第五講原函數(shù)與不定積分

Cauchy積分公式

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!1.原函數(shù)與不定積分的概念2.積分計(jì)算公式§3.4原函數(shù)與不定積分復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!1.原函數(shù)與不定積分的概念由§2基本定理的推論知：設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)B中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)固定在z0,終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng),∫cf(z)dz在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!定義若函數(shù)(z)在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)，即,稱(z)為f(z)在B內(nèi)的原函數(shù).上面定理表明是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。設(shè)H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。(見第二章§2例3)復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!例1計(jì)算下列積分：解1)

復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!例3計(jì)算下列積分：復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法.內(nèi)容簡(jiǎn)介§3.5Cauchy積分公式復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!DCz0C1∴猜想積分復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!

一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!例2解CC1C21xyo復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!內(nèi)容簡(jiǎn)介本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。研究表明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示。這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別?！?解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!定理證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!2.積分計(jì)算公式定義設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式.但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強(qiáng)復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!解2)復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!小結(jié)求積分的方法復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!分析DCz0C1復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!定理(Cauchy積分公式)證明復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!

復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!例1解復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!例3解復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!令為I復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯西積分公式3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共29頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得復(fù)變?cè)瘮?shù)與不定積分2柯