第七章橢球面上的測(cè)量計(jì)算§7.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系7.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)◆子午圈(線,面,橢圓)◆平行圈(緯圈)◆赤道1南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!決定旋轉(zhuǎn)橢球的性狀和大小的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素)橢圓的長(zhǎng)半徑:橢圓的短半徑:橢圓的扁率:

橢圓的偏心率:橢圓的第二偏心率:

:橢球的焦距2南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!為簡(jiǎn)化書寫，常引入以下符號(hào)：此外，還有兩個(gè)常用的輔助函數(shù)：3南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!7.1.2地球橢球參數(shù)的相互關(guān)系4南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!2.空間直角坐標(biāo)系當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位在總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心時(shí)，此時(shí)稱為地心(或參心)空間直角坐標(biāo)系，Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn);X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)Ge,而Y軸與此平面垂直，且指向東為正。5南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!4.天文坐標(biāo)系天文坐標(biāo)系是以鉛垂線為依據(jù)建立起來(lái)的。在這個(gè)坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)用天文經(jīng)度λ及天文緯度φ表示。所謂天文緯度φ是P點(diǎn)的鉛垂線與地球赤道面形成的銳角，天文經(jīng)度λ是天文起始子午面同過(guò)P點(diǎn)的天文子午面之間形成的二面角，此時(shí)的天文子午面系指過(guò)P點(diǎn)的鉛垂線和地球旋轉(zhuǎn)軸組成的平面。6南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!6.站心地平坐標(biāo)系大地站心地平坐標(biāo)系是以測(cè)站法線和子午線方向?yàn)橐罁?jù)的坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)可用(x,y,z)或(S,A,Z)表示。天文站心地平坐標(biāo)系由垂線，真地平面及天文子午面所決定。

7南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!8南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!子午平面直角坐標(biāo)系同地心緯度坐標(biāo)系的關(guān)系由圖可知:而:

9南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!3.空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系圖中:10南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!則:

11南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!迭代時(shí)可取:用的初值計(jì)算和,按進(jìn)行第二次迭代,直到最后兩次值之差小于允許誤差為止。當(dāng)已知大地緯度時(shí)，按下式計(jì)算大地高或12南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!

5.大地緯度，歸化緯度，地心緯度之間的關(guān)系

和之間的關(guān)系

13南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!§7.3橢球面上的幾種曲率半徑

過(guò)橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。包含橢球面一點(diǎn)的法截可作無(wú)數(shù)多個(gè)法截面相應(yīng)有無(wú)數(shù)多個(gè)法截線。橢球面上法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑,而是不同方向的法截線曲率半徑都不相同。因此本節(jié)首先研究子午線及卯酉線的曲率半徑，在此基礎(chǔ)上再研究平均曲率半徑及任意方向的曲率半徑。14南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!15南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!7.3.2卯酉曲率半徑過(guò)橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無(wú)限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。圖中PEE′即為過(guò)P點(diǎn)的卯酉圈。卯酉圈曲率半徑用N表示。16南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長(zhǎng)度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。17南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!18南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!將1975年國(guó)際橢球元素值代入得各系數(shù)19南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!則式中：20南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!將1975年國(guó)際橢球元素值代入得各系數(shù)21南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!ＲＡ不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過(guò)該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。當(dāng)Ａ＝０°時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即Ｒ０＝Ｍ；當(dāng)ＲＡ＝90°時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。22南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!7.3.5

M，N，R的關(guān)系23南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!§7.4橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算7.4.1子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式24南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!25南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長(zhǎng)約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長(zhǎng)約為40008549.995m。即一象限子午線弧長(zhǎng)約為10000km，地球周長(zhǎng)約為40000km。為求子午線上兩個(gè)緯度B１及Ｂ２間的弧長(zhǎng)，只需按式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長(zhǎng)。26南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!由子午弧長(zhǎng)求大地緯度迭代解法:

27南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較28南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!7.5.1將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。

(1)垂線偏差改正29南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!(2)標(biāo)高差改正

30南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!7.5.1將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算至橢球面1.基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長(zhǎng)度加上測(cè)段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長(zhǎng)度，以Ｓ０表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長(zhǎng)度S。(1).垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響31南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!7.5.2電磁波測(cè)距的歸算32南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!§7.2橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系7.2.1各種坐標(biāo)系的建立1.大地坐標(biāo)系

大地經(jīng)度B大地緯度L大地高H

33南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!3.子午面直角坐標(biāo)系設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，在過(guò)P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L,x,y表示。

34南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!5.地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系;以橢球長(zhǎng)半徑a為半徑作輔助圓，延長(zhǎng)Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點(diǎn)，則OP１與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。35南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!7.2.2各種坐標(biāo)系間的關(guān)系1.子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系36南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!子午平面直角坐標(biāo)系同歸化緯度坐標(biāo)系的關(guān)系由圖可知:37南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!2.空間直角坐標(biāo)系同子午平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系38南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!39南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!當(dāng)已知P點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)的大地坐標(biāo)時(shí),對(duì)大地經(jīng)度L有大地緯度B的計(jì)算比較復(fù)雜,通常采用迭代法:或:40南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!4.空間直角坐標(biāo)系同歸化緯度坐標(biāo)系的關(guān)系41南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!

和之間的關(guān)系和之間的關(guān)系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)B=45°時(shí)42南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!7.3.1子午曲率半徑43南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!44南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!

麥尼爾定理:假設(shè)通過(guò)曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。即：而：所以：

也可以寫成：由圖可看出：45南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!主曲率半徑的計(jì)算以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。46南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù)47南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁(yè)!也可以寫成：48南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁(yè)!將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù)49南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁(yè)!7.3.3任意法截弧的曲率半徑50南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁(yè)!當(dāng)A由0°→90°時(shí)，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當(dāng)A由90°→180°時(shí)，ＲＡ值由N→Ｍ，可見(jiàn)ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。7.3.4平均曲率半徑或橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑R等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

51南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁(yè)!對(duì)于克拉索夫斯基橢球52南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁(yè)!53南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁(yè)!克拉索夫斯基橢球子午弧長(zhǎng)計(jì)算公式1975年國(guó)際橢球子午弧長(zhǎng)計(jì)算公式54南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)17控制共61頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁(yè)!當(dāng)弧長(zhǎng)甚短(例如X≤40km，計(jì)算精度到0