第五章二自由度系統(tǒng)§5-1兩自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程移項(xiàng)得：采用矩陣符號(hào)，上面的方程可寫成緊湊的格式：式中：、和分別為原結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣，而和分別為外激勵(lì)向量和位移向量。

對(duì)前面圖示系統(tǒng)，有§5-2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)對(duì)無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：令x1(t)＝Ｘ1Sin(ωt+φ)，x2(t)＝Ｘ2Sin(ωt+φ)代入微分方程，并消去Sin(ωt+φ)，得或?qū)憺楦话愕男问剑阂箋Ｘ}有非零解，則其系數(shù)行列式必須等于零，即此式稱為特征方程。若[M]、[K]為n階矩陣，則特征方程展開(kāi)后，可得ω2的n次方程。對(duì)于兩自由度系統(tǒng)，上式成為：可求出ω2的2個(gè)根：或兩自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率ω1與ω2，說(shuō)明系統(tǒng)具有兩種可能的同步運(yùn)動(dòng)，每個(gè)同步運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)一個(gè)固有頻率，即解有下列兩個(gè)形式：從數(shù)學(xué)上講，可正可負(fù)，但從物理意義來(lái)看，必定為正，否則系統(tǒng)不是振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且的平方根也為正，因?yàn)樨?fù)頻率是沒(méi)有意義的。為正也可從上式中看出。頻率ω1：頻率ω2：將ω1、ω2分別代入式(*)，可得X11、X21、X12、X22的幅值比：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在一般情況下是這兩個(gè)同步運(yùn)動(dòng)的疊加：四個(gè)積分常數(shù)X11、X12、φ1和φ2由初始條件確定。

上式等號(hào)右邊的兩個(gè)向量{u}1與{u}2均是由兩個(gè)無(wú)量綱的元素組成，可以確定系統(tǒng)的振動(dòng)型態(tài)，稱為系統(tǒng)的模態(tài)向量或振型，且分別稱為第一主振型和第二主振型，它們只與系統(tǒng)特性有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。{u}1與ω1稱為第一模態(tài)，{u}2與ω2稱為第二模態(tài)。結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中求模態(tài)向量{u}i與固有頻率ωi進(jìn)而利用疊加原理求系統(tǒng)相應(yīng)，又稱為模態(tài)分析。而于是

可以證明，振幅比μ1>0，μ2<0，說(shuō)明當(dāng)系統(tǒng)以頻率ω1振動(dòng)時(shí)，M1與M2的運(yùn)動(dòng)相同，以頻率ω2振動(dòng)時(shí)，M1與M2的運(yùn)動(dòng)相反。一般情況下，兩自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)是兩個(gè)自然模態(tài)振動(dòng)的疊加，即是兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，其結(jié)果一般不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。兩自由度系統(tǒng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：代入上式，得：§5-3兩度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力吸振器[Z(ω)]稱為阻抗矩陣，其元素稱為機(jī)械阻抗。對(duì)于兩自由度系統(tǒng)所以式中利用了對(duì)稱關(guān)系Z12＝Z21?，F(xiàn)考慮慮圖示示無(wú)阻阻尼情情況，，系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分分方程程為：：得特征矩陣陣方程為：：可解得：可以看出，，若k2＝ω2m2，則Ｘ1＝0，即主質(zhì)量量的振動(dòng)消消失。因因此可以適適當(dāng)選取k2和m2，就能達(dá)到到吸振的效效果(或稱反共振振)，此時(shí)有：：Ｘ2=-F1/k2x2(t)=-F1/k2Sinωt可以看到，，(附加的)系統(tǒng)m2―k2產(chǎn)生一個(gè)力力k2x2(t)=-F1Sinωωt與激激勵(lì)勵(lì)力力相相抵抵消消。。這這就就是是動(dòng)動(dòng)力力吸吸振振的的基基本本原原理理，，m2―k2為動(dòng)動(dòng)力力吸吸振振器器。。然而而，，雖雖然然加加上上吸吸振振器器可可減減小小物物體體振振動(dòng)動(dòng)，，但但卻卻使使原原來(lái)來(lái)的的一一個(gè)個(gè)自自由由度度系系統(tǒng)統(tǒng)變變成成了了兩兩個(gè)個(gè)自自由由度度系系統(tǒng)統(tǒng)，，從從而而有有兩兩個(gè)個(gè)固固有有頻頻率率，，只只要要激激勵(lì)勵(lì)頻頻率率與與其其中中一一個(gè)個(gè)固固有有頻頻率率相相等等時(shí)時(shí)，，系系統(tǒng)統(tǒng)就就要要發(fā)發(fā)生生共共振振。。這這在在激激勵(lì)勵(lì)頻頻率率變變化化范范圍圍較較大大時(shí)時(shí)，，吸吸振振器器是是起起不不到到減減振振效效果果的的。。此外外，，可可采采用用阻阻尼尼吸吸振振器器進(jìn)進(jìn)行行減減振振，，這這里里不不再再介介紹紹。。圖示示系系統(tǒng)統(tǒng)，，取取質(zhì)質(zhì)心心c位移移x1和剛剛桿桿轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角θ為廣義坐坐標(biāo)，則則有：§5-4廣義坐標(biāo)標(biāo)與坐標(biāo)標(biāo)耦合此方程稱稱為彈性性耦合或或靜力耦耦合，因因?yàn)榘褁1和θ聯(lián)系起來(lái)來(lái)的是彈彈簧力。。若剛性桿桿在鉛垂垂方向平平動(dòng)時(shí)，，取剛性性桿在鉛鉛垂方向向平動(dòng)時(shí)時(shí)彈簧k1和k2的合力作作用點(diǎn)o的位移x2和剛桿轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角θ為廣義坐坐標(biāo)，利利用動(dòng)靜靜法（達(dá)達(dá)朗貝爾爾原理））有：點(diǎn)o是當(dāng)剛性性桿在鉛鉛垂方向向平動(dòng)時(shí)時(shí)，彈簧簧k1和k2的合力作作用點(diǎn)，，即滿足足：此方程稱稱為慣性性耦合或或動(dòng)力耦耦合（式式中e為質(zhì)心c到點(diǎn)o的距離））。若取剛桿桿的一個(gè)個(gè)端點(diǎn)位位移x3和剛桿轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角θ為廣義坐坐標(biāo)，則則質(zhì)量陣陣和剛度度陣都不不是對(duì)角角陣，此此時(shí)既是是靜力耦耦合又是是動(dòng)力耦耦合?？梢?jiàn)，凡凡剛度矩矩陣為對(duì)對(duì)角陣，，則靜力力解耦；；凡質(zhì)量量矩陣為為對(duì)角陣陣，則動(dòng)動(dòng)力解耦耦。顯然，方方程的解解耦與否否與坐標(biāo)標(biāo)的選取取有關(guān)，，那么是是否存在在全部解解耦的坐坐標(biāo)？前已給出出系統(tǒng)的的運(yùn)動(dòng)：：§5-5解耦與主主坐標(biāo)這實(shí)際上上是兩組組坐標(biāo)之之間的變變換關(guān)系系（上節(jié)節(jié)的例子子從靜力力耦合變變?yōu)閯?dòng)力力耦合，，也是坐坐標(biāo)變換換），變變換矩陣陣為：考慮到y(tǒng)1(t)只包含ω1的簡(jiǎn)諧波波，y2(t)只包含ω2的簡(jiǎn)諧波波，可以以想象，，若用坐坐標(biāo)y1與y2來(lái)描述系系統(tǒng)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)，則則其運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程必定定是解耦耦的[注]，我們稱稱y1與y2為主坐標(biāo)標(biāo)。[注]解耦的微分方程的解為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：反過(guò)來(lái)，，只包含含ω1的簡(jiǎn)諧波波的運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程必定定為解耦耦形式：：[注畢]利用主坐坐標(biāo)變換換，我們們將可得得到：或?qū)懗删鼐仃囆问绞剑褐髯鴺?biāo)解解y1與y2求出后，，即可利利用{x}＝[U]{y}求出系系統(tǒng)的物物理坐標(biāo)標(biāo)解。（（用第二二節(jié)的例例子說(shuō)明明此過(guò)程程）《例1》求圖示系系統(tǒng)固有有頻率和和振型。。解：或令x1(t)＝＝Ｘ1Sin(ωt+φ)，，x2(t)＝＝Ｘ2Sin(ωt+φ)代入微分分方程，，并消去去Sin(ωt+φ)，得第一振型：：將ω1和ω2分別代入式（*）得（只只需代入其其中一個(gè)式式子）：要使{Ｘ}有非零解，，則其系數(shù)數(shù)行列式必必須等于零零，即可以求得：第二振型：：《例2》求圖示系統(tǒng)統(tǒng)固有頻率率和振型。。解：運(yùn)動(dòng)微微分方程為為特征方程：：可以求得：：‘拍’現(xiàn)象：系統(tǒng)響應(yīng)為為：當(dāng)初始條件為其中一物有初位移θ0，另一物處于平衡位置，即得：由(4)和(2)并考慮ω1和θ0不等于零，，得同樣，由(3)和(1)并考