第三章統(tǒng)計(jì)分析方法第一頁(yè)，共五十二頁(yè)?！?地理要素間的相關(guān)分析§2地理要素間的回歸分析§3時(shí)間序列分析法§4系統(tǒng)聚類分析方法§5主成分分析方法§6馬爾可夫預(yù)測(cè)方法§7地理系統(tǒng)的空間趨勢(shì)面分析第二頁(yè)，共五十二頁(yè)。主成分分析的原理主成分分析的解法主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例第三頁(yè)，共五十二頁(yè)。問題的提出地理系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。變量太多，會(huì)增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？

主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強(qiáng)有力的工具。主成分分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)第四頁(yè)，共五十二頁(yè)。1主成分分析方法的基本原理假定有n個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣第五頁(yè)，共五十二頁(yè)。當(dāng)p較大時(shí)，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理.

要求：較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的第六頁(yè)，共五十二頁(yè)。例，成績(jī)數(shù)據(jù)100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語(yǔ)文、歷史、英語(yǔ)的成績(jī)?nèi)缦卤恚ú糠郑?/p>

第七頁(yè)，共五十二頁(yè)。對(duì)于多維變量的情況和二維類似，也有高維的橢球，只不過無法直觀地看見首先把高維橢球的主軸找出來，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就基本完成注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，叫做主成分.第八頁(yè)，共五十二頁(yè)。正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長(zhǎng)度之和占了主軸長(zhǎng)度總和的大部分。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長(zhǎng)度占所有主軸長(zhǎng)度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定第九頁(yè)，共五十二頁(yè)。定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo)第十頁(yè)，共五十二頁(yè)。系數(shù)lij的確定原則：

zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)。

從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）從幾何上看,找主成分的問題,就是找出P維空間中橢球體的主軸問題；從數(shù)學(xué)上容易知道，從數(shù)學(xué)上可以證明，它們分別是相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)。2主成分分析的解法對(duì)原始地理數(shù)據(jù)第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)。進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化），即其中第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)。計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)。第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)。計(jì)算特征值和特征向量根據(jù)特征方程計(jì)算特征值，即解的特征多項(xiàng)式，求并使特征值按從大到小的順序排列，即列出關(guān)于每個(gè)特征值的特征向量

第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)。計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

▲貢獻(xiàn)率:▲累計(jì)貢獻(xiàn)率:一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個(gè)主成分第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)。計(jì)算主成分載荷(主成分Zk與變量xi之間的相關(guān)系數(shù))

第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)。各主成分的得分：第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)。§3特征值與特征向量的計(jì)算方法雅可比法適合于對(duì)稱矩陣任一實(shí)對(duì)稱矩陣A，均存在一正交變換矩陣T，使那么就是A的特征值，而變陳之積的各列就是相應(yīng)的特征向量第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)。二維情況如令則將原始矩陣A化成了對(duì)角矩陣。第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)。雅可比法的計(jì)算步驟1、選擇對(duì)稱矩陣中非對(duì)角線元素最大者，記為2、作正交變換第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)。一般的第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)。假設(shè)在原始矩陣的對(duì)角線以外元素中，以的絕對(duì)值為最大。設(shè)，作一個(gè)轉(zhuǎn)軸變換第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)。第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)。第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)。第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)。4主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)。第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)。第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)。第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)。例2,根據(jù)表1中給出的數(shù)據(jù)，對(duì)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)做主成分分析表1某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)

第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)。第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)。步驟如下：將表中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣表2相關(guān)系數(shù)矩陣第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)。（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。

第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)。表3特征值及主成分貢獻(xiàn)率

第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)。（3）對(duì)于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式計(jì)算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷（表4）。第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)。表4主成分載荷

第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)。

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。

②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量分析：第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)。顯然，用三個(gè)主成分z1、z2、z3代替原來9個(gè)變量（x1，x2，…，x9），描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問題更進(jìn)一步簡(jiǎn)化、明了③第三主成分z3，與x8呈顯出的正相關(guān)程度最高，其次是x6，而與x7呈負(fù)相關(guān)，因此可以認(rèn)為第三主成分在一定程度上代表了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)④另外，表4中最后一列（占方差的百分?jǐn)?shù)），在一定程度反映了三個(gè)主成分z1、z2、z3包含原變量（x1，x2，…，x9）的信息量多少第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)。例3

下面，我們根據(jù)表給出的數(shù)據(jù)，對(duì)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)做主成分分析，

表3.4.5某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)

第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)。第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)。步驟如下：（1）將表中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（見表）。表相關(guān)系數(shù)矩陣第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)。（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見表）。由表可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。

第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)。表特征值及主成分貢獻(xiàn)率

第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)。（3）對(duì)于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（）計(jì)算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷（表）。第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)。表3.5.3主成分載荷

第四十八頁(yè)，共五十二頁(yè)。

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。

②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。

分析：第四十九頁(yè)，共五十二頁(yè)。顯然，用三個(gè)主成分z1、z2、z3代替原來9個(gè)變量（x1，x2，…，x9），描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問題更進(jìn)一步簡(jiǎn)化、明了。③第三主成分z3