一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導數(shù)的應用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性及其極值二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導數(shù)的應用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)1定理1設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可微，(1)若當

x

(a,b)時，f(x)>0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若當

x(a,b)時，f(x)<0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件定理1設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)2證設x1，x2為(a,b)內(nèi)的任意兩點，且

x1<x2，則由拉格朗日中值定理有其中x

(a,b).(1)若當f(x)>0，則f(x)>0，于是證設x1，x2為(a,b)內(nèi)的任意兩點，且x1<3因為

x2–

x1>0，所以f(x2)–

f(x1)>0，即當

x2>x1時，f(x2)>f(x1)，可知f(x)

在

(a,b)內(nèi)遞增.有(2)對于

f(x)<0的情形,其證法與(1)的類似.因為x2–x1>0，所以f(x2)–f(4定理1的幾何意義是：定理1的幾何意義是：5確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出使f(x)=0和f(x)不存在的點，并以這些點為分界點,將定義域分為若干個子區(qū)間；(3)確定

f(x)在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定出f(x)的單調(diào)性.注意：如果函數(shù)的導數(shù)僅在個別點處為零，而在其余的點處均滿足定理1的條件，那么定理1的結(jié)論仍然成立.確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(6例1求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間．解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)；(2)

f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得

x=-1，x=1，它們將定義區(qū)間分為三個子區(qū)間：(,-1)，(-1,1)，(1,)；例1求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間．7(3)因為當x(,-1)時，f(x)>

0，x(1,1)時，f(x)<0，x(1,+)時f(x)>0，所以(,-1)和(1,)是

f(x)的遞增區(qū)間，(-1,1)是f(x)的遞減區(qū)間.為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f(x)-f(x)其中箭頭，分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.(3)因為當x(,-1)時，f(x)>8解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf-=+-=-例2此外，顯然x=0

為f(x)的不可導點，分定義區(qū)間為三個子區(qū)間(,0)，解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(，)；.325)9亦可如例1那樣，以下表表示f(x)的單調(diào)性：x(,0)f(x)－f(x)亦可如例1那樣，以下表表示f(x)的單調(diào)性：x(10定義1設函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于

x0的

x恒有(1)

f(x0)>f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極大值，x0稱為

f(x)的極大值點；(2)

f(x0)<f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極小值，x0稱為

f(x)的極小值點；函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.二、函數(shù)的極值及其求法定義1設函數(shù)y=f(x)在x0的一個鄰域內(nèi)有11顯然，在圖中，x1，x4為f(x)的極大值點，x2，x5為f(x)的極小值點.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5顯然，在圖中，x1，x4為f(x)的極大值點，12定理2(極值的必要條件)設函數(shù)

y=f

(x)在

x0處可導，且

f(x0)為極值(即

x0為值點)，則f(x0)=0.定理2(極值的必要條件)設函數(shù)y=f(x)13

當x0x

N

(x0,)時，f(x0x

)-

f(x0)<0(x

0)，因此，當x

<0時，有當x

>0時，有有證

(1)設

f(x0)為極大值，則由定義1可知，必存在x0的一個鄰域N(x0,)，當x0xN(x0,)時，f(x014所以f(x)在該點處的左、右導數(shù)存在且相等，即f-

(x0)=f+

(x0)，因此，f(x0)=0.≥≤由于因為

f(x)在x0處可微，(2)

f(x0)為極小值情形的證明是類似的，從略.

15定理2的幾何意義是：可微函數(shù)的圖形在極值點處的切線與Ox軸平行.定理2的重要意義在于：對于可微函數(shù)來講，其極值點必在導數(shù)為零的那些點之中.今后，我們稱導數(shù)為零的點為駐點.函數(shù)可能在其導數(shù)為零的點，或者是在連續(xù)但不可導的點處取得極值.定理2的幾何意義是：16

定理3(極值的第一充分條件)

設函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個鄰域內(nèi)可微(在

x0處可以不可微，但必須連續(xù))，

若當

x

在該鄰域內(nèi)由小于

x0連續(xù)地變?yōu)榇笥?/p>

x0時，其導數(shù)

f(x)改變符號，

則

f(x0)為函數(shù)的極值.x0為函數(shù)的極值點，并且(1)若導數(shù)

f(x)由正值變成負值，則

x0

為極大值點，f(x0)為

f(x)的極大值；(2)若導數(shù)

f(x)由負值變成正值，則

x0

為極小值點，f(x0)為

f(x)的極小值.定理3(極值的第一充分條件)設函數(shù)y=f17證設所述鄰域為N

(x0,)，且x

N(x0,)，(1)若f(x)由正變負，即當x

(x0-

,x0)時，f(x)>0，當x

(x0,

x0+

)時，f(x)<0，則在(x0-

,x0)內(nèi)f(x)遞增，在(x0,

x0+

)內(nèi)遞減，又因為f(x)在x0處連續(xù)，所以當x

N(x0,)時恒有f(x0)>f(x)，即f(x0)為f(x)的極大值，x0為f(x)的極大值點.若f(x)在x0處可導且f(x0)=0，但f(x)在x0的兩側(cè)同號，則x0不是f(x)的極值點，f(x)在x0處不是極值.(2)

f(x)由負變正的情形可類似地證明.從略.證設所述鄰域為N(x0,)，且xN(x18定理4(

極值的第二充分條件

)(1)當

f(x0)>0時，則

x0為極小值點，f(x0)為極小值；(2)當

f(x0)<0時，則

x0為極大值點，f(x0)為極大值.若

f(x0)=0，且

f(x0)0，則

x0是函數(shù)的極值點，f(x0)為函數(shù)的極值，并且

設函數(shù)

y=f(x)在

x0處的二階導數(shù)存在，定理4(極值的第二充分條件)(1)當f19運用定理3求函數(shù)極值的一般步驟是：

(1)確定定義域，并找出所給函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點；(2)考察上述點兩側(cè)導數(shù)的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.運用定理3求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，20運用定理4求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點；(2)考察函數(shù)的二階導數(shù)在駐點處的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.運用定理4求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，并求21例3求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-2)3的極值.解

(1)定義域為(-

,+

).f(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).所以由f(x)=0可得f(x)的三個駐點：該函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)無不可導的點，上述駐點將定義區(qū)間分為四個子區(qū)間例3求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-22(2)當x(-,1)時，f(x)>0；f(x)>0；當x(2,+

)時，f(x)>0.因此，由定理3可知，x=1

為極大值點，x=2不是極值點(因為在x=2的兩側(cè)f(x)同為正號).(2)當x(-,1)時，f(x)>023(3)計算極值極大值f(1)=(1

-1)2(1

-

2)3=0，有時，可以將整個解題過程以表格形式表示：x(-,1)f(x)12(2,+

)+0-0+0+f(x)極大值0無極值(3)計算極值極大值f(1)=(1-1)2(24解所給函數(shù)的單調(diào)性在例2中已討論過.可得到本題表格形式的解答：例4求函數(shù)f(x)=(x-1)3

的極值.x(-,0)f(x)0+不存在-0+f(x)極大值03解所給函數(shù)的單調(diào)性在例2中已討論過.可得到本題表格形式25例5求函數(shù)f(x)=x4

–10x2+5的極值.因為解

(1)定義域為(-

,

+

).

f(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，所以，由f(x)=0可得該函數(shù)的三個駐點例5求函數(shù)f(x)=x4–10x2+526所以有由定理4可知：(2)因為

f(x)=12x2

–20，所以有由定理4可知：(2)因為f(x)=12x27(3)計算極值：(3)計算極值：28例6求函數(shù)f(x)=(x2

–1)3+1的極值.由解

(1)定義域為(-

,

+

).

f(x)=

6x(x2-1)2，得知f(x)

的駐點為（2）由

f(x)=

6(x2-1)(5x2

-1)

，從而由定理4推知x=0為極小點，例6求函數(shù)f(x)=(x2–1)3+129第二節(jié)-函數(shù)的單調(diào)性及其極值高等數(shù)學三年?？谱钚掳嬲n件30一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導數(shù)的應用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性及其極值二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導數(shù)的應用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)31定理1設函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可微，(1)若當

x

(a,b)時，f(x)>0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若當

x(a,b)時，f(x)<0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件定理1設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)32證設x1，x2為(a,b)內(nèi)的任意兩點，且

x1<x2，則由拉格朗日中值定理有其中x

(a,b).(1)若當f(x)>0，則f(x)>0，于是證設x1，x2為(a,b)內(nèi)的任意兩點，且x1<33因為

x2–

x1>0，所以f(x2)–

f(x1)>0，即當

x2>x1時，f(x2)>f(x1)，可知f(x)

在

(a,b)內(nèi)遞增.有(2)對于

f(x)<0的情形,其證法與(1)的類似.因為x2–x1>0，所以f(x2)–f(34定理1的幾何意義是：定理1的幾何意義是：35確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出使f(x)=0和f(x)不存在的點，并以這些點為分界點,將定義域分為若干個子區(qū)間；(3)確定

f(x)在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定出f(x)的單調(diào)性.注意：如果函數(shù)的導數(shù)僅在個別點處為零，而在其余的點處均滿足定理1的條件，那么定理1的結(jié)論仍然成立.確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(36例1求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間．解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)；(2)

f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得

x=-1，x=1，它們將定義區(qū)間分為三個子區(qū)間：(,-1)，(-1,1)，(1,)；例1求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間．37(3)因為當x(,-1)時，f(x)>

0，x(1,1)時，f(x)<0，x(1,+)時f(x)>0，所以(,-1)和(1,)是

f(x)的遞增區(qū)間，(-1,1)是f(x)的遞減區(qū)間.為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f(x)-f(x)其中箭頭，分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.(3)因為當x(,-1)時，f(x)>38解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf-=+-=-例2此外，顯然x=0

為f(x)的不可導點，分定義區(qū)間為三個子區(qū)間(,0)，解(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(，)；.325)39亦可如例1那樣，以下表表示f(x)的單調(diào)性：x(,0)f(x)－f(x)亦可如例1那樣，以下表表示f(x)的單調(diào)性：x(40定義1設函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于

x0的

x恒有(1)

f(x0)>f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極大值，x0稱為

f(x)的極大值點；(2)

f(x0)<f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極小值，x0稱為

f(x)的極小值點；函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.二、函數(shù)的極值及其求法定義1設函數(shù)y=f(x)在x0的一個鄰域內(nèi)有41顯然，在圖中，x1，x4為f(x)的極大值點，x2，x5為f(x)的極小值點.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5顯然，在圖中，x1，x4為f(x)的極大值點，42定理2(極值的必要條件)設函數(shù)

y=f

(x)在

x0處可導，且

f(x0)為極值(即

x0為值點)，則f(x0)=0.定理2(極值的必要條件)設函數(shù)y=f(x)43

當x0x

N

(x0,)時，f(x0x

)-

f(x0)<0(x

0)，因此，當x

<0時，有當x

>0時，有有證

(1)設

f(x0)為極大值，則由定義1可知，必存在x0的一個鄰域N(x0,)，當x0xN(x0,)時，f(x044所以f(x)在該點處的左、右導數(shù)存在且相等，即f-

(x0)=f+

(x0)，因此，f(x0)=0.≥≤由于因為

f(x)在x0處可微，(2)

f(x0)為極小值情形的證明是類似的，從略.

45定理2的幾何意義是：可微函數(shù)的圖形在極值點處的切線與Ox軸平行.定理2的重要意義在于：對于可微函數(shù)來講，其極值點必在導數(shù)為零的那些點之中.今后，我們稱導數(shù)為零的點為駐點.函數(shù)可能在其導數(shù)為零的點，或者是在連續(xù)但不可導的點處取得極值.定理2的幾何意義是：46

定理3(極值的第一充分條件)

設函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個鄰域內(nèi)可微(在

x0處可以不可微，但必須連續(xù))，

若當

x

在該鄰域內(nèi)由小于

x0連續(xù)地變?yōu)榇笥?/p>

x0時，其導數(shù)

f(x)改變符號，

則

f(x0)為函數(shù)的極值.x0為函數(shù)的極值點，并且(1)若導數(shù)

f(x)由正值變成負值，則

x0

為極大值點，f(x0)為

f(x)的極大值；(2)若導數(shù)

f(x)由負值變成正值，則

x0

為極小值點，f(x0)為

f(x)的極小值.定理3(極值的第一充分條件)設函數(shù)y=f47證設所述鄰域為N

(x0,)，且x

N(x0,)，(1)若f(x)由正變負，即當x

(x0-

,x0)時，f(x)>0，當x

(x0,

x0+

)時，f(x)<0，則在(x0-

,x0)內(nèi)f(x)遞增，在(x0,

x0+

)內(nèi)遞減，又因為f(x)在x0處連續(xù)，所以當x

N(x0,)時恒有f(x0)>f(x)，即f(x0)為f(x)的極大值，x0為f(x)的極大值點.若f(x)在x0處可導且f(x0)=0，但f(x)在x0的兩側(cè)同號，則x0不是f(x)的極值點，f(x)在x0處不是極值.(2)

f(x)由負變正的情形可類似地證明.從略.證設所述鄰域為N(x0,)，且xN(x48定理4(

極值的第二充分條件

)(1)當

f(x0)>0時，則

x0為極小值點，f(x0)為極小值；(2)當

f(x0)<0時，則

x0為極大值點，f(x0)為極大值.若

f(x0)=0，且

f(x0)0，則

x0是函數(shù)的極值點，f(x0)為函數(shù)的極值，并且

設函數(shù)

y=f(x)在

x0處的二階導數(shù)存在，定理4(極值的第二充分條件)(1)當f49運用定理3求函數(shù)極值的一般步驟是：

(1)確定定義域，并找出所給函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點；(2)考察上述點兩側(cè)導數(shù)的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.運用定理3求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，50運用定理4求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點；(2)考察函數(shù)的二階導數(shù)在駐點處的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.運用定理4求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，并求51例3求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-2)3的極值.解

(1)定義域為(-

,+

).f(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).所以由f(x)=0可得f(x)的