第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、收斂準(zhǔn)則上一頁目錄下一頁退出引例設(shè)有半徑為

R

的圓,用其內(nèi)接正

n

邊形的面積An逼近圓面積S.——劉徽割圓術(shù)(公元三世紀(jì))概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積上一頁目錄下一頁退出2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”上一頁目錄下一頁退出一、數(shù)列極限的定義例如上一頁目錄下一頁退出注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)上一頁目錄下一頁退出隨著n趨于無窮,數(shù)列的通項有以下兩種變化趨勢:可以看到,通項無限趨近于一個確定的常數(shù);(2)通項不趨近于任何確定的常數(shù).問題:當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗的觀察:上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出定義

如果對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小),總存在正數(shù)N,使得對于Nn>時的一切nx,不等式e<-axn都成立,那末就稱常數(shù)a是數(shù)列nx的極限,或者稱數(shù)列nx收斂于a,記為

,limaxnn=

或).(naxn如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：上一頁目錄下一頁退出幾何解釋:其中上一頁目錄下一頁退出數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：上一頁目錄下一頁退出例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定

尋找N,但不必要求最小的N.上一頁目錄下一頁退出例3證上一頁目錄下一頁退出例4證上一頁目錄下一頁退出例4-1證注意到為了使于是

a=因此,則當(dāng)n>N時,有只要使二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1、有界性例如,有界無界上一頁目錄下一頁退出收斂數(shù)列的有界性如果數(shù)列收斂,那么數(shù)列一定有界.問題

對于無限多項如何求M

？定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.上一頁目錄下一頁退出關(guān)系：收斂有界注極限的唯一性2、唯一性定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.上一頁目錄下一頁退出例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).上一頁目錄下一頁退出

3、保號性

定理3若=a,a＞0（或a＜0），則N＞0,當(dāng)n＞N時,

＞0（或＜0）.證由極限定義，對，，當(dāng)時，，即，故當(dāng)時，.類似可證的情形.上一頁目錄下一頁退出3、子數(shù)列的收斂性注意：例如，上一頁目錄下一頁退出定理4收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．證證畢．上一頁目錄下一頁退出定義5

數(shù)列{xn}的項若滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)增加數(shù)列;

若滿足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)減少數(shù)列;

當(dāng)上述不等式中等號都不成立時,則分別稱{xn}是嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.收斂準(zhǔn)則

單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.三、收斂準(zhǔn)則上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出