第三章函數的概念與性質3.3

冪函數課程目標

1、理解冪函數的概念，會畫冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=

的圖象；2、結合這幾個冪函數的圖象，理解冪函數圖象的變化情況和性質；3、通過觀察、總結冪函數的性質，培養(yǎng)學生概括抽象和識圖能力．數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：用數學語言表示冪函數；2.邏輯推理：常見冪函數的性質；3.數學運算：利用冪函數的概念求參數；4.數據分析：比較冪函數大小；5.數學建模：在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用冪函數性質、圖像特點解決實際問題。

自主預習，回答問題閱讀課本89-90頁，思考并完成以下問題1.冪函數是如何定義的？2.冪函數的解析式具有什么特點？3.常見冪函數的圖象是什么？它具有哪些性質？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單題型分析舉一反三題型一冪函數的概念例1

函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x>0時是增函數,可先利用冪函數的定義求出m的值,再利用單調性確定m的值.解:根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.解題方法（判斷一個函數是否為冪函數）

判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.1.如果冪函數y=(m2-3m+3)

的圖象不過原點,求實數m的取值.

解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.題型二冪函數的圖象與性質

例2已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關系為

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.解題方法（冪函數圖像與性質）1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結合圖象可知2a>2b>2c,又函數y=2x在R上是增函數,于是a>b>c.2.對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.(4)當α>0時,冪函數的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數;當α<0時,冪函數的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數.1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0

D.m>n>0解析:畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關系可知,n<m<0.故選A.答案:A題型三利用冪函數的單調性比較大小

例3比較下列各組中兩個數的大小:解題方法（比較冪函數大小）1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題比較大小的兩