第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律安徽大學(xué)出版社ANHUIUNIVERSITY大學(xué)物理學(xué)

3－1變力的功功能定理

3－2保守力與非保守力勢能

3－3功能原理及機(jī)械能守恒定律第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律

3－1變力的功功能定理一、變力的功abO

功(work)度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，描寫力對空間積累作用.定義：力對質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。元功(elementarywork)*功的計(jì)算與具體過程相聯(lián)系,功是一個(gè)過程量.

變力的總功：*合力的功等于各分力的功的代數(shù)和合力的元功從a到b合力之功單位(SI):焦耳(J)說明(1)功的計(jì)算與具體過程相聯(lián)系,功是過程量,不是狀態(tài)量,表征力對空間的累積效應(yīng).(2)前式中涉及的位移是受力物體的位移,只有按此定義,才能得到后面的動(dòng)能定理.(3)變力做功在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式.功率(power)定義

單位時(shí)間內(nèi)力所作的功稱為功率.(1)平均功率(2)瞬時(shí)功率功率的單位(SI)：例1在一個(gè)深h=18m的坑里,垂直懸掛著一根長繩,從地面垂至坑底.已知繩的質(zhì)量線密度λ

=0.88kg/m,試問:若將此繩提到地面,至少要做多少功?yyh解:取如圖坐標(biāo)系,繩運(yùn)動(dòng)到圖示任意位置y時(shí),所受重力λ(h-y)g.要使做功最少,作用于繩子的力剛好等于重力,通過dy距離時(shí),元功為:全部拉上繩子拉力所做的功至少為例2質(zhì)量為2t的卡車,啟動(dòng)時(shí)在牽引力的作用下,自原點(diǎn)從靜止開始沿x軸做直線運(yùn)動(dòng),求在前10s內(nèi)牽引力所做的功.解:由

得

積分得

所以牽引力前10s做功為:二、動(dòng)能定理(theoremofkineticenergy)在自然坐標(biāo)系中,F是作用在物體上的合力,則從

a到b積分,有動(dòng)能(kineticenergy)單位：焦耳(J)動(dòng)能定理合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量.

研究質(zhì)點(diǎn)系,對第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理,內(nèi)力功外力功求和,有動(dòng)能增量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理作用于質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力和內(nèi)力所做的功的代數(shù)和,等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量.注意功是過程量,是能能量變化化的量度度;動(dòng)動(dòng)能是狀態(tài)量,是運(yùn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài)的單值值函數(shù).它它們的單單位和量量綱相同同.動(dòng)能定理理由牛頓頓第二定定律導(dǎo)出出,只只適用于于慣性參考考系,動(dòng)能能也與參參考系有有關(guān).例1一質(zhì)量為為1.0kg的的小球球系在長長為1.0m細(xì)細(xì)繩下下端,繩的的上端固固定在天天花板上上.起起初把把繩子放放在與豎豎直線成成60度度角處,然然后放手手使小球球沿圓弧弧下落.試求求繩繩與與豎直線線成10度角角時(shí)小球球的速率率.解:取如圖所所示中間間時(shí)刻,小球球受拉力力和重力力作用,則:由動(dòng)能定定理得代入得三、“一對力”的功把作用力力與反作作用力,更一一般地,把兩兩個(gè)大小小相等,方向向相反,在一一條直線線上的力力稱為““一對力力”.研究如圖圖的兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)統(tǒng),相相互作用用力的元元功為:其代數(shù)和和對于整個(gè)個(gè)過程物理意義義一對力的的功等于于以其中中任一質(zhì)質(zhì)點(diǎn)為參參考系,計(jì)算算它對另另一個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的作作用力所所做的功功.這這說明明一對力力做功與與參考系系無關(guān),因此此可選取取最方便便的參考考系來計(jì)計(jì)算一對對力的功功.常見的““一對力力”的功功①一對正正壓力的的功恒為為零.(更普普遍的,無相相對位移移或相對對位移與與一對力力垂直的的情況)②一對靜靜摩擦力力的功恒恒為零.③一對滑滑動(dòng)摩擦擦力的功功恒為負(fù)負(fù).3－2保保守力力與非保保守力勢勢能一、重力力(gravity)所做的功功ba以地球?yàn)闉閰⒖枷迪刀⑷f有有引力(gravitation)所做的功功以質(zhì)點(diǎn)M為參考系系,如圖萬萬有引力力的元功功可寫為為:OMm三、彈性性力(elasticwork)所做的功功建立如圖圖所示坐坐標(biāo)系,彈性力的的元功可可寫為:四、摩擦擦力所做做的功以地面為為參考系系,元功:是曲線路徑的長度顯然,從a到b,沿不同的的路徑,摩擦力做做功不同同.五、保守守力與非非保守力力做功的多多少僅由由始末兩兩點(diǎn)的位位置決定定,而而與中間間所經(jīng)過過的路徑徑無關(guān),這樣樣的力稱稱為保守力(conservativeforce).而做功多多少和物物體的運(yùn)運(yùn)動(dòng)路徑徑有關(guān)的的力稱為為非保守力力(nonconservativeforce).對于任意意閉合路路徑:即做功為零,為保守力,如:重力,彈性力.為非保守力(耗散力).如:摩擦力為非保守力(非耗散力).如:爆炸力六、勢能能(potentialenergy)可以將保保守力的的功表示示為與相互作用用物體相相對位置置有關(guān)的某某函數(shù)在在起點(diǎn)和和終點(diǎn)的的取值之之差.將該函數(shù)數(shù)定義為為此物體體系的勢能,勢能只與與質(zhì)點(diǎn)位位置有關(guān)關(guān),是狀態(tài)函數(shù)數(shù).勢能定理理勢能增量量的負(fù)值值等于保保守力所所做的功功.保守力和和勢能的的微分關(guān)關(guān)系:2)勢勢能是相對的.零勢勢能位置置的選取取不同,勢能能也不同同,故故勢能是是質(zhì)點(diǎn)間間相對位位置的單單值函數(shù)數(shù).注意1)勢勢能是屬屬于系統(tǒng)統(tǒng)的,保保守力力做功應(yīng)應(yīng)理解為為一對力做功.3)勢能計(jì)算.令即得任一點(diǎn)的勢能為:4)常常見勢能能.彈性勢能引力勢能重力勢能勢能表達(dá)式零勢能位置地面附近彈簧自由狀態(tài)時(shí)自由端位置兩物體相距無限遠(yuǎn)3－3功功能原原理及機(jī)機(jī)械能守守恒定律律一、系統(tǒng)統(tǒng)的功能能原理對于質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系的動(dòng)動(dòng)能定理理非保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功由前述勢勢能定理理定義系統(tǒng)的機(jī)械能,則系統(tǒng)的功功能原理理外力和非非保守內(nèi)內(nèi)力做功功的總和和等于系系統(tǒng)機(jī)械械能的增增量.二、機(jī)械械能守恒恒定律由功能原理,當(dāng)時(shí),

機(jī)械能守守恒定律律外力和非非保守內(nèi)內(nèi)力做功功的總和和為零,或者者說只有有保守內(nèi)內(nèi)力作功功的情況況下，系系統(tǒng)的機(jī)機(jī)械能保保持不變變.注意1),

并不要求

和為零.

2)要求在任意一微小路程上都是成立的,因此常用功率來描述機(jī)械能守恒的條件.恒量,或

恒量例：一粗細(xì)均勻的柔軟繩子,一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌邊下垂,繩全長為.開始時(shí),下垂部分長為d，初速為零,求整個(gè)繩全部離開桌面時(shí)瞬間的速度大小(設(shè)繩不可伸長).本題將分分別用牛牛頓定律律,動(dòng)能能定理,機(jī)械能能守恒定定律求解解.解一:用牛頓定定律求解解；用隔離體體法：繩繩分成兩兩部分,桌上上:AB,下垂垂:BC,t時(shí)刻：牛頓第二二定律,列方程程：AB:繩不可伸伸長：牛頓第三三定律：：繩質(zhì)量均均勻分布布：聯(lián)立求解解：所以,繩繩全部離離開桌面面的速度度方向向向下,大大小BC:解二:用動(dòng)能定定理求解解；系統(tǒng):整個(gè)繩子子,繩分分成兩部部分,桌桌上：AB,下垂垂：BC,受力力如圖.作功：其中:因因?yàn)闉槭恰耙灰粚αΑ薄弊鞴σ驗(yàn)榱εc與位移方方向垂直直,有有系統(tǒng)動(dòng)能能：初態(tài)態(tài)由動(dòng)能定定理，有：即系統(tǒng):整整個(gè)繩繩子和地地球.并由于繩繩不可伸伸長，有有：系統(tǒng)機(jī)械械能守恒恒.所以,繩繩全部離離開桌面面的速度度方向向向下,大大小為:解三:用機(jī)械能能守恒定定律求解解；設(shè)水平桌面處重力勢能.比較三種種方法：：①牛頓定定律方程程兩端：均為瞬時(shí)時(shí)值，需需對方程程兩端積積分；②動(dòng)能定定理方程程兩端：：功的一側(cè)側(cè)為過程程量，動(dòng)動(dòng)能一側(cè)側(cè)為狀態(tài)態(tài)量，僅僅需對過過程量積積分；③功能原原理方程程兩端：：功的一側(cè)側(cè)由勢能能改變?nèi)∪〈?，不不需再求求積分，，所以，，最簡單單。三、勢能能曲線重力勢能彈性勢能萬有引力勢能勢能曲線線的作用用1)由勢能曲曲線求保保守力.2)確定質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)范圍.由于,質(zhì)點(diǎn)不可能在的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng).3)確定平衡衡位置,判斷斷平衡的的穩(wěn)定性性.一維情況況下:穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡亥姆霍茲（1821—1894），德國物物理學(xué)家和和生理學(xué)家家.于1874年發(fā)表了《《論力（現(xiàn)現(xiàn)稱能量））守恒》的的演講，首首先系統(tǒng)地地以數(shù)學(xué)方方式闡述了了自然界各各種運(yùn)動(dòng)形形式之間都都遵守能量量守恒這條條規(guī)律.所所以說亥姆姆霍茲是能能量守恒定定律的創(chuàng)立立者之一.四、能量守守恒定律能量守恒定定律(la