2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1．圓的圓心到直線的距離是A．B．C．1D．2．復(fù)數(shù)的值是A．－iB．iC．－1D．13．不等式A．的解集是B．C．{}D．4．在（）內(nèi)，使成立的x取值范圍為A．B．C．D．5．設(shè)集合M=，則A．M=NB．C．D．?6．點(diǎn)P（1，0）到曲線A．0B．1C．（其中參數(shù)t∈R）上的點(diǎn)的最短距離為D．27．一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是A．B．C．D．8．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為BC1所成的角是，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與A．90°B．60°C．45°D．30°9．函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<010．函數(shù)的圖象是ABCD11．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有A．8種B．12種C．16種D．20種12．據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長7.3%.”如果“十·五”期間（2001年—2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十·五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為A．115000億元B．120000億元C．127000億元D．135000億元第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13．函數(shù)14．橢圓在[0，1]的最大值與最小值的和為3，則a=的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，2），那么k=..15．的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是.16．已知函數(shù)那么.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知、的值.18．（本小題滿分12分）如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=.（Ⅰ）求MN的長；（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最?。唬á螅┊?dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.19．（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（－１，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2.求m的取值范圍.20．（本小題滿分12分）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?21．（本小題滿分12分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)（Ⅰ）討論（Ⅱ）求的奇偶性；的最小值.22．（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列{an}滿足（Ⅰ）當(dāng)（Ⅱ）當(dāng)（i）時(shí)，求,并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；時(shí)，證明對(duì)所有的，有（ii）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．B9．A10．B11．B12．C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分.13．214．115．100816．三、解答題17．本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能.滿分12分.解：由倍角公式，由原式得………………2分………………8分，……………12分18．本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和函數(shù)極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，∴MN=PQ.……………3分由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，即.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，當(dāng)即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小值為……9分（Ⅲ）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn)∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有故所求二面角.……………12分19．本小題主要考查直線、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算、邏輯推理能力.滿分12分.解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），依題設(shè)得=2，即①………2分因此，點(diǎn)P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，得因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2|m|的雙曲線上，故②…………6分將①式代入②，并解得，……………8分解得.即m的取值范圍為……………12分解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），依題設(shè)得，即.①…………2分由|PM|－|PN|=2m，得②…………4分由②式可得所以，.……………6分由②式移項(xiàng)，兩邊平方整理得將①式代入，整理得③式右端大于0，.③…………8分.綜上，得m滿足即m的取值范圍為……………12分20．本小題主要考查為數(shù)列、數(shù)列的極限等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分12分.解：設(shè)2001年末汽車保有量為b1萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，…，每年新增汽車x萬輛，則………………2分對(duì)于n>1，有………………6分當(dāng)當(dāng)………………8分并且數(shù)列{bn}逐項(xiàng)增加，可以任意靠近因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即（萬輛）.綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛.………12分.……………10分.則21．本小題主要考查函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想和邏輯思維能力.滿分12分.解：（Ⅰ）當(dāng)為偶函數(shù).………………2分當(dāng).此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).………………4分（Ⅱ）（i）當(dāng)若若上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)上的最小值為上的最小值為，則函數(shù)………7分（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)若若……………10分綜上，當(dāng)當(dāng)當(dāng)……………12分22．本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識(shí)，考查猜想、歸納、推理以及分析問題和解