函數(shù)的奇偶性和周期性講義函數(shù)的奇偶性和周期性講義函數(shù)的奇偶性和周期性講義函數(shù)的奇偶性和周期性講義編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:學(xué)科培訓(xùn)師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)年級(jí)高一課時(shí)數(shù)2學(xué)員姓名輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)師周老師課題函數(shù)的基本性質(zhì)—奇偶性和周期性備課時(shí)間2014年08月授課時(shí)間2014年08月教學(xué)內(nèi)容（一）主要知識(shí)：1．奇函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)；2．偶函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．3．圖象特征：如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則它的的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．4．奇偶函數(shù)的性質(zhì)：⑴函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；⑵是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；⑶奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性．⑷為偶函數(shù)．⑸若奇函數(shù)的定義域包含，則．5．函數(shù)的周期性：(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．三條結(jié)論：(1)若對(duì)于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則：y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝）或f(x＋a)＝－），那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T＝2|a－b|.（二）主要方法：1．判斷函數(shù)的奇偶性的方法：⑴定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．若不對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對(duì)稱，則再判斷或是否定義域上的恒等式；⑵圖象法；⑶性質(zhì)法：①設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則其反函數(shù)必是奇函數(shù)；判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：，．典例分析1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)即是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（）A． B． C． D．3．設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x(1－x)，則f（-）＝()．A.－B.－C.D.解析：因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f（-）＝－f（）＝－f（）＝－.故選A.答案A4．f(x)＝－x的圖象關(guān)于()．A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱解析：f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．答案C5．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析：由題意知f(x)與|g(x)|均為偶函數(shù)，A項(xiàng)：偶＋偶＝偶；B項(xiàng)：偶－偶＝偶，B錯(cuò)；C項(xiàng)與D項(xiàng)：分別為偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故選A.答案A6．對(duì)于函數(shù)f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計(jì)算f(1)和f(－1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是()．A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2解析：∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶數(shù)，只有D項(xiàng)中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是D.答案D7．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：法一∵f(－x)＝f(x)對(duì)于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對(duì)于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0對(duì)于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案08．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2013)＋f(2015)的值為()．A．－1B．1C．0D．無法計(jì)算解析由題意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期為4，∴f(2013)＝f(1)，f(2015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2013)＋f(2015)＝0.答案C9．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[嘗試解答]由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故選D.答案D10．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶）（2）解：定義域?yàn)椋核裕瞧婧瘮?shù)。（3）解法一：當(dāng)，，當(dāng)，，所以，對(duì)，都有，所以是偶函數(shù)解法二：畫出函數(shù)圖象解法三：還可寫成，故為偶函數(shù)。（4）解：定義域?yàn)?，?duì)，都有，所以既奇又偶變式訓(xùn)練：判斷函數(shù)的奇偶性。解：當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即，且，所以非奇非偶小結(jié)與拓展：幾個(gè)常見的奇函數(shù)：（1）（2）（3）（4）小結(jié)與拓展：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件11．已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；解：（1）（2）變式訓(xùn)練：已知奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在R上的解析式；解：函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，小結(jié)與拓展：奇偶性在求函數(shù)解析式上的應(yīng)用12．設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)于都有成立。（1）證明是周期函數(shù)，并指出周期；（2）若，求的值。證明：（1）所以，是周期函數(shù)，且（2），變式訓(xùn)練1：設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于()A.B.C.D.變式訓(xùn)練2：（06安徽）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。解：由得，所以，則。小結(jié)與拓展：只需證明，即是以為周期的周期函數(shù)課后作業(yè)判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.2、⑴若是定義在上的奇函數(shù)，則=__________；⑵若是定義在上的奇函數(shù)，，且對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，則=__________；⑶設(shè)函數(shù)且）對(duì)任意非零實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)是___________（指明函數(shù)的奇偶性）3、設(shè)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，=_________．4、圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)的表達(dá)式．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則與滿足（）．A． B．C． D．6、函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍是（）．A．或B．或C．D．7、已知為上的奇函數(shù)，