2022-2023學年四川省德陽市第五中學高二上學期開學數(shù)學（理）試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．D【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角．故選：D．2．已知，則的值為（

）A． B． C． D．A【分析】對平方后，結合同角三角函數(shù)平方關系及正弦的二倍角公式進行求解.【詳解】平方得：，即，解得：故選：A3．不等式的解集為（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)分式不等式的解法，即可得答案.【詳解】由題意得，等價于，即，所以解集為.故選：D4．若非零實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)不等式的基本性質、基本不等式的條件和對數(shù)的運算，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，因為，可得，因為不確定，所以A錯誤；對于B中，只有當不相等時，才有成立，所以B錯誤；對于C中，例如，此時滿足，但，所以C錯誤；對于D中，由不等式的基本性質，當時，可得成立，所以D正確.故選：D5．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數(shù)的性質即可解出．6．已知直線，．若，則實數(shù)（

）A．或 B．或 C．或 D．或C利用兩條直線斜率之積為求解.【詳解】若，則，解得或.故選：C.若直線和直線，當直線時有，.7．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（

）A． B． C． D．B【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數(shù)化為，求出過可行域點，且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：目標函數(shù)化為，由，解得，設，當直線過點時，取得最小值為.故選：B.8．已知在遞減等比數(shù)列中，，，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9A【分析】根據(jù)下標和性質得到，即可求出、，根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列求出，即可判斷；【詳解】解：因為，，所以，解得或，因為數(shù)列為遞減等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以；故選：A9．方程所表示的曲線的圖形是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)所給曲線方程可知，曲線由和構成，即可選出.【詳解】因為方程所以可得或，即或，且所以曲線為直線與圓在直線的右邊部分構成，故選D.本題主要考查了方程與曲線的概念及直線與圓的方程，屬于中檔題.10．設的內角所對的邊分別為，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且，，則為A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4D【詳解】因為a，b，c為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C，可得a＝c＋2，b＝c＋1

①又因為3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，則3b＝20a·②聯(lián)立①②，化簡可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)，則a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故選D.11．如圖，在矩形中，，，點在以點為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（

）A． B． C． D．B【分析】求出圓的半徑，然后以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，利用平面向量的坐標運算求出、的值，即可得解.【詳解】設圓的半徑為，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故選：B.12．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．C【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結合同角三角函數(shù)關系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.【詳解】由三角形面積公式可得：，故，，故，因為，所以，解得：或0，因為為銳角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因為為銳角三角形所以，故，所以，，，，令，則為對勾函數(shù)，在上單調遞減，在上單調遞增，則，又，因為，所以，則.故選：C解三角形中求解取值范圍問題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉化為邊，利用基本不等式進行求解，二是利用正弦定理將邊轉化為角，結合三角函數(shù)的圖象，求出答案.二、填空題13．等差數(shù)列中，，則______.60【分析】由題意和等差數(shù)列的性質化簡：，求出的值，代入求值即可．【詳解】由題意知，，則由等差數(shù)列的性質得，，即，所以，故60．本題考查等差數(shù)列的性質的靈活運用，一定要注意項數(shù)之間的關系，屬于基礎題．14．已知是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，則______．【分析】用轉化法，即可求向量的數(shù)量積.【詳解】解：由題意得，為，，所以.故-3.15．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是______.曲線表示圓心為，半徑為的半圓，畫出圖象，結合點到直線的距離公式，得出的取值范圍.【詳解】由，解得根據(jù)二次函數(shù)的性質得出，即曲線可化為，所以該曲線表示圓心為，半徑為的半圓因為直線與曲線有公共點，所以它位于之間，如下圖所示當直線運動到時，過，代入得：當直線運動到時，此時與曲線相切則，解得或（舍）要使得直線與曲線有公共點，則故本題主要考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.16．已知中，點D在邊AC上，，則的取值范圍為______．【分析】設，，則由余弦定理表示出，可得，利用三角函數(shù)的性質可求出.【詳解】設，，則，設，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，因為，，所以，則，所以，則.故答案為.三、解答題17．已知向量，，與垂直.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；（2）首先求出、，再根據(jù)夾角公式計算可得.【詳解】(1)解：因為，且與垂直，所以，即，即，解得.(2)解：，，設向量與的夾角為，所以.18．已知的三個頂點坐標為，，.（1）求的中線所在直線方程的一般式方程；（2）求的面積.（1）；（2）【分析】（1）首先求出的中點，求出，再利用點斜式即可得到答案.（2）首先求出，，得到，從而得到，再求出，的長度，即可得到的面積.【詳解】（1）設的中點，則，即.，所以的中線所在直線方程為，即.（2），，所以，即.，，所以.本題主要考查直線方程，同時考查了兩條直線的位置關系和兩點之間距離公式，屬于簡單題.19．設函數(shù)．(1)求的周期和最值；(2)已知a，b，c分別是△ABC內角A，B，C的對邊，，，，，求線段CD的長．(1)．，(2)【分析】(1)對作恒等變換，將表示為單個三角函數(shù)的解析式即可求解；(2)先算出角B，再運用余弦定理求出c，再根據(jù)D點的位置即可求解.【詳解】(1)∵，∴，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，

∴（舍）．∵，∴，∴，∴；綜上，的周期為，最大值為2，最小值為-2，.20．已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)作差可得，再求出，即可得到，從而得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可得到其通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和即可；【詳解】(1)解：因為①，所以②，②①得即，所以，又當時，，又，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．(2)解：由（1）可得，所以，則兩式相減得，所以，21．已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于兩點，是的中點.(1)求圓的方程；(2)當時，求直線的方程.(1)(2)或【分析】（1）利用圓和直線相切的關系求出圓的半徑即可求解；(2)首先當直線斜率不存在時，求出弦長，滿足題意；當直線斜率存在時設出直線的方程，利用圓的弦長公式求出，然后利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】(1)∵圓與直線相切，所以到直線的距離，故圓的方程為.(2)①當直線與軸垂直時，易知直線的方程為：，此時，圓心到直線的距離為1，從而弦長，滿足題意；②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即，連接，則，，所以，從而，得，故直線的方程.綜上所述，直線的方程為：或.22．數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)，音叉發(fā)出的聲音（音叉附近空氣分子的振動）可以用數(shù)學模型來刻畫．1807年，法國數(shù)學家傅里葉用一個純粹的數(shù)學定理表述了任何周期性聲音的公式是形如的簡單正弦函數(shù)之和．若某種聲音的模型是函數(shù)，.(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若，試研究函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)額性質即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)零點的定義及二次函數(shù)的性質，再利用函數(shù)零點的存在性定理即可求解.【詳解】(1)因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在上的值域為．(2)因為，所以．①當時，，因為，所以，解得，所以在上只有一個零點．②當時，或．令，則ⅰ若，記則在上單調遞減，且，所以，由①