角形外角定理矛盾，故此種狀況不存在．9236綜上所述，當AN=3+33或AN=6或AN=

3-時，22△AMN為等腰三角形。小結(jié)：本題在旋轉(zhuǎn)過程中會出現(xiàn)的多種不相同狀況是理解的難點，要經(jīng)過畫圖研究搜尋到旋轉(zhuǎn)變化中的多種狀況